Proba:Fonctions caractéristiques

De Ensiwiki
Aller à : navigation, rechercher


Wikicours.png Fonctions caractéristiques
Matière Proba 2
Chapitre 6
Promo 1A
Date 2007
Professeur O. François
Auteur L. Petit
PDF Le Post'IT

Définition - Propositions

DéfinitionDéfinition

Soit X \in \mathbb{R}, t\in \mathbb{R},

\Phi_X(t) = E\left[ e^{itX}\right] = \int_\mathbb{R} e^{itx} f_X(x)dx
e^{itX} = \cos(tX) + i \sin (tX) et \left|e^{itX}\right| = 1

Remarque : \forall x \in \mathbb{R},

f_X(x) = \frac{1}{2\pi} \int_\mathbb{R} e^{-itx} \Phi_X(t) dt
DéfinitionProposition

\forall r \geq 0,

E[X^r] = (-1)^r \frac{\partial^r}{\partial t^r} \Phi_X(0)

Si X et Y sont indépendants,

\Phi_{X+Y} = \Phi_X \Phi_Y

Généralisation Si X \in \mathbb{R}^n, \forall t \in \mathbb{R}^n,

\Phi_X(t) = E\left[e^{i^Tt X}\right] = E\left[ e^{i\sum_{i=1}^n t_i X_i}\right]

Et (X_1,...,X_n) indépendantes si et seulement si :

\Phi_X(t_1, ... , t_n) = \prod_{k=1}^n \Phi_{X_k}(t_k)

Exemples

Loi \mathcal N(0,1) \forall x \in \mathbb{R}, f_X(x) = \frac{1}{\sqrt{2\pi}} e^{-\frac{x^2}{2}}.

La fonction caractéristique de X est \Phi_X(t) = e^{-\frac{t^2}{2}}.

\Phi_X(t) = \int_{-\infty}^{+\infty} \frac{1}{\sqrt{2\pi}} e^{itx - \frac{x^2}{2}} dx
= \frac{e^{-\frac{t^2}{2}}}{\sqrt{2\pi}}\underbrace{ \int_{-\infty}^{+\infty} e^{-\frac{(it)^2}{2} + itx - \frac{x^2}{2}} dx}
\quad \qquad \underbrace{\int_{-\infty}^{+\infty} e{-\frac{(x-it)^2}{2}} dx}_{\sqrt{2\pi}}
= e^{-\frac{t^2}{2}}

Loi \mathcal N(m,\sigma^2) Z = m + \sigma X. E[Z] = m et \textrm{Var\,}(z) = \sigma^2

\Phi_Z(t) = E\left[ e^{it(m+\sigma X)} \right]
= e^{itm}E\left[ e^{i(t\sigma) X} \right]
= e^{itm} e^{-\frac{\sigma^2 t^2}{2}}
= e^{itm-\frac{1}{2} tK t} \qquad \qquad (K=\sigma^2)


DéfinitionProposition

X_1 suit \mathcal N(m_1, \sigma_1^2)

X_2 suit \mathcal N(m_2,\sigma_2^2).

Quel est la loi de Z = a_1 X_1 + a_2 X_2

\Phi_Z(t) = \Phi_{a_1X_1}(t) \Phi_{a_2X_2} (t)
= \Phi_{X_1}(a_1t) \Phi_{X_2} (a_2t)
= e^{i(a_1 m_1+a_2m_2)t} e^{-\frac{1}{2} (a_1^2 \sigma_1^2 + a_2^2 \sigma_2^2)t^2}
= e^{iMt} e^{-\frac{1}{2}Kt^2}
Donc Z suit la loi \mathcal N(a_1m_1 + a_2m_2, (a_1\sigma_1)^2 + (a_2\sigma_2)^2)

Loi \varepsilon(\lambda)

\Phi_X(t) = \int_0^{+\infty} \lambda e^{-(\lambda x - itx)} dx = \frac{\lambda}{\lambda - it}

Loi G(a,\lambda)

\Phi_X(t) = \left( \frac{\lambda}{\lambda - it} \right)^a

On peut donc redémontrer le résultat suivant : G(a,\lambda) \oplus G(b,\lambda) = G(a+b,\lambda)

Preuve :

\left( \frac{\lambda}{\lambda - it} \right)^a \left( \frac{\lambda}{\lambda - it} \right)^b = \left( \frac{\lambda}{\lambda - it} \right)^{a+b}

Cas particulier \sum_{i=1}^n \varepsilon(\lambda) \sim G(n,\lambda)

La proposition 4 Pourquoi c'est vrai ?

(X_1,X_2) sont indépendantes si et seulement si f_X(x_1,x_2) = f_{X_1}(x_1) f_{X_2}(x_2).

\Phi_{(X_1,X_2)}(t_1,t_2) = \int\!\!\!\!\int_{\mathbb{R}^2} e^{it_1 x_1} e^{it_2 x_2} f_{X_1}(x_1) f_{X_2}(x_2) dx_1 dx_2
= \underbrace{\int e^{it_1 x_1} f_{X_1}(x_1) dx_1}_{\Phi_{X_1}(t_1)} \times \underbrace{\int e^{it_2x_2} f_{X_2}(x_2)dx_2}_{\Phi_{X_2}(t_2)}

Exemple : X = (X_1, ... , X_n)X_k suit \mathcal N(m_k,\sigma_k^2) et les (X_k) indépendantes.

\Phi_X(t) = \prod_{k=1}^n \Phi_{X_k}(t_k)
= \prod_{k=1}^n e^{it_k m_k - \frac{1}{2} t_k^2 \sigma_k^2}
= e^{i\sum t_k m_k \frac{1}{2} - \sum \sigma_k^2 t_k^2}
= e^{i^Tt m - \frac{1}{2} ^Tt m t}
K = \begin{pmatrix} \sigma_1^2 & \cdots & 0 \\  \vdots & \ddots & \vdots \\ 0 & \cdots & \sigma_n^2 \end{pmatrix}