Transformée de Fourier

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Wikicours.png Transformée de Fourier
Matière Analyse 2
Chapitre 1
Promo 1A
Date 2007
Professeur V. Perrier
Auteur L. Petit
PDF Le Post'IT

Ce qu'on appelle transformée de Fourier c'est l'analyse en fréquence d'une fonction. En 1822, il publie le "Traité de la chaleur". Il créa les séries de Fourier, mais les intégrales sont de Lebesgue (en 1906).

Découverte : Dans \mathbb{R}^2, on dispose d'un disque et on veut : u(t,x,y) = temperature du disque en (x,y)\in \mathcal D=\{(x,y)\in\mathbb{R}^2 / x^2 + y^2 \leq 1\} à l'instant t > 0. On obtient l'équation de la chaleur :

\left\{\begin{array}{ll}\frac{\partial u}{\partial t} - \alpha \Delta u = f & f(t,x,y)\textrm{\,source\,de\,chaleur} \\
u(t=0,x,y) = u_0(x,y) & \textrm{Temperature\,initiale}\\
u_{|\partial \mathcal D} = \varphi & \textrm{Condition\,au\,limite}
\end{array}\right.

Puisque la solution est périodique selon \theta, il suffit de chercher ces solutions avec les transformées.

Solution stationnaire : \frac{\partial u}{\partial t} = 0 (f indépendant de t)

u_\infty vérifie : \left\{ \begin{array}{l} -\alpha \Delta u_\infty = f \\ u_{| \partial \mathcal D} = \varphi \end{array}\right\}.

Résoudre dans le cas f = 0, \varphi \in C^\infty(\partial \mathcal D).

{Méthode} On cherche u_\infty sous la forme :

\left\{ \begin{array}{l} u_\infty ( \rho, \theta) = \sum_{n\in \mathbb{Z}} c_n (\rho) e^{in\theta}\\
u_\infty(1,\theta) = \sum_{n\in \mathbb{Z}} c_n(1)e^{in\theta} = \varphi(\theta) = \sum_{n\in \mathbb{Z}} \hat{\varphi}_n e^{in\theta} \end{array}\right.
\textrm{avec\,} \forall n, c_n(1) = \hat{\varphi}_n

On réinjecte u_\infty dans (1), indépendant de t :

  • Écrire \Delta en coordonnées polaires
  • \Delta u_\infty = 0 \Rightarrow équations différentielles en c_n(\rho)
  • Résoudre : Besoin des transformées

Motivation pour la TF en traitement du signal.

Un signal est basé sur une fréquence pure : e^{i\omega x}, où x est le temps. \omega = pulsation rad/s, \nu = \frac{\omega}{2\pi} = fréquence (Hz). T = \frac{1}{\nu} période (en s).

On cherche à écrire tout signal f(x) comme une superposition de fréquences pures :

f(x) = \underbrace{\sum_n c_n(f) e^{in\omega x}}_{\textrm{Si\,} f \textrm{\,periodique}}= \underbrace{\int \hat{f}(\nu) e^{i2\pi \nu x} d\nu}_{\textrm{Si\,} f \textrm{\,non\,periodique}}

Transformée de Fourier dans L^1(\mathbb{R})

L^1(\mathbb{R}) = \left\{ f : \mathbb{R} \to \mathbb{C} / \int_\mathbb{R} \left|f\right| < + \infty \right\}

Définition

DéfinitionDéfinition

Soit f \in L^1(\mathbb{R}), sa TF est définie par \forall \nu \in \mathbb{R},

\hat{f}(\nu) = \int_{-\infty}^{+\infty} f(x) e^{-2i\pi\nu x} dx

Remarque : \forall \nu \in \mathbb{R}, \hat{f}(\nu) est bien défini car : \left|f(x)e^{-2i\pi\nu x}\right| = \left|f(x)\right| \in L^1(\mathbb{R}).

Notation : \mathcal F : f \mapsto \hat{f} est la transformation de Fourier, \hat{f} = \mathcal F(f).

