Proba:Convergences
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Matière | Proba 2 | ||
Chapitre | 8 | ||
Promo | 1A | ||
Date | 2007 | ||
Professeur | O. François | ||
Auteur | L. Petit | ||
Le Post'IT |
On joue à Pile ou Face avec une pièce truquée telle que : .
Soit la variable suit
. Peut-on dire
,
. Réponse OUI ! Mais peut-on dire
? Il faut penser si on va avoir un nombre fini ou infini de face.
Définitions - Propositions
Soit suite de variable aléatoire réelles.

- On dit que
presque sûrement (idem que presque partout en analyse) si
- On dit que
converge en loi vers une loi de fonction de répartition
si
Soit une suite d'évènements alors
-
un nombre fini de
se réalisent presque sûrement.
- Si les
sont indépendants :
un nombre infini de
se réalisent presque sûrement.
Exemples
Exemple :
``Face au jeu
.
,
.
on observe p.s un nombre fini de
. Par exemple
.
on observe p.s un nombre infini de
. Par exemple
.
nb de
vus au temps
où
.
![E[N_n] = E[X_1 + ... + X_n] = \sum_{i=1}^n p_i](/images/math/b/9/4/b94a779f9b10446064fafb4ae4afe6bf.png)
Par exemple : . Alors
.
.
Soit . (représenter)
Et on a .
On a donc converge en loi vers
et
converge en loi vers
.
converge-t-elle
.
.
....................
Exemple :
variable aléatoire de loi
.
Candidat : .
p.s. ?
en loi ?
,
et si
,
.
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Ainsi .
, p.s.
Suite candidate telle que .
.
série div pour
petit.
Exemple :
Soit , ... ,
. Une suite de variable aléatoire réelles positives, indépendantes.
On dit qu'il y a un record à l'étape si

Question : Il y a-t-il une infinité de records ?
-
?
-
.
nb de record au temps
. (Ici
)
- Réponse à la question.
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Version 2 : Nombre d'ordres pour variables :
.
Nombres d'ordres tels que .
.

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nb infini de records
!
On a (vrai !) +
indépendants.
,
Exemple :
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.
.
On a donc : .