Proba:Convergence en loi

De Ensiwiki
Aller à : navigation, rechercher


Wikicours.png Convergence en loi
Matière Proba 2
Chapitre 9
Promo 1A
Date 2007
Professeur O. François
Auteur L. Petit
PDF Le Post'IT

Définition - Propositions - Théorème

DéfinitionDéfinition

(X_n) converge en loi vers une loi P_X si :

  1. P(X_n \leq t) \underset{n\to +\infty}{\longrightarrow} P_X(]-\infty,t[) = F_X(t) en tout point où F_X est continue.
  2. \forall t \in \mathbb{R}, \Phi_{X_n}(t) \underset{n\to +\infty}{\longrightarrow} \int_\mathbb{R} e^{itx} dP_X(x)
DéfinitionProposition Si X_n converge vers X presque sûrement alors (X_n) \underset{n\to +\infty}{\longrightarrow} P_X en loi
DéfinitionThéorème

Soit (X_n) une suite de variables indépendantes de même loi. E[\left|X_n\right|] < \infty, alors :

\frac{X_1 + ... + X_n}{n} \underset{n\to +\infty}{\longrightarrow} E[X] \textrm{\,presque\,surement}
DéfinitionThéorème

Soit (X_n) une suite de variables indépendantes de même loi tel que E[X_n^2] < \infty.

Soit S_n = X_1 + ... + X_n, alors :

\frac{S_n - E[S_n]}{\sqrt{\textrm{Var\,}(S_n)}} \overset{loi}{\underset{en}{\longrightarrow}} \mathcal N(0,1)
DéfinitionDéfinition Soit (U_n) une suite de variable de loi \mathcal U(0,1), (U_n) \to \mathcal U(0,1) en loi.
DéfinitionDéfinition

Soit une loi discrète X \in \mathbb{N}.

(X_n) \to P_X vit sur (\mathbb{N}, \mathcal P(\mathbb{N}))

\forall k \in \mathbb{N}, P(X_n = k) \underset{n\to +\infty}{\longrightarrow} P_X(\{k\}) = P(\underbrace{X = k}_{\textrm{n'existe\,pas}})

Exemples

Exemple : Loi faible des grands nombres.

Soit (X_n) une suite de v.a.r de même loi. E[X] = m < + \infty et \textrm{Var\,}(X_n) = \sigma^2 < + \infty

Alors \frac{S_n}{n} = \frac{1}{n} (X_1 + ... + X_n) \to \delta_m en loi.

On a : \frac{S_n}{n} - m \underset{n\to +\infty}{\longrightarrow} \delta_0.

L'inégalité de Tchebychev nous donne :

P\left(\left|\frac{S_n}{n} - m\right| > t\right) \leq \frac{\textrm{Var\,}(S_n/n)}{t^2}

or \textrm{Var\,}(S_n / n) = \frac{n \sigma^2}{n^2} = \frac{\sigma^2}{n}.

On obtient donc : P\left(\left|\frac{\delta_n}{n} - m\right| >t \right) \underset{n\to +\infty}{\longrightarrow} 0


Exemple : X_1^{(n)} + ... + X_n^{(n)} = S_nX_i^{(n)} = \left\{ \begin{array}{ll}  0 & \textrm{\,avec\,proba\,} 1-p_n \\ 1 & \textrm{\,avec\,proba\,} p_n \end{array} \right.

Remarque : Si p_n = p, E[S_n] = np, \textrm{Var\,}(S_n) = np(1-p).

\frac{S_n - np}{\sqrt n \sqrt{p(1-p)}} \sim \mathcal N(0,1) \textrm{\,pour\,} n \textrm{\,grand\,}(\infty)

S_n \sim \mathcal N(np,np(1-p))

D'après le TCL, le nombre de pile dans un jeu P/F après n lancers suit la loi approchée \mathcal N(\frac n2, \frac n4).

S_n \sim \mathcal B(n,p)

On s'intéresse à la situation où on s'intéresse à la réalisation d'un événement de probabilité \frac 1{100} lors de 100 répétitions. n = 100, p=\frac 1n

\mathcal B(n,\frac \lambda n), E[S_n] = n \frac{\lambda}{n} = \lambda, \textrm{Var\,}(S_n) = \frac{n\lambda}{n} (1-\frac{\lambda}{n}) \approx \lambda

Convergence de \mathcal B(n,\frac{\lambda}{n}).


P(S_n = 0) = \left(1-\frac{\lambda}{n}\right)^n \approx e^{-\lambda}
P(S_n = 1) = n \frac{\lambda}{n}\left(1 - \frac{\lambda}{n}\right)^{n-1} = \frac{\lambda(1-\frac{\lambda}{n})^n}{1-\frac{\lambda}{n}} = \lambda e^{-\lambda}
\vdots
P(S_n = k) = \frac{\lambda^k}{k!} e^{-\lambda}

Théorème du TCL (Tendance vers la loi normale)

E[X_n] = m, \textrm{Var\,} = \sigma^2 < \infty.

E[S_n] = n.m, \textrm{Var\,}(S_n) = n \sigma^2

Z_n = \frac{S_n - nm}{\sigma \sqrt n}, E[Z_n] = 0, \textrm{Var\,} = 1.

Idée de la preuve du TCL (Bernouilli-Levy

m = 0

\Phi_{Z_n}(t) = ? \underset{n\to +\infty}{\longrightarrow} e^{-t^2/2} = \Phi_{\mathcal N(0,1)}(t)

E\left[e^{itZ_n}\right] = E\left[ e^{it\frac{t}{\sigma\sqrt n} S_n}\right]
= \Phi_{S_n}\left(\frac{t}{\sigma\sqrt n}\right) = \left[\Phi_{X_1}\left(\frac{t}{\sigma\sqrt n}\right)\right]^n
\approx \left( \Phi_{X_1}(0) + \Phi_{X_1}' (0) \frac{t}{\sigma \sqrt n} + \Phi_{X_1}''(0) \frac{t^2}{2\sigma^2 n}\right)^n
\Phi_{X_1}(0) = E\left[e^{i\sigma X_1}\right] = 1
\Phi_{X_1}'(0) = E\left[iX_1e^{i\sigma X_1}\right] = iE[X_1] = 0
\Phi_{X_1}''(0) = -E\left[X_1^2e^{i\sigma X_1}\right] = - \sigma^2

Ainsi \Phi_{S_n}(t) = \left[1 - \frac{t^2}{2n} + \mathcal O(\frac{1}{n})\right]^n \underset{n\to +\infty}{\longrightarrow} e^{-t^2/2} Exemple : On joue à P/F N_n = Nombre de P.

Combien de lancer pour que P(\frac{N_n}{n} \in [0,49;0,51]) > 0,99 = 1-\varepsilon

P\left(\left|\frac{N_n}{n} - \frac{1}{2}\right| > \varepsilon\right) = P\left(2\sqrt n \left|\frac{N_n}{n} - \frac 12\right| > 2 \sqrt n \varepsilon\right) = P(\left|Z\right| > 2 \sqrt n \varepsilon)

Le TCL nous donne Z \approx \mathcal N(0,1)

Comme P(\left|Z\right| > x) = 2 (1-F(X))

P(\left|Z\right| > e\sqrt n \varepsilon) \approx 2 (1-F(2\sqrt n \varepsilon)) \leq \alpha

\sqrt n \geq F^{-1}(1-\frac{\alpha}{2}/2\varepsilon \approx \frac{1}{\varepsilon} = 100.

Ainsi pour \alpha = 5\% \Rightarrow F^{-1}(1-\frac{\alpha}{2}) \approx 2, n \geq 10000