Exemples

\Pi(x) = \chi_{[-\frac{1}{2},\frac{1}{2}]}(x)


\hat{\Pi}(\nu) = \int_{-\frac{1}{2}}^{\frac{1}{2}} e^{-2i\pi \nu x} dx
= \left[\frac{e^{-2i\pi\nu x}}{-2i\pi\nu}\right]_{-\frac{1}{2}}^{\frac{1}{2}}
= \frac{e^{-i\pi\nu} - e^{i\pi\nu}}{-2i\pi\nu} = \frac{-2i\sin \pi\nu}{-2i\pi\nu} = \mathrm{sinc}\,(\pi\nu)
Sinc.png

Propriété de \mathcal F

\begin{array}{crcl}
\mathcal F: & L^1(\mathbb{R}) & \to & L^{\infty}(\mathbb{R}) \\
& f & \mapsto & \hat{f}\end{array} est une application linéaire, continue, et on a :

\forall f \in L^1(\mathbb{R}), \left\|\hat{f}\right\|_{L^\infty(\mathbb{R})} \leq \left\|f\right\|_{L^1(\mathbb{R})} donc \left|\left\|\mathcal F\right\|\right| \leq 1.

Soit g : E \to F une application linéaire d'un evn (E,\left\|.\right\|_E) vers un evn (F,\left\|.\right\|_F).

Alors :

g est continue sur E \Leftrightarrow g est continue en 0
\Leftrightarrow g est bornée sur \mathcal B = \{ x \in E, \left\|x\right\|_E \leq 1\}
\Leftrightarrow \exists k > 0, \forall x \in E, \left\|g(x)\right\|_F \leq k \left\|x\right\|_E (\star)

Dans ce cas : on appelle

\left|\left\|g\right\|\right| = \inf \{k \textrm{\,verifiant\,} (\star)\}
= \sup\limits_{x\in E\{\infty\}}^{} \frac{\left\|g(x)\right\|_F}{\left\|x\right\|_E}


Remarque : On connait la fonction \Pi \in L^1(\mathbb{R}) tel que \left\|\Pi\right\|_{L^1} = 1 et \left\|\hat{\Pi}\right\|_{L^\infty} = \sup\limits_{\nu \in \mathbb{R}}^{} \left|\mathrm{sinc}\,(\pi\nu)\right| = 1 donc \left|\left\|\mathcal F\right\|\right| = 1 (le sup est atteint en \Pi).

Théorème de Riemann-Lebesgue

DéfinitionThéorème

Si f \in L^1(\mathbb{R}), alors \nu \mapsto \hat{f}(\nu) est continue et \lim\limits_{\nu \to \pm \infty}^{} \hat{f}(\nu) = 0.

(En particulier \lim\limits_{n\to +\infty}^{} \int_{-\infty}^{+\infty} f(x) e^{in\omega x} dx = 0 si f \in L^1(\mathbb{R}))

\mathcal D(\mathbb{R}) = \left\{ \varphi : \mathbb{R} \to \mathbb{C} / \varphi \in C^{\infty}(\mathbb{R}), \mathrm{supp}\,\varphi \textrm{\,compact} \right\}\mathrm{supp}\,\varphi = \overline{\left\{ x \in \mathbb{R} / \varphi(x) \neq 0 \right\}}

\mathcal D(\mathbb{R}) est dense dans L^1(\mathbb{R}) : \forall \varepsilon > 0, \forall f \in L^1(\mathbb{R}), \exists \varphi_\varepsilon \in \mathcal D(\mathbb{R}), \left\|f-\varphi_\varepsilon\right\|_{L^1(\mathbb{R})} < \varepsilon

Propriétés "géométriques"

Dilatation : a \in \mathbb{R}, a \neq 0. Soit f \in L^1(\mathbb{R}). On pose que f_a(x) = f(ax).

Alors

\hat{f}_a(\nu) = \frac{1}{\left|a\right|} \hat{f}\left(\frac{v}{a}\right)

Translation : Th du retard, \tau \in \mathbb{R}, retard, f\in L^1(\mathbb{R}). f_\tau (x) = f(x - \tau).

