Solutions de viscosité d'EDP et schémas numériques associés

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Solutions de viscosité d'EDP et schémas numériques associés

Labo LJK
Equipe EDP
Encadrants Emmanuel.Maitre@imag.fr

Thème général

Cet IRL s'intéresse à une manière de définir une notion de solution généralisée d'équations aux dérivées partielles, qui permet de considérer des cas dégénérés et très non linéaires que la définition classique, ou la théorie des distribution, ne peuvent prendre en compte. Cette nouvelle notion de solution débouche sur le plan numérique sur des schémas que nous voulons aussi étudier. Parmi les applications visées figurent les EDP issues de la finance mathématique ou du contrôle optimal dynamique.

Sujet

Dans un premier temps, il s'agit de comprendre cette notion de solution. Pour cela, nous recommandons la lecture des notes de cours d'Alberto Bressan, qui comporte par ailleurs de nombreuses références et une introduction au contrôle optimal dynamique. Sur le plan numérique, l'article de référence est celui de Crandall et Lions. Les applications sont nombreuses en finance mathématique, ce preprint y introduit. Le but est d'implémenter et de tester un tel schéma en C++ ou Matlab, pour une équation aux dérivées partielles dégénérée intervenant soit en finance, soit en contrôle optimal dynamique.

Compétences attendues

Cet IRL s'adresse aux étudiants de la filière MMIS. Il s'agira de comprendre un article de recherche (en anglais), et de programmer la méthode dans un langage de programmation libre (matlab, C++, ...)

Contexte du travail

L'IRL se déroulera dans l'équipe Equations aux Dérivées Partielles (EDP) du laboratoire Jean Kuntzmann (LJK). La thématique développée peut s'appliquer à la résolution de problèmes actuellement étudiés au laboratoire (notamment de transport optimal).

Résultats attendus

L'objectif principal est la compréhension et la programmation de la méthode pour un certain domaine d'application, et sa comparaison en termes d'efficacité par rapport aux méthodes classiques (différences finies, éléments finis). Selon le goût de l'étudiant(e) pour les aspects numériques ou théoriques le sujet pourra donner la part belle à l'un ou à l'autre.