Transformée de Fourier d'une distribution

Distributions
Matière	Analyse 2
Chapitre	3
Promo	1A
Date	2007
Professeur	V. Perrier
Auteur	L. Petit
PDF	Le Post'IT

Introduction

Rappel : $\varphi \in \mathcal S(\mathbb{R})$, $\hat{\varphi} \in \mathcal S(\mathbb{R})$ avec $\hat{\varphi}(\nu) = \int_{-\infty}^{+\infty} \varphi(x) e^{-2i\pi\nu x} dx$.

Soit $f \in L^2(\mathbb{R})$,

$\int_{-\infty}^{+\infty}\hat{f}(u) \varphi(u) du$	$=$	$\int_{-\infty}^{+\infty} f(u) \hat{\varphi}(u)du$
$<\{\hat{f}\},\varphi>$	$\overset{?}{=}$	$<\{f\},\hat{\varphi}>$

Problème : $\varphi \in \mathcal D(\mathbb{R})\;(\subset \mathcal S(\mathbb{R}))$ alors $\hat{\varphi} \in \mathcal S(\mathbb{R})$ mais $\hat{\varphi}\not\in \mathcal D(\mathbb{R})$ car $\mathrm{supp}\, \varphi$ non compact.

Par contre : $\varphi \in \mathcal S(\mathbb{R})$ alors $\hat{\varphi} \in \mathcal S(\mathbb{R})$, or $\mathcal S(\mathbb{R}) \supset \mathcal D(\mathbb{R})$

Distributions tempérées $\mathcal S'(\mathbb{R})$

Fonctions tests

On remplace $\mathcal D(\mathbb{R})$ par $\mathcal S(\mathbb{R}) = \left\{ \varphi \in \mathcal C^\infty (\mathbb{R}) / \forall p \in \mathbb{N}, \forall k \in \mathbb{N}, x^p \varphi(n)\in L^\infty(\mathbb{R})\right\}$

$\varphi = e^{-x^2}$ == Distributions tempérées ==

Définition

$T$ est une distribution tempérée si $T$ est une forme linéaire continue de $\mathcal S(\mathbb{R}) \to \mathbb{C}$.

$\begin{array}{crcl} T : & \mathcal S(\mathbb{R}) & \to & \mathbb{C} \\ & \varphi & \mapsto & <T, \varphi> \end{array} \quad\textrm{lineaire,\,continue\,(dans\,un\,sens\,admis)}$ $\mathcal S'(\mathbb{R})$ : espace des distributions tempérées. Et on a $\mathcal S'(\mathbb{R}) \subset \mathcal D'(\mathbb{R})$

Exemples

Remarque : Pour trouver des exemples de $T \in \mathcal S'(\mathbb{R})$, il suffit de considérer $T \in \mathcal D'(\mathbb{R})$ et de vérifier que $<T,\varphi>$ est bien défini, $\forall \varphi \in \mathcal S(\mathbb{R})$

1. $\delta$, $\varphi \in \mathcal S(\mathbb{R})$, $<\delta, \varphi> = \varphi(0)$. $\delta \in \mathcal S'(\mathbb{R})$. De même $\delta_n$ : $\varphi \mapsto \varphi(n) \in \mathcal S'(\mathbb{R})$
2. $<\sum \delta_n, \varphi>$. $<\sum_{-N}^{N} \delta_n, \varphi> = \sum_{-N}^N \varphi(n)$

   $\varphi \in \mathcal S(\mathbb{R})$, donc $\exists C > 0$, $\forall x \geq 1$, $\left|\varphi(x)\right| < \frac{C}{x^2}$ donc $\left|\varphi(n)\right| \leq \frac{C}{\left|n\right|^2}$, $\forall n \geq 1$ donc la série $\sum \left|\varphi(n)\right|$ converge, donc $\sum \varphi(n)$ converge, donc $\sum_{n\in \mathbb{Z}} \delta_n$ converge dans $\mathcal S'(\mathbb{R})$.