Alors :

\hat{f}_\tau(\nu) = \underbrace{e^{-2i\pi\nu\tau}}_{\textrm{facteur\,de\,retard\,ou\,dephasage}}\hat{f}(\nu)

Remarque :

\left|\hat{f}_\tau (\nu)\right| = \left|\hat{f}(\nu)\right|


\Pi(x) = \chi_{[-\frac{1}{2}, \frac{1}{2}]} (x).

Pour n \in \mathbb{N}, \Pi_n (x)= n \Pi(nx).

On remarque que l'on a, pour x fixé :

\Pi_n(x) \underset{n\to +\infty}{\longrightarrow} \left\{ \begin{array}{ll}
+\infty & \textrm{\,si\,} x = 0\\
0 & \textrm{\,si\,} x \neq 0
\end{array}\right\}

Calculons la transformée de Fourier de cette fonction.

\hat{\Pi}_n(\nu) = \mathcal F(n \Pi(nx)) (\nu)
= \frac{n}{n} \hat{\Pi}\left(\frac{\nu}{n}\right) = \hat{\Pi}\left(\frac{\nu}{n}\right) = \mathrm{sinc}\,\left(\frac{\pi \nu}{n}\right)

\forall \nu \in \mathbb{R}, \lim\limits_{n \to +\infty}^{} \hat{\Pi}_n(\nu) = 1

TF et Dérivations

DéfinitionThéorème
  1. Si f\in L^1(\mathbb{R}), f \in C^1(\mathbb{R}) et f' \in L^1(\mathbb{R}), alors :
    \widehat{\left(f'\right)} = \mathcal F(f') (\nu) = 2i\pi \nu \hat{f}(\nu)
  2. Si f \in L^1(\mathbb{R}) et si x \mapsto x f(x) \in L^1(\mathbb{R}), alors \nu \mapsto \hat{f}(\nu) est dérivable et :
    \left(\hat{f}\right)' (\nu) = \frac{d}{d\nu} \hat{f}(\nu) = -2i\pi \mathcal F(x f(x))(\nu)


G(x) = e^{-\pi x^2}, on montre \hat{G}(\nu) = e^{-\pi \nu^2}.

Produit de convolution

Sa motivation est centrée sur le traitement du signal. Soit f(x) un signal, A un système (un opérateur). g=A(f) est le signal filtré.

Hypothèse sur A :

  • A linéaire (A filtre) : A(f_1 + \lambda f_2) = A(f_1) + \lambda A(f_2)
  • A(f(x-\tau)) = \left[ A(f) \right] (x-\tau)

Alors A est nécessairement un opérateur de convolution, c'est à dire : \exists h : \mathbb{R} \to \mathbb{C}, \forall f, A(f) = h \star f où :

h\star f(x) = \int_{-\infty}^{+\infty} h(y)f(x-y) dy

Définition et propriétés

DéfinitionDéfinition

Pour f et g deux fonctions de L^1(\mathbb{R}). On définit f \star g par :

(f \star g)(x) = \int_{-\infty}^{+\infty} f(y) g(x-y) dy

{Propriétés : } f \star g \in L^1(\mathbb{R}) (donc f \star g est défini pour presque tout x \in \mathbb{R}) et on a :

\left\|f\star g\right\|_1 \leq \left\|f\right\|_{L^1} . \left\|g\right\|_{L^1}

{Propriétés :} f, g, h \in L^1(\mathbb{R})

  1. f \star g = g\star f (Changement de variable)
  2. (f\star g)\star h = f\star (g\star h) (Fubini)
  3. f\star (g+h) = f\star g + f\star h (linéarité de l'intégrale)

Montrer qu'il existe pas d'élément neutre de \star dans L^1(\mathbb{R}). Ruse : Passer par Fourier.

