Voir la source de Proba:Changements de variables

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{{Infobox Cours|titre=Changements de variables|matière=Proba 2|promo=1A|chapitre=2|date=2007|prof=O. François|auteur=L. Petit|pdf=[http://lepostit.free.fr/pdf/polys_/PA2_Cours.pdf Le Post'IT]}}
= Définitions =
<math>(X,Y)</math> un couple de variable de densité <math>f_{(X,Y)}</math>

<math>(Z,T) = \varphi(X,Y)</math>

{| style="border: 0px solid;" align="center"
|-
| style="text-align:right;"|<math>Z</math>
| style="text-align:center;"|<math>=</math>
| style="text-align:left;"|<math>\varphi_1(X,Y)</math>
|-
| style="text-align:right;"|<math>T</math>
| style="text-align:center;"|<math>=</math>
| style="text-align:left;"|<math>\varphi_2(X,Y)</math>
|}

<u>Hypothèses</u>
<ol><li> <math>f_{(X,Y)} > 0</math> sur <math>D \subset \mathbb{R}^2</math>, ouvert
</li><li> <math>\varphi</math> est bijective de <math>D</math> sur <math>\Delta = \varphi(D)</math>
</li><li> <math>\varphi</math> et <math>\varphi'</math> sont différentiables.
</li></ol>
 
On définit : 
<center><math>\left|\textrm{Jac}\, \varphi\right| = \left| \left|\begin{array}{cc} \frac{\partial \varphi_1}{\partial x} & \frac{\partial \varphi_1}{\partial y} \\ \frac{\partial \varphi_2}{\partial x} & \frac{\partial \varphi_2}{\partial y} \end{array}\right|\right| \textrm{\,sur\,} D </math></center>
et on a 
{{Théorème|
<center><math>f_{(Z,T)}(z,t) = \left\{ \begin{array}{ll}
\left|\textrm{Jac}\, \varphi^{-1}\right|(z,t) f_{(X,Y)}\left(\varphi^{-1}(z,t)\right) & \textrm{\,sur\,} \Delta \\
0 & \textrm{\,sinon}
\end{array}
\right.</math></center>
}}

== Loi conditionnelle ==
Soit <math>x</math> tel que <math>f_X(x) > 0</math>. On appelle loi conditionnelle de <math>Y</math> sachant <math>X = x</math> la loi de densité :
<center><math>\forall y \in \mathbb{R}, \quad f_Y^{X=x} (y) = \frac{f_{(X,Y)}(x,y)}{f_X(x)}</math></center>
= Applications =
== Changement de variable en 1D == 
<math>X</math> de densitee <math>f_X > 0</math> sur <math>\mathbb{R}</math> et <math>\varphi</math> continue, strictement croissante. (<math>\varphi</math> et <math>\varphi^{-1}</math> sont dérivables). <math>Z=\varphi(X)</math>.

Soit <math>t \in \mathbb{R}</math>

{| style="border: 0px solid;" align="center"
|-
| style="text-align:right;"|<math>P(Z\leq t)</math>
| style="text-align:center;"|<math>=</math>
| style="text-align:left;"|<math>P(\varphi(X) \leq t)</math>
|-
| style="text-align:right;"|
| style="text-align:center;"|<math>=</math>
| style="text-align:left;"|<math>P(X \leq \varphi^{-1}(t))</math>
|-
| style="text-align:right;"|
| style="text-align:center;"|<math>=</math>
| style="text-align:left;"|<math>F_X(\varphi^{-1}(t))</math>
|}

Soit <math>z \in \mathbb{R}</math>, 
<center><math>f_Z(z) = \frac{1}{\varphi'(\varphi^{-1}(z))} f_X(\varphi^{-1}(z))</math></center>
''Exemple'' : 
<math>X</math> vaut <math>\mathcal N(0,1)</math>. <math>Z= m + \sigma X</math>.

On a : <math>E[Z] = m + \sigma 0 = m</math> et <math>\textrm{Var\,} = \sigma^2 \textrm{Var\,} = \sigma^2</math>.