3. Distribution - fonctions : Rappel, $f \in L_{loc}^1(\mathbb{R}) \Rightarrow \{f\} \in \mathcal D'(\mathbb{R})$.

   $\{f\} : \varphi \mapsto \int_\mathbb{R} f\varphi$.

   • Contre-ex : $f(x) = e^{2x^2}$ continue donc $\in L_{loc}^1(\mathbb{R})$, $\forall \varphi\in \mathcal S(\mathbb{R})$, $<\{f\},\varphi>$ bien défini ? Si $\varphi(x) = e^{-x^2} \in \mathcal S(\mathbb{R})$, $<\{f\},\varphi> = \int_\mathbb{R} e^{2x^2}e^{-x^2}dx = \int_\mathbb{R} e^{x^2} = + \infty$. Donc $e^{2x^2}\not\in \mathcal S'(\mathbb{R})$.
   • $f \in L^1(\mathbb{R}) \Rightarrow \{f\} \in \mathcal S'(\mathbb{R})$, $\forall \varphi \in \mathcal S(\mathbb{R})$.

     $<\{f\},\varphi> = \int_\mathbb{R} f \varphi$ or $f\varphi \in L^1(\mathbb{R})$ car $\left|f\varphi\right|\leq \left\|\varphi\right\|_{\infty} \left|f\right| \in L^1(\mathbb{R})$

   • $f \in L^2(\mathbb{R}) \Rightarrow \{f\} \in \mathcal S(\mathbb{R})$ car $f \varphi \in L^1(\mathbb{R})$ ($\varphi \in \mathcal S(\mathbb{R}) \Rightarrow \varphi \in L^2(\mathbb{R})$).
   • $f \in L^\infty(\mathbb{R}) \Rightarrow \{f\} \in \mathcal S(\mathbb{R})$ car $f\varphi \in L^1(\mathbb{R})$ (car $\varphi \in L^1(\mathbb{R})$).

$1$, $e^{i\omega x}$, $\cos(\omega x)$, $\sin(\omega x)$ $\in \mathcal S'(\mathbb{R})$.

Transformée de Fourier de $T \in \mathcal S'(\mathbb{R})$

Définition

Définition

$T \in \mathcal S'(\mathbb{R})$, on définit $\hat{T}$ par

$<\hat{T}, \varphi> = <T, \hat{\varphi}>,\;\forall \varphi \in \mathcal S(\mathbb{R})$ Alors $\hat{T} \in \mathcal S'(\mathbb{R})$.

Remarque : $\hat{1}(\nu) = \int_{-\infty}^{+\infty} e^{-2i\pi \nu x}dx$

Exemples

• $\varphi \in \mathcal S(\mathbb{R})$, $<\hat{\delta}, \varphi> = <\delta, \hat{\varphi}> = \hat{\varphi}(0) = \int_{-\infty}^{+\infty} \varphi(x) dx = <1, \varphi>$ $\hat{\delta} = 1$
• $<\hat{1},\varphi> = <1,\hat{\varphi}> = \int_{-\infty}^{+\infty} \hat{\varphi}(\nu)d\nu = \int_{-\infty}^{+\infty} \hat{\varphi}(\nu)e^{2i\pi\nu \times 0} d\nu = \varphi(0) = <\delta,\varphi>$

  Donc $\hat{1} = \delta$.

• $\hat{\delta}_a$ ?

  $<\hat{\delta}_a,\varphi> = <\delta_a, \hat{\varphi}> = \hat{\varphi}(a) = \int_{-\infty}^{+\infty} \varphi(x) \underbrace{e^{-2i\pi a x}}_{\in \mathcal S'(\mathbb{R})} dx = <e^{-2i\pi a x}, \varphi>$

  $\hat{\delta}_a = \{ e^{-2i\pi a x}\}$

• $<\widehat{e^{2i\pi kx}},\varphi> = <e^{2i\pi kx},\hat{\varphi}> = \int_{-\infty}^{+\infty} e^{2i\pi k\nu} \hat{\varphi}(\nu) d\nu = \varphi(k) = <\delta_k,\varphi>$

  $\widehat{e^{2i\pi kx}} = \delta_k$ Remarque :