Convolution et transformée de Fourier

DéfinitionProposition

f,g \in L^1(\mathbb{R})

Alors : \mathcal F(f\star g) = \mathcal F(f).\mathcal F(g)

"\mathcal F transforme \star en produit simple"


Méthode des moyennes glissantes (lissage de signal).

TF Application.jpg

Pour lisser la fonction f, on remplace f(x) par une moyenne local.

\sigma f(x) = \frac{1}{\tau} \int_{x-\frac{\tau}{2}}^{x+\frac{\tau}{2}} f(t) dt = \int_{-\infty}^{+\infty} h(x-t) f(t) dt

h(t) = \left\{ \begin{array}{ll} \frac{1}{\tau} & \textrm{\,si\,} -\frac{\tau}{2} \leq t \leq \frac{\tau}{2} \\ 0 & \textrm{\,sinon}\end{array}\right\}.

Comment cela s'interprète dansl e domaine de Fourier. \Pi = \chi_{[-1/2,1/2]}, h = \frac{1}{\tau} \Pi\left(\frac{x}{\tau}\right).

\mathcal F(\underbrace{f\times h}_{\sigma f} ) = \hat{f}.\hat{h}, or :

\hat{h} = \mathcal F\left(\frac{1}{\tau} \Pi \left(\frac{x}{\tau}\right)\right) = \hat{\Pi}(\tau \nu) = \mathrm{sinc}\,(\pi\tau\nu)

Il faut donc choisir \tau en fonction de \nu_{max}

Transformée de Fourier inverse

La motivation est centrée sur le fait qu'à partir d'une transformée de Fourier. On voudrait retrouver la fonction originale. L'objectif est :

  • Trouver un bon candidat pour \mathcal F^{-1} : \overline\mathcal F.
  • Trouver un espace invariant par \mathcal F et \overline\mathcal F \to \mathcal S(\mathbb{R})
  • Continuité et inversion : \mathcal F : (\mathcal S(\mathbb{R}), \left\|...\right\|_{L^2}) \to (\mathcal S(\mathbb{R}),\left\|...\right\|_{L^2}
  • Par densité \mathcal F : L^2 \to L^2 \to Hahn Bannach

Définition de \overline\mathcal F

DéfinitionDéfinition

L'application \overline\mathcal F est définie pour tout f \in L^1(\mathbb{R}) par

\forall \lambda \in \mathbb{R}, \qquad \overline\mathcal F(f)(\lambda) = \int_{-\infty}^{+\infty} f(u)e^{2i\pi u \lambda}du

Remarque :

  • Si f : \mathbb{R} \to \mathbb{R},
    \overline\mathcal F(f)(\lambda) = \int_{-\infty}^{+\infty} \overline{f(u)} \overline{e^{-2i\pi u \lambda}} du = \overline{\mathcal F(f)(\lambda)}
  • Si f : \mathbb{R} \to \mathbb{C},
    \overline\mathcal F(f)(\lambda) = \int_{-\infty}^{+\infty} \overline{\bar{f}(u)} \overline{e^{-2i\pi u \lambda}} du = \overline{\mathcal F(\bar f)(\lambda)}
DéfinitionProposition Toutes les prop. démontrés sur \mathcal F se transposent à \bar\mathcal F (ex : \bar\mathcal F : L^1(\mathbb{R}) \to L^\infty(\mathbb{R}), linéaire, continue,...).
DéfinitionThéorème

Soit f \in L^1(\mathbb{R}) telle que \mathcal F(f) = \hat{f} \in L^1(\mathbb{R}).

Alors : f = \overline\mathcal F(\hat{f}) = \overline\mathcal F \mathcal F(f) et f(x) = \int_{-\infty}^{+\infty} \hat{f}(\nu) e^{2i\pi\nu x} d\nu et l'égalité est vraie \forall x \in \mathbb{R} (car f et \hat{f} sont continues).

f(x) = e^{-\left|x\right|} \in L^1(\mathbb{R}), \hat{f}(\nu) = \frac{1}{1+4\pi^2 \nu^2} \in L^1(\mathbb{R}) (à vérifier).

e^{-\left|x\right|} = \int_{-\infty}^{+\infty} \frac{1}{1+4\pi^2 \nu^2} e^{2i\pi \nu x} d\nu

En déduire la transformée de Fourrier de la fonction : x \mapsto \frac{1}{1+x^2}

La classe de Schwartz \mathcal S(\mathbb{R})

\mathcal S(\mathbb{R}) est l'ensemble des fonctions \mathcal C^\infty sur \mathbb{R}, à décroissance rapide, ainsi que toutes leurs dérivées.