<math>\forall x \in \mathbb{R}</math>, <math>f_X(x) = \frac{1}{\sqrt{2\pi}}e^{-\frac{x^2}{2}}</math>.

<math>\varphi</math> : <math>z = m + \sigma x</math> (avec <math>\sigma > 0</math>)

<math>\varphi^{-1}</math> : <math>x = \frac{z-m}{\sigma}</math>

Ce qui donne : 
<center><math>\forall z \in \mathbb{R},\quad f_Z(z) = \frac{1}{\sigma} \frac{1}{\sqrt{2\pi}} e^{-\frac{(z-m)^2}{2\sigma^2}}</math></center>
Cette densité décrit la loi <math>\mathcal N(m,\sigma^2)</math>.

== Exemple en 2D ==
Soit <math>(U,V)</math> un couple de densité uniforme sur <math>(0,1)^2</math>.
<center><math>\forall (u,v) \in \mathbb{R}^2, \quad f_{(U,V)} = \mathds 1_{(0,1)^2}(u,v) = \mathds 1_{(0,1)}(u) + \mathds 1_{(0,1)}(v)</math></center>
<center><math>\varphi : \left\{ \begin{array}{l} z = - \ln u \\ t = - v \ln u \end{array} \right.</math></center>
<center><math>\varphi^{-1} : \left\{ \begin{array}{l} u = e^{-z} \\ v = \frac{t}{z} \end{array}\right.</math></center>
On a : <math>\Delta \subset \{0 < t < z\}</math>. A-t-on égalité ?

Si <math>0 < t < z \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l} u \in [0,1] \\ v \in [0,1] \end{array} \right.</math>. Hourra ! <math>\Delta = \{ 0 < t < z\}</math>

'''Remarque''' : 
<center><math>\textrm{Jac}\,\varphi^{-1}(z,t) = \frac{1}{\textrm{Jac}\,\varphi} \left( \varphi^{-1}(x,t)\right)</math></center>

<center><math>\textrm{Jac}\,\varphi^{-1} (z,t) = \left| \begin{matrix} -e^{-z} & 0 \\ x & \frac{1}{z}\end{matrix}\right| \Rightarrow \left|\textrm{Jac}\, \varphi^{-1}(z,t)\right| = \frac{e^{-z}}{z}</math></center>
<center><math>\Rightarrow f_{(Z,T)} (z,t) = \frac{e^{-z}}{z} \mathds 1_D(u(z,t),v(z,t)) = \frac{e^{-z}}{z} \mathds 1_\Delta (z,t)</math></center>
== Loi conditionnelles discrètes ==
<math>X \in \mathbb{N}</math> et <math>Y \in \mathbb{N}</math>.

Soit <math>x</math> tel que <math>P(X=x) > 0</math>.

Soit <math>y \in \mathbb{N}</math>, 
<center><math>P(Y = y | X = x) = \frac{P(X=x) \cap Y = y)}{P(X=x)} = \frac{P(x,y)}{P_X(x)}</math></center>
''Exemple'' : 
On joue à pile ou face. proba<math>(P) = p</math>. On s'intéresse au rang du second pile. 
<center><math>\textrm{FFFFF}\underbrace{P}_X\textrm{FFFFFFFFF}\underbrace{P}_{Z = X+Y}</math></center>
On sait que <math>Z = z (13</math> par exemple<math>)</math>, donner <math>P(X = a)</math> <math>(a = 6)</math> par exemple aussi.

<center><math>P(X = x | Z = z) = \left\{ \begin{array}{ll} 0 & \textrm{\,si\,} x \geq z \\
\frac{P(X=x \cap Y = z - x)}{P(X+Y=z)} & \textrm{\,si\,} 1 \leq x < z \end{array}\right.</math></center>
Or <math>X</math> et <math>Y</math> sont indépendant et de loi <math>G(p)</math>.