  $\begin{array}{rrcl} \mathcal F : & T & \to & \hat{T} \\ & \mathcal S'(\mathbb{R}) & \to & \mathcal S'(\mathbb{R})\end{array}\quad \textrm{\,est\,lineaire}$

  $T_1$, $T_2 \in \mathcal S(\mathbb{R})$, $\lambda \in \mathbb{C}$

  $<\widehat{T_1 + \lambda T_2},\lambda>$	$=$	$<T_1 + \lambda T_2, \hat{\varphi}>$
  	$=$	$<T_1, \hat{\varphi}> + \lambda <T_2, \hat{\varphi}>$
  	$=$	$<\hat{T}_1, \varphi> + \lambda <\hat{T}_2,\varphi> = <\hat{T}_1 + \lambda \hat{T}_2,\varphi>$

  
  

• $\widehat{\cos(2\pi k x)}$	$=$	$\widehat{\frac{e^{2i\pi kx} + e^{-2i\pi kx}}{2}}$
  	$=$	$\frac 12 \left[ \widehat{e^{2i\pi kx}}+\widehat{e^{-2i\pi kx}}\right]$
  	$=$	$\frac 12 [ \delta_k + \delta_{-k}]$

• $\widehat{\sin 2\pi kx} = ... = \frac{1}{2i} [\delta_k - \delta_{-k}]$
• $f \in L^2(\mathbb{R})$, $\{f\} \in \mathcal S'(\mathbb{R})$, $\widehat{\{f\}}$ ? $<\widehat{\{f\}}, \varphi> = <\{f\},\hat{\varphi}> = \int_\mathbb{R} f \hat{\varphi} = \int_\mathbb{R} \hat{f} \varphi = <\{\hat{f}\},\varphi>$

  $\widehat{\{f\}} = \left\{ \hat{f} \right\}$, avec $\hat{f}$, transformé de Fourier dans $L^2$.

Exercice : TF d'une fonction périodique, $T$ périodique, bornée sur $[0,T]$ notée $f$. $\hat{f}$ ?

Décomposition de $f$ en série de Fourier : $S(x) = \sum_{n \in \mathbb{Z}} c_n e^{in\omega x}$, $\omega = \frac{2\pi}{T}$

• Si $f = L^2$, $f = S$ dans $L^2$
• Si $f$ est $\mathcal C^1$, $f = S$, $\forall x$ convergence uniforme.

1. Montrer que $S$ converge dans $\mathcal S'$
2. Calculer $\hat{S}$

1. $< \sum_{-N}^N c_n e^{in\omega x}, \varphi> = \sum_{-N}^N c_n <\varphi, e^{in\omega x}>$

   $\varphi \in \mathcal S(\mathbb{R})$, $<\varphi, e^{in\omega x}> = \int_{-\infty}^{+\infty} \varphi e^{in\omega x} dx$ alors $\varphi^{(k)}(x) \underset{_\to x}{\longrightarrow}^{\pm \infty} 0$, $\forall k \in \mathbb{N}$, donc :

   $\left|<\varphi,e^{inx}>\right|$	$=$	$\left|\int_{-\infty}^{+\infty} \varphi''(x) \frac{e^{in\omega x}}{(in)^2} dx\right|$
   	$\leq$	$\frac{1}{\left|x\right|^2} \underbrace{\int_{-\infty}^{+\infty} \left|\varphi''(x)\right| dx}_{C}$

   donc la série $\sum c_n <\varphi, e^{in\omega x}>$ converge $\forall \varphi \in \mathcal S(\mathbb{R})$ et $\sum c_n e^{in\omega x}$ converge dans $\mathcal S'(\mathbb{R})$.

2. $< \widehat{\sum_{-\infty}^\infty c_n e^{in\omega x}},\varphi>$	$=$	$< \sum c_n e^{in\omega x},\hat{\varphi}>$
   	$=$	$\sum c_n < e^{in\omega x}, \hat{\varphi}>$
   	$=$	$\sum_{n\in \mathbb{Z}} c_n \delta_{\frac{n\omega}{2\pi}} = \sum_{n \in \mathbb{Z}} c_n \delta_{\frac nT}$