DéfinitionDéfinition

\varphi \in \mathcal S(\mathbb{R}) \Leftrightarrow \varphi \in \mathcal C^\infty(\mathbb{R}) et \forall (k,n) \in \mathbb{N}^2, \exists c >0

\forall x \in \mathbb{R} \qquad \left|x^k \varphi^{(n)}(x)\right| \leq c \qquad (x^k \varphi^{(n)}(x) \in L^\infty(\mathbb{R}))

\Leftrightarrow \varphi \in \mathcal C^\infty(\mathbb{R}), \, \forall (k,n) \in \mathbb{N}^2

\lim_{x \to \pm \infty} x^k \varphi^{(n)}(x) = 0


  • e^{-\pi x^2} \in \mathcal S(\mathbb{R})
  • \mathcal D(\mathbb{R}) = \left\{ \varphi : \mathbb{R} \to \mathbb{R} | \varphi \in \mathcal C^\infty(\mathbb{R}), \mathrm{supp}\,\varphi \textrm{\,compact}\right\}, \mathcal D(\mathbb{R}) \subset \mathcal S(\mathbb{R})

Remarque :

  • \mathcal D(\mathbb{R}) est dense dans L^1(\mathbb{R}) et L^2(\mathbb{R})
  • \mathcal S(\mathbb{R}) \subset L^1(\mathbb{R}), L^2(\mathbb{R}) ... donc \mathcal S(\mathbb{R}) est dans L^1(\mathbb{R}) et aussi L^2(\mathbb{R}).
DéfinitionProposition

Soit \varphi \in \mathcal S(\mathbb{R}). Alors \forall k, \forall p \in \mathbb{N},

x \mapsto x^k \varphi^{(p)}(x) \in \mathcal S(\mathbb{R})


DéfinitionProposition Si \varphi \in \mathcal S(\mathbb{R}), \hat{\varphi} \in \mathcal S(\mathbb{R})


Inversion de \mathcal F dans \mathcal S(\mathbb{R})

DéfinitionThéorème

\mathcal F : \mathcal S(\mathbb{R}) \to \mathcal S(\mathbb{R}) est inversible et \mathcal F^{-1} = \mathcal F (\mathcal F \overline\mathcal F = \overline \mathcal F \mathcal F = \textrm{Id}_{\mathcal S(\mathbb{R})}) donc \forall \varphi \in \mathcal S(\mathbb{R}).

\varphi(x) = \int_{-\infty}^{+\infty} \hat{\varphi}(\nu) e^{2i\pi \nu x} d\nu (=\overline\mathcal F \mathcal F \varphi)

Remarque :

\int_{-\infty}^{+\infty}\hat{\varphi}(\nu) e^{2i\pi \nu x} d\nu = \int_{-\infty}^{+\infty} \int_{-\infty}^{+\infty} \varphi(u) e^{-2i\pi \nu u}e^{2i\pi\nu x} du dx
= \varphi(u) \left[ \int_{-\infty}^{+\infty} e^{-2i\pi \nu(u-x)} dx \right] du ???????

Gnaaaan ! C'est pas intégrable sur \mathbb{R}.

