Proba:Convergences

Convergences
Matière	Proba 2
Chapitre	8
Promo	1A
Date	2007
Professeur	O. François
Auteur	L. Petit
PDF	Le Post'IT

On joue à Pile ou Face avec une pièce truquée telle que : $P(\textrm{face\,au\,jeu\,} n) = p_n \to 0$.

Soit la variable $X_n = \mathds 1_{(\textrm{face\,au\,jeu\,} n)}$ suit $\mathcal B(p_n)$. Peut-on dire $P_{X_n} \to \delta_0$, $P(X_n = 0) \to 1$. Réponse OUI ! Mais peut-on dire $X_n \to 0$ ? Il faut penser si on va avoir un nombre fini ou infini de face.

Définitions - Propositions

Soit $(X_n)$ suite de variable aléatoire réelles.

Définition

• On dit que $X_n \to X$ presque sûrement (idem que presque partout en analyse) si $P(X_n \to X) = 1$
• On dit que $(X_n)$ converge en loi vers une loi de fonction de répartition $F$ si $F_n(t) \to F(t) \textrm{\,en\,tout\,point\,} t \textrm{\,ou\,} F \textrm{\,est\,continue}$

Soit $(A_n)$ une suite d'évènements alors

1. $\sum\limits_{n = 1}^\infty P(A_n) < \infty \Rightarrow$ un nombre fini de $A_n$ se réalisent presque sûrement.
2. Si les $A_n$ sont indépendants : $\sum\limits_{n=1}^\infty P(A_n) = \infty \Rightarrow$ un nombre infini de $A_n$ se réalisent presque sûrement.

Proposition

$\forall \varepsilon > 0$, $A_n^\varepsilon = \left|X_n - X\right| > \varepsilon$

$\sum_{n=1}^\infty P(A_n^\varepsilon) < \infty \Rightarrow X_n \to X \textrm{\,p.s.}$

Si $(X_n)$ indépendantes,

$\sum_{n=1}^\infty P(A_n^\varepsilon) = \infty \Rightarrow X_n \not\to X \textrm{\,p.s.}$ C'est tout ou rien.

Exemples

Exemple : $A_n =$``Face au jeu $n$.

$\forall n$, $P(A_n) = p_n$.

$\sum_{n=1}^\infty p_n < \infty \Rightarrow$ on observe p.s un nombre fini de $F$. Par exemple $p_n = \frac{1}{n^2}$.

$\sum_{n=1}^\infty p_n = \infty \Rightarrow$ on observe p.s un nombre infini de $F$. Par exemple $p_n = \frac{1}{n}$.

$N_n =$ nb de $F$ vus au temps $n = X_1 + ... + X_n$ où $X_i = \mathds 1_{A_i}$.

$E[N_n] = E[X_1 + ... + X_n] = \sum_{i=1}^n p_i$

Par exemple : $p_i = \frac{1}{i^2}$. Alors $E[N_n] \approx \frac{\pi^2}{6}$.

$p_i = \frac{1}{i}$. $E[N_n] = \sum_{i=1}^n \frac{1}{i} \approx \log n \to \infty$

Soit $X_n = \mathds 1_{A_n}$. (représenter) $F_n$

Et on a $F_n \to F_{\delta_1}$.

On a donc $X_n$ converge en loi vers $\delta_1$ et $X_n = \mathds 1_{A_n}$ converge en loi vers $\delta_0$.

$X_n = \mathds 1_{A_n}$ converge-t-elle $X = 0$.

$P(\left|X_n\right| > \varepsilon) = P(X_n > \varepsilon) = P(X_n) = 1$. .................... Exemple : $(X_n)$ variable aléatoire de loi $\varepsilon(n)$.

$E[X_n] = \frac 1n \to 0$

Candidat : $X = 0$. $X_n \to 0$ p.s. ? $P_{X_n} \to \delta_0$ en loi ?

$\forall t \geq 0$, $F_n(t) = 1-e^{-nt}$ et si $t \neq 0$, $F_n(t) \to 1$.

$P(\left|X_n\right| > \varepsilon)$	$=$	$P(\left|X_n\right| > \varepsilon)$
	$=$	$P(X_n > \varepsilon)$
	$=$	$e^{-n\varepsilon}$

Ainsi $\sum_{n=1}^\infty \left(e^{-\varepsilon}\right)^n < \frac{1}{1-e^{-\varepsilon}} < \infty$. $\Rightarrow X_n \to 0$, p.s.

Suite candidate telle que $X_n \not\to 0$. $\varepsilon(\log n)$.

$P(X_n > \varepsilon) = \frac{1}{n^\varepsilon}$ série div pour $\varepsilon$ petit.

Exemple : Soit $X_1$, ... , $X_n$. Une suite de variable aléatoire réelles positives, indépendantes.

On dit qu'il y a un record à l'étape $n$ si

$B_n(X_n > \max\limits_{i<n}^{} X_i)$

Question : Il y a-t-il une infinité de records ?

1. $P(B_n)$ ?
2. $E[N_n]$. $N_n =$ nb de record au temps $n$. (Ici $N_6 = 2$)
3. Réponse à la question.

$P(B_n)$	$=$	$P(\max\limits_{i<n}^{} X_i \leq X_n)$
	$=$	$\int_0^{+\infty} P(\max\limits_{i<n}^{} X_i \leq X_n | X_n = x) f_{X_n}(x) dx$
	$=$	$\int_0^{+\infty} P(\max\limits_{i<n}^{} X_i \leq x) dF(x)$
	$=$	$\int_0^{+\infty} F^{n-1}(x) dF(x)$
	$=$	$\frac{1}{n} \left[ F^n(x) \right]_0^{+\infty} = \frac{1}{n}$

Version 2 : Nombre d'ordres pour $n$ variables : $n!$.

Nombres d'ordres tels que $X_n > \max\limits_{i<n}^{} X_i.(n-1)!$.

$P(B_n) = \frac{(n-1)!}{n!} = \frac{1}{n}$.

$N_n = \sum_{i = 1}^n \mathds 1_{B_i}$

$E[N_n]$	$=$	$\sum_{i=1}^n P(B_i)$
	$=$	$1 + ... + \frac 1n$
	$\approx$	$\log n + \gamma$

$P($nb infini de records$) = 1$ !

On a $\sum_{i=1}^\infty P(B_i) = \infty$ (vrai !) + $B_i$ indépendants.

$\forall i_1, ... , i_r$, $P(B_{i_1} \cap ... \cap B_{i_r}) = \prod_{j=1}^r P(B_{ij})$

Exemple :

$P(B_1 \cap ... \cap B_n)$	$=$	$P(X_1 < X_2 < ... < X_n)$
	$=$	$\frac{1}{1} \frac 12 ... \frac 1n$
	$=$	$P(B_1)P(B_2) ... P(B_n)$
$P(B_{n-1} \cap B_n)$	$=$	$\frac{(n-2)!}{n!}$
	$=$	$\frac{1}{n-1} \frac 1n$
	$=$	$P(B_{n-1}) P(B_n)$

$P(B_2 \cap B_5 \cap B_7) = ?$. $P(B_7 | B_2 \cap B_5) = P(B_7)$. $P(B_5 | B_2) = P(B_5)$

On a donc : $P(B_2 \cap B_5 \cap B_7) = P(B_2) P(B_5) P(B_7)$.