Proba:Espérance conditionnelle

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Wikicours.png Espérance conditionnelle
Matière Proba 2
Chapitre 3
Promo 1A
Date 2007
Professeur O. François
Auteur L. Petit
PDF Le Post'IT

Définitions - Théorème

DéfinitionDéfinition

Soit (X,Y) un couple de variables aléatoires de densité f et y tel que f_Y(y) > 0, alors l'espérance conditionnelle de X sachant Y = y est :

E[X | Y = y] = \int_\mathbb{R} x f_X^{Y=y}(x)dx

Si M, N sont des variables aléatoires discrètes et P(N=n) > 0, alors :

E[M | N=n] = \sum_{m \in \mathbb{N}} m P(M = m | N = n)
DéfinitionDéfinition

L'espérance conditionnelle de X sachant Y est une variable aléatoire obtenue en composant

E[X | Y=y] avec Y.
DéfinitionThéorème
E[X] = E[E[X|Y]]

Si M et N sont discrètes :

E[M] = \sum_{n=1}^{+\infty} P(N=n) E[M|N=n]

Si (X,Y) est un couple de densité f :

E[X] = \int_\mathbb{R} E[X|Y=y] f_Y(y) dy

Applications

(X,Y) est couple de densité f(x,y) = \left\{ \begin{array}{ll} \frac{1}{y} e^{-x/y} e^{-y} & \textrm{si\,} x>0, y>0 \\ 0 & \textrm{ailleurs} \end{array} \right.

Si x > 0, y > 0

f(x,y) = e^{-y} \times \frac{1}{y} e^{-x/y}
= \underbrace{f_Y(y)}_{\varepsilon(1)} \underbrace{f_X^{Y=y} (x)}_{\varepsilon(1/y)}

On a donc :

E[X | Y =y] = \int_0^{+\infty} \frac{x}{y} e^{-\frac{x}{y}} dx = y

Donc E[X|Y] = Y. On a ainsi E[X] = E[E[X|Y]] = E[Y] = 1.


Exemple : Soit \mathcal D un disque de centre 0 de rayon 1. Soit (X,Y) de loi \mathcal U(\mathcal D). Sachant X = x, quelle est E[R^2 | X = x] ?

  1. f_Y^{X=x} (y) est uniforme sur \left(0,\sqrt{1-x^2}\right). Donc :
    f_Y^{X=x} (y)=\frac{1}{\sqrt{1-x^2}} \mathds 1_{\left(0,\sqrt{1-x^2}\right)}(y)
  2. E[X^2+Y^2 | X = x] = E[X^2 | X = x] + E[Y^2 | X = x]
    = x^2 + \int y^2 f_Y^{X=x} (y) dy
    = x^2 + \int_0^{\sqrt{1-x^2}} \frac{y^2}{\sqrt{1-x^2}} dy
    = x^2 + \frac{1}{3} (1-x^2) = \frac{1}{3} + \frac{2}{3} x^2


Exemple : Le labyrinthe est défini avec trois intersections, et a le graphe de proba suivant :

Labyrinthe Probabiliste.png

N = numéro de la porte \{1,2\} choisie par le rat au point D.

E[T|N=1] = 1 + E[T]

E[T|N=2] = 1 + (\frac{1}{2} 1 + \frac{1}{2} (1+E[T]))

E[T] = E[E[T|N]] = \frac{1}{3} (1+E[T]) + \frac{2}{3} (2+\frac{1}{2} E[T]))

E[T] = 5