Formule de Parseval dans \mathcal S(\mathbb{R}) : \forall f, \varphi \in \mathcal S(\mathbb{R}),

\int_{-\infty}^{+\infty} \hat{f}(\nu) \overline{\varphi(\nu)}d\nu = < \mathcal F(f),\varphi >_{L^2} = \int_{-\infty}^{+\infty} f(x) \overline{\bar \mathcal F(\varphi)(x)} dx = < f, \bar\mathcal F(\varphi)>_{L^2}
\int f(x)  \overline{\bar \mathcal F(\varphi)(x)} dx  = \int f(x) \left( \overline{\int \varphi(u)e^{2i\pi x u} du} \right)

(x,u) \mapsto f(x)\varphi(u) e^{2i\pi xu} \in L^1(\mathbb{R}^2) car \int\!\!\!\int \left|f(x)\varphi(u)\right| dxdu = \left(\int \left|f\right|\right) \left(\int \left|\varphi\right|\right) < +\infty.

I_{\textrm{Fubini}} = \int \overline{\varphi(u)} \underbrace{f(x)e^{-2i\pi ux} dx}_{\hat{f}(u)} du = \int \overline{\varphi(u)} \hat{f}(u) du

h(x) = e^{-\pi x^2}

\forall \varepsilon > 0, h_\varepsilon (x) = \frac{1}{\varepsilon} h\left(\frac{x}{\varepsilon}\right) = \frac{1}{\varepsilon} e^{-\pi (\frac{x}{\varepsilon})^2}

Alors

\overline \mathcal F \mathcal F h_\varepsilon = h_\varepsilon

Transformée et produit

Remarque :

  • Si f,g \in L^1(\mathbb{R}), (fg) n'est pas forcément dans L^1(\mathbb{R})
  • Si f,g \in L^2(\mathbb{R}) alors (fg) \in L^1(\mathbb{R}) car
    \int_{-\infty}^{+\infty} \left|fg\right| \leq \sqrt{\int_{-\infty}^{+\infty} \left|f\right|^2}  \sqrt{\int_{-\infty}^{+\infty} \left|g\right|^2}
  • f,g \in \mathcal S(\mathbb{R}), alors (fg) \in \mathcal S(\mathbb{R})

    En effet :

    • (fg) \in \mathcal C^{\infty} (\mathbb{R})
    • Montrons que \forall k \in \mathbb{N}, (fg)^{(k)} est à décroissance rapide.

Formule de Leibnitz :

(fg)^{(k)} = \sum_{p=0}^k \binom{k}{p} f^{(p)} g^{(k-p)}

Alors : \forall m \in \mathbb{N},

\left|x^m (fg)^{(k)}\right| \leq \sum_{p=0}^k  \binom{k}{p} \left|\underbrace{f^{(p)}}_{\leq c_{1,p,n}} \underbrace{g^{(k-p)}}_{\leq c_{2,k-p}}\right| \leq cte
DéfinitionProposition

\forall \varphi \in \mathcal S(\mathbb{R}), \forall \Psi \in \mathcal S(\mathbb{R})

\mathcal F(\varphi \Psi) = \mathcal F(\varphi) \star \mathcal F(\Psi)


Exemple d'application

Equation de la chaleur.

À t = 0 : \varphi(x) température de la tige.

Soit u(t,x) la température de la tige à l'instant t > 0. Alors u(t,x) vérifie :

\left\{\begin{array}{l} \frac{\partial u}{\partial t}(t,x) - \frac{\partial ^2 u}{\partial x^2}(t,x) = 0 \\ u(0,x) = \varphi(x)\end{array}\right.

Montrer qu'i existe une unique solution u(t,x) \in \mathcal (\mathbb{R}_+ \times \mathbb{R}), soit :

  • u \in \mathcal C^{\infty}(\mathbb{R}_+ \times \mathbb{R})
  • \forall m,p \in \mathbb{N}, \forall k, l \in \mathbb{N}, \left(1+\left|x\right|^m + \left|t\right|^p\right) \frac{\partial ^{k+l}}{\partial t^k \partial x^l} u \in L^{\infty}(\mathbb{R}_+\times \mathbb{R})


Transformée de Fourier dans L^2(\mathbb{R})

L^2(\mathbb{R}) = \left\{ f : \mathbb{R} \to \mathbb{C} / \int_{-\infty}^{+\infty} \left|f\right|^2 < +\infty\right\}.