Si <math>1 \leq x < z</math>,

{| style="border: 0px solid;" align="center"
|-
| style="text-align:right;"|<math>P(X = x \cap Z = z)</math>
| style="text-align:center;"|<math>=</math>
| style="text-align:left;"|<math>\frac{p^2(1-p)^{x-1} (1-p)^{z-x+1}}{p^2 \sum_{\textrm{Albert}=1}^{z-1} (1-p)^{\textrm{Albert}-1}(1-p)^{z-\textrm{Albert}+1}}</math>
|-
| style="text-align:right;"|
| style="text-align:center;"|<math>=</math>
| style="text-align:left;"|<math>\frac{1}{z-1} \textrm{\,loi\,uniforme}</math>
|}


''Exemple'' : 
Supposons que le temps d'attente d'un tram soit de loi <math>\varepsilon(\lambda)</math>, <math>\lambda > 0</math>.
<math>(\lambda = \textrm{frequence\,de\,passage})</math> et que les trams arrivent les uns après les autres avec des durées indépendantes. <math>X</math> est le temps d'attente jusqu'au tram 1, et <math>Y</math> la durée entre le tram 1 et le tram 2.

Sachant que le tram 2 est arrivé à la date <math>z</math>, quelle est la date d'arrivée du tram 1 ?

<u>Solution</u> <math>\left\{ \begin{array}{l} Z = X+Y \\ T  = X \end{array} \right.</math>

Loi jointe de <math>(X,X+Y)</math> ? 
<center><math>f_X^{X+Y = Z} (t) = f_T^{Z=z}(t) = \frac{f_{(Z,T)}(z,t)}{f_Z(z)}</math></center>
<math>D = \mathbb{R}_{+*}^2</math>, <math>f_{(X,Y)} (x,y) = \lambda^2 e^{-\lambda (x+y)} \mathds 1_D(x,y)</math>

<math>f_{(Z,T)}(z,t) = \lambda^2 e^{-\lambda z}\mathds 1_{\{0<t<z\}}</math>

<center><math>f_Z(z) = \lambda^2 z e^{-\lambda z}\mathds 1_{\mathbb{R}_+} (z)</math></center>
Donc <math>Z</math> suit la loi <math>\Gamma(2,\lambda)</math>, ainsi la loi jointe de <math>(X,X+Y)</math> est <math>\mathcal U(0,z)</math> !!

= Applications fondamentales =
== Simulation ==
{{Proposition|
Algorithme de simulation : 
<ol><li> Simuler <math>X</math> selon la densité <math>f_X(x)</math>
</li><li> Sachant <math>X = x</math>, on simule <math>Y</math> selon <math>f_Y^{X=x} (y)</math>
</li></ol>

<math>\forall (x,y)</math> tel que <math>f_X(x) >0</math>, <math>f(x,y) = f_X(x) f_Y^{X=x}(y)</math>
}}
{{Démonstration|Soit <math>(U,V)</math> un couple de variables de loi uniforme <math>\mathcal U(0,1)</math> et indépendantes.

<math>(X,Y) = \varphi(U,V)</math>, 

<math>\varphi : \left\{ \begin{array}{l} x = F_X^{-1}(u) \\ y = F_{Y|X=x}^{-1}(v) \end{array}\right. \qquad (u,v) \in [0,1]^2</math>

<math>\varphi^{-1} : \left\{ \begin{array}{l} u = F_X(x) \\ v = F_{Y|X=x}(y) \end{array}\right.</math>

Jac<math> \varphi^{-1} = \left| \begin{matrix} f_X(x) & 0 \\ X & f_{Y|X=x}(y) \end{matrix} \right|</math>

Ce qui nous donne : <math>f(x,y) = f_X(x) f_{Y|X=x}(y) \Rightarrow f_{(X,Y)}(x,y) = f(x,y) \underbrace{f_{(U,V)}(u(x),v(x,y))}_{=1} = f(x,y)</math>

car <math>f_{(U,V)}(u,v) = \left\{ \begin{array}{ll} 1 & \textrm{si\,} u\in [0,1],\, v\in[0,1] \\ 0 & \textrm{sinon} \end{array} \right.</math>
}}
''Exemple'' : 
<math>f(x,y) = \frac{e^{-x}}{x} \mathds 1_\Delta (x,y)</math> où <math>\Delta = {0 < y < x}</math>.

