Transformée de Fourier
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Matière | Analyse 2 | ||
Chapitre | 1 | ||
Promo | 1A | ||
Date | 2007 | ||
Professeur | V. Perrier | ||
Auteur | L. Petit | ||
Le Post'IT |
Sommaire
Ce qu'on appelle transformée de Fourier c'est l'analyse en fréquence d'une fonction. En 1822, il publie le "Traité de la chaleur". Il créa les séries de Fourier, mais les intégrales sont de Lebesgue (en 1906).
Découverte : Dans , on dispose d'un disque et on veut :
temperature du disque en
à l'instant
. On obtient l'équation de la chaleur :

Puisque la solution est périodique selon , il suffit de chercher ces solutions avec les transformées.
Solution stationnaire : (
indépendant de
)
vérifie :
.
Résoudre dans le cas ,
.
{Méthode}
On cherche sous la forme :


On réinjecte dans (1), indépendant de
:
- Écrire
en coordonnées polaires
-
équations différentielles en
- Résoudre : Besoin des transformées
Motivation pour la TF en traitement du signal.
Un signal est basé sur une fréquence pure : , où
est le temps.
pulsation rad
,
fréquence (
).
période (en
).
On cherche à écrire tout signal comme une superposition de fréquences pures :

Transformée de Fourier dans 
Définition
Remarque :
,
est bien défini car :
.
Notation : est la transformation de Fourier,
.
Exemples
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Propriété de 
est une application linéaire, continue, et on a :
donc
.
Soit une application linéaire d'un evn
vers un evn
.
Alors :
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![]() ![]() ![]() |
Dans ce cas : on appelle
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-
,
,
, linéarité de
.
- Continuité :
,
donc est bornée donc appartient à
et

Conclusion : donc
est continue et
.
Remarque :
On connait la fonction tel que
et
donc
(le sup est atteint en
).
Théorème de Riemann-Lebesgue
où
est dense dans
:
,
,
,
- Continuité de
.
-
continue, pp en
-
donc
est continue.
-
-
?
-
borné donc
,
,
donc le terme de bord est nul.
Donc :
est continue sur
, ce support borné donc intégrable donc
.
-
. Soit
,
- Par densité de
dans
:
,
-
donc
,
,
, donc
,
.
- Par densité de
-
Propriétés "géométriques"
Dilatation : ,
. Soit
. On pose que
.
Alors

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Translation : Th du retard, , retard,
.
.
Alors :

Remarque :

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.
Pour ,
.
On remarque que l'on a, pour fixé :

Calculons la transformée de Fourier de cette fonction.
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TF et Dérivations
-
Montrer que :
admet une limite en
, et que cette limite est nulle.
est
donc
.
On pose
, alors
,
,
Conclusion :
et
-
-
est dérivable par rapport à
, pp en
et
-
par hypp, donc
est dérivable et
-
, on montre
.
Produit de convolution
Sa motivation est centrée sur le traitement du signal. Soit un signal,
un système (un opérateur).
est le signal filtré.
Hypothèse sur :
-
linéaire (
filtre) :
-
Alors est nécessairement un opérateur de convolution, c'est à dire :
,
,
où :

Définition et propriétés
{Propriétés : }
(donc
est défini pour presque tout
) et on a :

Application de théorème de Fubini.

Montrons que est intégrable dans
.
On a donc :
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donc et on a :
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donc , donc défini presque partout en
d'après le lemme suivant :
Si
alors
presque partout en
(donc
est définie presque partout en
).
. Si
,
mesure de
, alors

Contradiction ! Donc est de mesure nulle. Et
sur
donc presque partout en
.
{Propriétés :}
,
,
-
(Changement de variable)
-
(Fubini)
-
(linéarité de l'intégrale)
Montrer qu'il existe pas d'élément neutre de dans
. Ruse : Passer par Fourier.
Convolution et transformée de Fourier
" transforme
en produit simple"
Thm de Fubini.
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![]() |
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Donc on peut appliquer le théorème de Fubini :
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![]() |
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![]() |
Méthode des moyennes glissantes (lissage de signal).

Pour lisser la fonction , on remplace
par une moyenne local.

où .
Comment cela s'interprète dansl e domaine de Fourier. ,
.
, or :

Il faut donc choisir en fonction de
Transformée de Fourier inverse
La motivation est centrée sur le fait qu'à partir d'une transformée de Fourier. On voudrait retrouver la fonction originale. L'objectif est :
- Trouver un bon candidat pour
:
.
- Trouver un espace invariant par
et
- Continuité et inversion :
,
- Par densité
Hahn Bannach
Définition de 
Remarque :
- Si
,
- Si
,
,
(à vérifier).