<f,g> = \int_{-\infty}^{+\infty} f(x)\overline{g(x)} dx. \left\|f\right\|_{L^2} = \sqrt{<f,f>}.

Théorème de densité

DéfinitionThéorème

\mathcal S(\mathbb{R}) est dense dans L^2(\mathbb{R}), c'est à dire :

\forall \varepsilon > 0, \forall f \in L^2(\mathbb{R}), \exists \varphi \in \mathcal S(\mathbb{R}), \left\|f-\varphi\right\|_{L^2} < \varepsilon

Remarque : (\varphi(\mathbb{R}),\left\|.\right\|_{L^2}) est un sevn de L^2(\mathbb{R}).

Théorème de Hahn-Banach

DéfinitionThéorème

F : D \to Y

  • (X,\left\|.\right\|_X) evn complet
  • (Y,\left\|.\right\|_Y) evn complet
  • D sous ensemble dense de X
  • F linéaire, continue.

Alors : Il existe une unique application linéaire \tilde F prolongeant F, telle que :

  • \tilde F : X \to Y linéaire, continue
  • \left|\left\|\tilde F\right\|\right|_{\mathcal L(X,Y)} = \left|\left\|F\right\|\right|_{\mathcal L(D,Y)}

Soit x \in X \setminus \mathcal D, qu'est-ce que \tilde F(x) ?

Soit (x_n) \in \mathcal D telle que x_n \underset{n\to +\infty}{\longrightarrow} x. On définit :

\tilde F(x) = \lim_{n\to +\infty} F(x_n)

D'après le théorème de Hahn-Banach, \mathcal F : \mathcal S(\mathbb{R}) \to L^2(\mathbb{R}) se prolonge de manière unique en \mathcal F : L^2(\mathbb{R}) \to L^2(\mathbb{R}) linéaire continue.

Soit f \in L^2(\mathbb{R}). Soit \varphi_n \in \mathcal S(\mathbb{R}) tel que \lim_{L^2} \varphi_n = f par définition \mathcal F(f) = \lim_{L^2} \mathcal F(\varphi_n).

On a également grâce à la continuité de la norme :

\left\|\mathcal F(f)\right\|_{L^2} = \lim_{n\to+\infty} \left\|\mathcal F(\varphi_n)\right\|_{L^2} = \lim_{n\to+\infty} \left\|\varphi_n\right\|_{L^2} = \left\|\lim_{n\to+\infty} \varphi_n\right\|_{L^2} = \left\|f\right\|_{L^2}

Calcul d'une Transformée de f\in L^2(\mathbb{R}) en pratique :

Soit n \in \mathbb{N}.

f_n(x) = f(x) \times \chi_{[-n,n]}(x)
= \left\{ \begin{array}{ll} f(x) & \textrm{si\,} x \in [-n,n] \\ 0 & \textrm{sinon} \end{array} \right.


Alors
  1. \forall n \in \mathbb{N}, f_n \in L^1(\mathbb{R}) \cap L^2(\mathbb{R})
  2. \lim_{L^2} f_n = f


Conclusion : \mathcal F : L^2 \to L^2 continue donc \mathcal F(f) = \lim_{L^2} \mathcal F(f_n).

donc \mathcal F(f)(\nu) = \lim_{n \to +\infty} \int_{-n}^n f(x) e^{-2i\pi \nu x} dx. Egalité dans L^2 donc presque partout en \nu.

