Proba:Couples de variables aléatoires

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Wikicours.png Couples de variables aléatoires
Matière Proba 2
Chapitre 1
Promo 1A
Date 2007
Professeur O. François
Auteur L. Petit
PDF Le Post'IT

Définitions

Soit (X,Y), \Omega \to \mathbb{R}^2, \mathcal{B} (\mathbb{R}^2).

DéfinitionDéfinition

La loi de (X,Y) est une mesure de proba sur (\mathbb{R}^2,\mathcal{B}(\mathbb{R}^2)) :

\forall C \in \mathcal{B}(\mathbb{R}^2),\,P_{(X,Y)}(C) = P((X,Y)\in C)

Si C = ]a,b]\times ]c,d], on a :

P_{(X,Y)}(C) = P(X \in ]a,b] \cap Y \in ]c,d])
DéfinitionDéfinition

Soit f : \mathbb{R}^2 \to \mathbb{R}_+, mesurable et tel que \int\!\!\!\int_{\mathbb{R}^2} f(x,y) dxdy = 1. le couple admet f pour densité si :

P((X,Y)\in C) = \int\!\!\!\!\int_C f(x,y)dxdy
DéfinitionDéfinition

Loi marginale : Elle admet pour densité

\forall x \in \mathbb{R}, f_X(x) = \int_\mathbb{R} f(x,y)dy
DéfinitionProposition

X et Y sont indépendantes si et seulement si :

\forall x,y, \qquad f(x,y) = f_X(x) f_Y(y)

Applications

Loi de X

Soit B \in \mathcal{B}(\mathbb{R}),

P(X\in B) = P(X\in B \cap Y \in \mathbb{R})
= P((X,Y) \in B\times \mathbb{R})
= \int_B \left( \int_\mathbb{R} f(x,y) dy\right) dx
= \int_B f_X(x) dx

Démo de la Proposition

Soit A = ]a,b], B=]c,d].

\Rightarrow

P((X,Y) \in A \times B) = P(X\in A \cap Y \in B)
= P(X\in A) P(Y \in B)
= \int_A f_X(x)dx \int_B f_Y(y) dy
= \int_{A\times B} f_X(x)f_Y(y) dxdy


Ainsi (X,Y) admet une densité f donnée par f(x,y) = f_X(x)f_Y(y).

\Leftarrow Évident...

Exemples

Exemple : f(x,y) = \left\{ \begin{array}{ll} 2 e^{-2y} e^{-x} & x>0,\; y>0 \\ 0 & \textrm{sinon} \end{array}\right.

  1. Loi de X, loi de Y
  2. P(X<Y) ?
  3. E[XY]
  4. Z = X+Y, P(Z \leq t) ?
  1. Loi de X : Soit x > 0,
    f_X(x) = \int_0^{+\infty} 2e^{-2y}e^{-x}dy
    = e^{-x} \int_0^{+\infty} 2e^{-2y}dy

    X suit la loi \varepsilon(1), Y suit la loi \varepsilon(2).

    \forall (x,y) \in \mathbb{R}^2,

    f(x,y) = \underbrace{e^{-x}\mathds 1_{R_+}(x)}_{f_X(x)} . \underbrace{2e^{-2y}\mathds 1_{\mathbb{R}_+}(y)}_{f_Y(y)}

    X et Y sont indépendantes.

  2. P(X<Y) = P((X,Y) \in C)
    = \int\!\!\!\!\int_C 2 e^{-2y}e^{-x}dxdy
    = \int_0^{+\infty}\left( \int_0^y e^x dx\right) 2e^{-2y}dy
    = \int_0^{+\infty} (1-e^{-y}) 2 e^{-2y} dy
    = 1 - \frac{2}{3} = \frac{1}{3}
  3. E[XY] = E[X]E[Y], car les variables sont indépendantes. Donc E[XY] = \frac{1}{2}
    E[\phi(X,Y)]  = \int\!\!\!\!\int_{} \phi(x,y) f(x,y) dxdy
    E[XY] = \int\!\!\!\!\int_{\mathbb{R}_+^2} xyf_X(x)f_Y(y)dxdy = E[X]E[Y]
  4. Z = X+Y.

    \forall t \geq 0, P(Z \leq t) = P((X,Y) \in C_t)C_t = \{(x,y) / x+y \leq t\}.

    On a donc :

    P(Z \leq t) = \int_0^t \left( \int_0^{t-y} e^{-x}dx\right) 2e^{-2y}dy
    = \int_0^t 2 e^{-2y}\left(1-e^{-(t-y)}\right)dy
    = (1-e^{-2t}) - 2 \int_0^t e^{-(t+y)}dy
    = 1 - 2e^{-t} + e^{-2t}

Exemple : Soit U et V selon \mathcal U(0,1) indépendantes. Z = U + V.

P(U+V \leq t) = P((U,V) \in C_t)
= \int\!\!\!\!\int_{C_t} du dv = \textrm{Aire}(C_t)

Ainsi si t \in [0,1], P(Z \leq t) = \frac{t^2}{2}.

Si t \in [1,2], P(Z \leq t) = 1 - \frac{(2-t)^2}{2}.

Exemple : Soit f_X une densité sur [0,1]. Nouvel algorithme de simulation (type rejet).

Répeter

U \leftarrow Alea

V \leftarrow Alea

Jusqu'à (cV < f_X(U))

X \leftarrow U Soit t \in [0,1],

P(X \leq t) = P(U \leq t | cV < f_X(U))
= \frac{P(U \leq t \cap cV < f_X(U))}{P(cV < f_X(U))}
P(U \leq t \cap cV < f_X(U)) = \int_0^t \left(\int_0^{\frac{f_x(u)}{c}} dv\right) du
= \frac{\int_0^t f_X(u)du}{c}
\textrm{donc}
P(X \leq t) = F_X(t)