Transformée de Fourier d'une distribution
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Matière | Analyse 2 | ||
Chapitre | 3 | ||
Promo | 1A | ||
Date | 2007 | ||
Professeur | V. Perrier | ||
Auteur | L. Petit | ||
Le Post'IT |
Sommaire
Introduction
Rappel : ,
avec
.
Soit ,
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![]() |
![]() |
Problème : alors
mais
car
non compact.
Par contre : alors
, or
Distributions tempérées 
Fonctions tests
On remplace par
== Distributions tempérées ==

est une distribution tempérée si
est une forme linéaire continue de
.



Exemples
Remarque :
Pour trouver des exemples de , il suffit de considérer
et de vérifier que
est bien défini,
-
,
,
.
. De même
:
-
.
, donc
,
,
donc
,
donc la série
converge, donc
converge, donc
converge dans
.
- Distribution - fonctions : Rappel,
.
.
- Contre-ex :
continue donc
,
,
bien défini ? Si
,
. Donc
.
-
,
.
or
car
-
car
(
).
-
car
(car
).
- Contre-ex :
,
,
,
.
Transformée de Fourier de 
Définition
Remarque :
Exemples
-
,
-
Donc
.
-
?
-
Remarque :
,
,
-
-
-
,
,
?
, avec
, transformé de Fourier dans
.
Exercice : TF d'une fonction périodique, périodique, bornée sur
notée
.
?
Décomposition de en série de Fourier :
,
- Si
,
dans
- Si
est
,
,
convergence uniforme.
- Montrer que
converge dans
- Calculer
-
,
alors
,
, donc :
donc la série
converge
et
converge dans
.
-