Transformée de Fourier d'une distribution

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Matière Analyse 2
Chapitre 3
Promo 1A
Date 2007
Professeur V. Perrier
Auteur L. Petit
PDF Le Post'IT

Introduction

Rappel : \varphi \in \mathcal S(\mathbb{R}), \hat{\varphi} \in \mathcal S(\mathbb{R}) avec \hat{\varphi}(\nu) = \int_{-\infty}^{+\infty} \varphi(x) e^{-2i\pi\nu x} dx.

Soit f \in L^2(\mathbb{R}),

\int_{-\infty}^{+\infty}\hat{f}(u) \varphi(u) du = \int_{-\infty}^{+\infty} f(u) \hat{\varphi}(u)du
<\{\hat{f}\},\varphi> \overset{?}{=} <\{f\},\hat{\varphi}>

Problème : \varphi \in \mathcal D(\mathbb{R})\;(\subset \mathcal S(\mathbb{R})) alors \hat{\varphi} \in \mathcal S(\mathbb{R}) mais \hat{\varphi}\not\in \mathcal D(\mathbb{R}) car \mathrm{supp}\, \varphi non compact.

Par contre : \varphi \in \mathcal S(\mathbb{R}) alors \hat{\varphi} \in \mathcal S(\mathbb{R}), or \mathcal S(\mathbb{R}) \supset \mathcal D(\mathbb{R})

Distributions tempérées \mathcal S'(\mathbb{R})

Fonctions tests

On remplace \mathcal D(\mathbb{R}) par \mathcal S(\mathbb{R}) = \left\{ \varphi \in \mathcal C^\infty (\mathbb{R}) / \forall p \in \mathbb{N}, \forall k \in \mathbb{N}, x^p \varphi(n)\in L^\infty(\mathbb{R})\right\}

\varphi = e^{-x^2} == Distributions tempérées ==

DéfinitionDéfinition

T est une distribution tempérée si T est une forme linéaire continue de \mathcal S(\mathbb{R}) \to \mathbb{C}.

\begin{array}{crcl} T : & \mathcal S(\mathbb{R}) & \to & \mathbb{C} \\ & \varphi & \mapsto & <T, \varphi> \end{array} \quad\textrm{lineaire,\,continue\,(dans\,un\,sens\,admis)}
\mathcal S'(\mathbb{R}) : espace des distributions tempérées. Et on a \mathcal S'(\mathbb{R}) \subset \mathcal D'(\mathbb{R})

Exemples

Remarque : Pour trouver des exemples de T \in \mathcal S'(\mathbb{R}), il suffit de considérer T \in \mathcal D'(\mathbb{R}) et de vérifier que <T,\varphi> est bien défini, \forall \varphi \in \mathcal S(\mathbb{R})

  1. \delta, \varphi \in \mathcal S(\mathbb{R}), <\delta, \varphi> = \varphi(0). \delta \in \mathcal S'(\mathbb{R}). De même \delta_n : \varphi \mapsto \varphi(n) \in \mathcal S'(\mathbb{R})
  2. <\sum \delta_n, \varphi>.
    <\sum_{-N}^{N} \delta_n, \varphi> = \sum_{-N}^N \varphi(n)

    \varphi \in \mathcal S(\mathbb{R}), donc \exists C > 0, \forall x \geq 1, \left|\varphi(x)\right| < \frac{C}{x^2} donc \left|\varphi(n)\right| \leq \frac{C}{\left|n\right|^2}, \forall n \geq 1 donc la série \sum \left|\varphi(n)\right| converge, donc \sum \varphi(n) converge, donc \sum_{n\in \mathbb{Z}} \delta_n converge dans \mathcal S'(\mathbb{R}).

  3. Distribution - fonctions : Rappel, f \in L_{loc}^1(\mathbb{R}) \Rightarrow \{f\} \in \mathcal D'(\mathbb{R}).

    \{f\} : \varphi \mapsto \int_\mathbb{R} f\varphi.

    • Contre-ex : f(x) = e^{2x^2} continue donc \in L_{loc}^1(\mathbb{R}), \forall \varphi\in \mathcal S(\mathbb{R}), <\{f\},\varphi> bien défini ? Si \varphi(x) = e^{-x^2} \in \mathcal S(\mathbb{R}), <\{f\},\varphi> = \int_\mathbb{R} e^{2x^2}e^{-x^2}dx = \int_\mathbb{R} e^{x^2} = + \infty. Donc e^{2x^2}\not\in \mathcal S'(\mathbb{R}).
    • f \in L^1(\mathbb{R}) \Rightarrow \{f\} \in \mathcal S'(\mathbb{R}), \forall \varphi \in \mathcal S(\mathbb{R}).

      <\{f\},\varphi> = \int_\mathbb{R} f \varphi or f\varphi \in L^1(\mathbb{R}) car \left|f\varphi\right|\leq \left\|\varphi\right\|_{\infty} \left|f\right| \in L^1(\mathbb{R})

    • f \in L^2(\mathbb{R}) \Rightarrow \{f\} \in \mathcal S(\mathbb{R}) car f \varphi \in L^1(\mathbb{R}) (\varphi \in \mathcal S(\mathbb{R}) \Rightarrow \varphi \in L^2(\mathbb{R})).
    • f \in L^\infty(\mathbb{R}) \Rightarrow \{f\} \in \mathcal S(\mathbb{R}) car f\varphi \in L^1(\mathbb{R}) (car \varphi \in L^1(\mathbb{R})).

1, e^{i\omega x}, \cos(\omega x), \sin(\omega x) \in \mathcal S'(\mathbb{R}).