  1. f(x) = e^{-\left|x\right|} \in L^1(\mathbb{R}) \cap L^2(\mathbb{R}) \hat{f}(\nu) = \frac{2}{1+4\pi^2 \nu^2} \in L^1(\mathbb{R}) \cap L^2(\mathbb{R})
  2. \Pi(x) = \chi_{[-\frac{1}{2},\frac{1}{2}]} \in L^1\cap L^2. \hat{\Pi}(\nu) = \frac{\sin x}{x} \in L^2(\mathbb{R}).
DéfinitionThéorème
  1. \mathcal F et \overline \mathcal F sont des isométries de L^2(\mathbb{R}), ie \forall f \in L^2(\mathbb{R}), \left\|\mathcal F(f)\right\|_{L^2} = \left\|f\right\|_{L^2} \forall f\in L^2(\mathbb{R}), \left\|\overline\mathcal F(f)\right\|_{L^2} = \left\|f\right\|_{L^2}
  2. \mathcal F est inversible de L^2 \to L^2 et \mathcal F^{-1} = \mathcal F


  1. e^{-\left|x\right|} = \int_{-\infty}^{+\infty} \frac{2}{1+4\pi^2\nu^2} e^{2i\pi\nu x} d\nu = \overline\mathcal F\left( \frac{2}{1+4\pi^2\nu^2}\right)
  2. \Pi(x) = \overline\mathcal F\left(\frac{\sin\pi \nu}{\pi\nu} \right)
    = \lim_{n \to +\infty} \int_{-n}^n \frac{\sin \pi\nu}{\pi\nu} e^{2i\pi\nu x} d\nu
    = \int_{-\infty}^{+\infty} \frac{\sin\pi\nu}{\pi\nu} e^{2i\pi\nu x} dx \qquad \textrm{(abus\,d'ecriture)}
DéfinitionProposition

\forall f,g \in L^2(\mathbb{R})

\int_{-\infty}^{+\infty} f(x) \overline{g(x)} dx = \int_{-\infty}^{+\infty} \mathcal F(f) \overline{\mathcal F(g)} d\nu
conservation du produit scalaire.

Calcul de \int_{-\infty}^{+\infty} \left( \frac{\sin t}{t} \right)^2 dt = I

On a <\Pi,\Pi>_{L^2} = <\hat{\Pi},\hat{\Pi}>_{L^2}. Ce qui nous donne :

\int_{-\frac{1}{2}}^{\frac{1}{2}} = \int_{-\infty}^{+\infty} \left( \frac{\sin\pi\nu}{\pi\nu} \right)^2 d\nu = \frac{I}{\pi}
DéfinitionProposition

Soit f, g \in L^2(\mathbb{R}). Alors fg \in L^1(\mathbb{R}) et

\mathcal F(fg) = \mathcal F(f) \star \mathcal F(g)


Remarque : Si f et g sont deux fonctions L^2, alors f \star g est bien définit. Car :

(f\star g)(x) = \int_{-\infty}^{+\infty} f(y)g(x-y) dy
\int\left|f(y)g(x-y)\right|dy \leq \sqrt{\int\left|f\right|^2 \times \int\left|g(x-y)\right|^2 dy} \leq \left\|f\right\|_{L^2} \times \left\|g\right\|_{L^2}

donc f\star g(x) défini pour tout x \in \mathbb{R} et (f\star g) \in L^\infty.

Remarque : Si f, g \in L^2, f\star g \in L^\infty. Donc on ne peut pas considérer \mathcal F(f\star g) !

Equation de Helmoltz :

-u''(x) + k^2 u(x) = f

D'un point de vue physique : on considère une tige (d'axe x) de raideur k et sur laquelle on applique une densité de charge f. u étant le déplacement de la tige

Alors :

  1. Si f\in S(\mathbb{R}), l'équation admet une unique solution u \in \mathcal S(\mathbb{R}) (par Fourier)
  2. On a de plus \left\|u\right\|_{L^2} \leq \frac{1}{k^2} \left\|f\right\|_{L^2}
  3. L : f \mapsto u est linéaire, continue de \left(\mathcal S(\mathbb{R}),\left\|.\right\|_{L^2}\right) \to \left(\mathcal S(\mathbb{R}),\left\|.\right\|_{L^2}\right) qui se prolonge en une application linéaire L^2(\mathbb{R}) \to L^2(\mathbb{R}).

    Donc si f\in L^2(\mathbb{R}), il existe une solution ``faible" de l'équation u = L^f) (pas forcément deux fois dérivable).