En déduire la transformée de Fourrier de la fonction :
La classe de Schwartz 
est l'ensemble des fonctions
sur
, à décroissance rapide, ainsi que toutes leurs dérivées.
-
-
,
Remarque :
-
est dense dans
et
-
,
... donc
est dans
et aussi
.
,
. On utilise la formule de Leibnitz pour dériver
,
-
donc
. Montrons que
à décroissance rapide.
,
,
, ... ,
donc :
donc
à décroissance rapide.
- Montrer que
est
.
,
:
(
) alors
est dérivable jusqu'à l'ordre
et
-
est dérivable pour tout
donc
est
.
Montrons que
,
est en décroissance rapide. Pour
donc
est continue bornée comme transformée de Fourier d'une fonction intégrable.
- Conclusion :
Inversion de
dans 
Remarque :
![]() |
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![]() |
![]() |
![]() |
Gnaaaan ! C'est pas intégrable sur .
Formule de Parseval dans :
,


car
.

,
Alors

.
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![]() |
![]() | |
![]() |
![]() | |
![]() |
![]() | |
![]() |
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du Théorème, en deux étapes :
- Montrons
,
. On applique le lemme 4 avec
On a :
D'autre part
et
,
.
Donc
- On a démontré : Pour
,
.
Soit
.
. On considère la fonction
.
.
On a
.
donc par
,
.
D'autre part :
.
Donc :
donc :
.
,
,
De même, on démontre :
Transformée et produit
Remarque :
- Si
,
n'est pas forcément dans
- Si
alors
car
-
, alors
En effet :
-
- Montrons que
,
est à décroissance rapide.
-
Formule de Leibnitz :

Alors : ,

,
On a, d'après (en posant
et
).
Exemple d'application
Equation de la chaleur.
À :
température de la tige.
Soit la température de la tige à l'instant
. Alors
vérifie :

Montrer qu'i existe une unique solution , soit :
-
-
,
,
On procède par CNS, (i) si existe et
, on note :

Alors :
Ensuite :

Or .
Théorème de dérivation sous .
.
-
-
Car
supposé dans
.
Donc .
Ce qui nous donne :

Or ceci, nous savons le résoudre : , pour
,
, on applique
à
:

Donc : .

On a : ,
![\overline\mathcal F\left(e^{-\pi [\underbrace{\sqrt{\pi t} 2}^2 \nu]^2}\right) = \frac{1}{2\sqrt{\pi t}} e^{-\frac{x^2}{4t}} = \frac{1}{\sqrt{4\pi t}} e^{-\frac{x^2}{4t}}](/images/math/d/5/f/d5f6a0135034f903e87b64a8ec0c2962.png)
(ii) Vérifier que la solution trouvée au (i) est dans
(dérivation sous l'intégrale, avec
).
Transformée de Fourier dans 
.
.
.
Théorème de densité
Remarque :
est un sevn de
.
Théorème de Hahn-Banach

-
evn complet
-
evn complet
-
sous ensemble dense de
-
linéaire, continue.
Alors : Il existe une unique application linéaire prolongeant
, telle que :
-
linéaire, continue
-
Soit , qu'est-ce que
?
Soit telle que
. On définit :

:
.
-
est linéaire
-
est continue ?
On applique le lemme 4 avece . Alors
car on est dans
. D'après le lemme :
.
donc est continue de
et
,
.
D'après le théorème de Hahn-Banach, se prolonge de manière unique en
linéaire continue.
Soit . Soit
tel que
par définition
.
On a également grâce à la continuité de la norme :

Calcul d'une Transformée de en pratique :
Soit .
![]() |
![]() |
![]() |
![]() |
![]() |
-
,
-
-
donc
.
-
donc
Conclusion : continue donc
.
donc . Egalité dans
donc presque partout en
.
-
-
.
.
-
: voir théorème précédent.
: on prolonge
par le théorème de Hahn-Banach et on a une isométrie dans
.
- Soit
Montrons
. Soit
tel que
.
La continuité de
et de
dans
nous donne :
Or
est dans
donc l'inversion de
donne :
de même
donc
.
Calcul de
On a . Ce qui nous donne :

Vrai si et
Remarque :
Si et
sont deux fonctions
, alors
est bien définit. Car :
![]() |
![]() |
![]() |
![]() |
![]() |
![]() |
donc défini pour tout
et
.
Remarque :
Si ,
,
. Donc on ne peut pas considérer
!
Equation de Helmoltz :

D'un point de vue physique : on considère une tige (d'axe ) de raideur
et sur laquelle on applique une densité de charge
.
étant le déplacement de la tige
Alors :
- Si
, l'équation admet une unique solution
(par Fourier)
- On a de plus
-
est linéaire, continue de
qui se prolonge en une application linéaire
.
Donc si
, il existe une solution ``faible" de l'équation
(pas forcément deux fois dérivable).
- Si
existe :
, donc on a :
Donc on a
Donc
.
(
) et
solution.
-
.