Transformée de Fourier de T \in \mathcal S'(\mathbb{R})

Définition

DéfinitionDéfinition

T \in \mathcal S'(\mathbb{R}), on définit \hat{T} par

<\hat{T}, \varphi> = <T, \hat{\varphi}>,\;\forall \varphi \in \mathcal S(\mathbb{R})
Alors \hat{T} \in \mathcal S'(\mathbb{R}).

Remarque : \hat{1}(\nu) = \int_{-\infty}^{+\infty} e^{-2i\pi \nu x}dx

Exemples

  • \varphi \in \mathcal S(\mathbb{R}), <\hat{\delta}, \varphi> = <\delta, \hat{\varphi}> = \hat{\varphi}(0) = \int_{-\infty}^{+\infty} \varphi(x) dx = <1,  \varphi> \hat{\delta} = 1
  • <\hat{1},\varphi> = <1,\hat{\varphi}> = \int_{-\infty}^{+\infty} \hat{\varphi}(\nu)d\nu = \int_{-\infty}^{+\infty} \hat{\varphi}(\nu)e^{2i\pi\nu \times 0} d\nu = \varphi(0) = <\delta,\varphi>

    Donc \hat{1} = \delta.

  • \hat{\delta}_a ?

    <\hat{\delta}_a,\varphi> = <\delta_a, \hat{\varphi}> = \hat{\varphi}(a) = \int_{-\infty}^{+\infty} \varphi(x) \underbrace{e^{-2i\pi a x}}_{\in \mathcal S'(\mathbb{R})} dx = <e^{-2i\pi a x}, \varphi>

    \hat{\delta}_a = \{ e^{-2i\pi a x}\}

  • <\widehat{e^{2i\pi kx}},\varphi> = <e^{2i\pi kx},\hat{\varphi}> = \int_{-\infty}^{+\infty} e^{2i\pi k\nu} \hat{\varphi}(\nu) d\nu = \varphi(k) = <\delta_k,\varphi>

    \widehat{e^{2i\pi kx}} = \delta_k Remarque :

    \begin{array}{rrcl} \mathcal F : & T & \to & \hat{T} \\ & \mathcal S'(\mathbb{R}) & \to & \mathcal S'(\mathbb{R})\end{array}\quad \textrm{\,est\,lineaire}

    T_1, T_2 \in \mathcal S(\mathbb{R}), \lambda \in \mathbb{C}

    <\widehat{T_1 + \lambda T_2},\lambda> = <T_1 + \lambda T_2, \hat{\varphi}>
    = <T_1, \hat{\varphi}> + \lambda <T_2, \hat{\varphi}>
    = <\hat{T}_1, \varphi> + \lambda <\hat{T}_2,\varphi> = <\hat{T}_1 + \lambda \hat{T}_2,\varphi>


  • \widehat{\cos(2\pi k x)} = \widehat{\frac{e^{2i\pi kx} + e^{-2i\pi kx}}{2}}
    = \frac 12 \left[ \widehat{e^{2i\pi kx}}+\widehat{e^{-2i\pi kx}}\right]
    = \frac 12 [ \delta_k + \delta_{-k}]
  • \widehat{\sin 2\pi kx} = ... = \frac{1}{2i} [\delta_k - \delta_{-k}]
  • f \in L^2(\mathbb{R}), \{f\} \in \mathcal S'(\mathbb{R}), \widehat{\{f\}} ?
    <\widehat{\{f\}}, \varphi> = <\{f\},\hat{\varphi}> = \int_\mathbb{R} f \hat{\varphi} = \int_\mathbb{R} \hat{f} \varphi = <\{\hat{f}\},\varphi>

    \widehat{\{f\}} = \left\{ \hat{f} \right\}, avec \hat{f}, transformé de Fourier dans L^2.

Exercice : TF d'une fonction périodique, T périodique, bornée sur [0,T] notée f. \hat{f} ?

Décomposition de f en série de Fourier : S(x) = \sum_{n \in \mathbb{Z}} c_n e^{in\omega x}, \omega = \frac{2\pi}{T}

  • Si f = L^2, f = S dans L^2
  • Si f est \mathcal C^1, f = S, \forall x convergence uniforme.
  1. Montrer que S converge dans \mathcal S'
  2. Calculer \hat{S}
  1. < \sum_{-N}^N c_n e^{in\omega x}, \varphi> = \sum_{-N}^N c_n <\varphi, e^{in\omega x}>

    \varphi \in \mathcal S(\mathbb{R}), <\varphi, e^{in\omega x}> = \int_{-\infty}^{+\infty} \varphi e^{in\omega x} dx alors \varphi^{(k)}(x) \underset{_\to x}{\longrightarrow}^{\pm \infty} 0, \forall k \in \mathbb{N}, donc :

    \left|<\varphi,e^{inx}>\right| = \left|\int_{-\infty}^{+\infty} \varphi''(x) \frac{e^{in\omega x}}{(in)^2} dx\right|
    \leq \frac{1}{\left|x\right|^2} \underbrace{\int_{-\infty}^{+\infty} \left|\varphi''(x)\right| dx}_{C}

    donc la série \sum c_n <\varphi, e^{in\omega x}> converge \forall \varphi \in \mathcal S(\mathbb{R}) et \sum c_n e^{in\omega x} converge dans \mathcal S'(\mathbb{R}).

  2. < \widehat{\sum_{-\infty}^\infty c_n e^{in\omega x}},\varphi> = < \sum c_n e^{in\omega x},\hat{\varphi}>
    = \sum c_n < e^{in\omega x}, \hat{\varphi}>
    = \sum_{n\in \mathbb{Z}} c_n \delta_{\frac{n\omega}{2\pi}} = \sum_{n \in \mathbb{Z}} c_n \delta_{\frac nT}