Mais le premier terme ne dépend pas de <math>y</math> donc <math>y</math> suit une loi uniforme.

Soit <math>x > 0</math>, <math>f_X(x) = \int_0^x \frac{1}{x} e^{-x} dy = e^{-x}</math> (<math>\varepsilon(1)</math>)

Sachant <math>X=x</math>, <math>f_Y^{X=x} (y) = \frac{f(x,y)}{f_X(x)} = \frac{1}{x} \frac{e^{-x}}{e^{-x}} = \frac{1}{x}</math> loi uniforme sur <math>[0,x]</math> sur <math>[0,x]</math>.

<u>Conclusion</u> <math>X</math> suit <math>\varepsilon(1)</math>. La loi conditionnelle de <math>Y</math> sachant <math>X = x</math> c'est <math>U(0,x)</math>.
<center><math>\left\{\begin{array}{l} X \leftarrow -\log(U) \\ Y \leftarrow -V.\log(U) \end{array}\right.</math></center>

== Coordonnées polaires ==
{{Proposition|
Coordonnées polaires <math>(X,Y)</math> couple de la loi <math>\mathcal U</math> (disque 1).


{{{!}} style{{=}}"border: 0px solid;" align{{=}}"center"
{{!}}-
{{!}} style{{=}}"text-align:left;"{{!}}[[Image:Coordonnées polaires.png]]
{{!}} style{{=}}"text-align:left;"{{!}}<math>f_{(r,\theta)} (r,\theta) = \frac{r}{\pi} = \underbrace{2r \mathds 1_{[0,1]}(r)}_{\textrm{pas\,une\,loi\,uniforme}} \frac{1}{2\pi} \mathds 1_{[0,2\pi]} (\theta)</math>
{{!}}}
}}
{{Démonstration|Coordonnées polaires : On suppose que le couple <math>(X,Y)</math> est de loi uniforme sur <math>\Delta = \{x^2+y^2 < 1\}</math>.

<math>f(x,y) = \left\{\begin{array}{ll} \frac{1}{\pi} & \textrm{si\,} (x,y)\in \Delta \\ 0 & \textrm{sinon} \end{array}\right.</math>

Les coordonnées <math>(r,\theta)</math> sont définies par <math>\left\{ \begin{array}{l} X = R \cos \theta \\ Y = R\sin \theta \end{array}\right.</math>

<math>\varphi : ]0,1[\times ]0,2\pi[ \to \Delta</math>.

{{{!}} style{{=}}"border: 0px solid;" align{{=}}"center"
{{!}}-
{{!}} style{{=}}"text-align:right;"{{!}}<math>f_{R,\theta}(r,\theta)</math>
{{!}} style{{=}}"text-align:center;"{{!}}<math>=</math>
{{!}} style{{=}}"text-align:left;"{{!}}<math>\left|\;\left| \begin{matrix} \cos \theta & -r\sin \theta \\ \sin \theta & r\cos \theta \end{matrix}\right|\; \right| \mathds 1_{]0,1[}(r) \mathds 1_{]0,2\pi[}(\theta)</math>
{{!}}-
{{!}} style{{=}}"text-align:right;"{{!}}
{{!}} style{{=}}"text-align:center;"{{!}}<math>=</math>
{{!}} style{{=}}"text-align:left;"{{!}}<math>2r \mathds 1_{]0,1[}(r) \frac{1}{2\pi} \mathds 1_{]0,2\pi[}(\theta)</math>
{{!}}-
{{!}} style{{=}}"text-align:right;"{{!}}
{{!}} style{{=}}"text-align:center;"{{!}}<math>=</math>
{{!}} style{{=}}"text-align:left;"{{!}}<math>f_R(r) f_\theta(\theta)</math>
{{!}}}

}}
<u>Simulation</u> de <math>(R,\theta)</math> : <math>\left\{ \begin{array}{l} R = \sqrt{U} \\ \theta = 2\pi V \end{array} \right.</math>

<u>Simulation</u> la loi <math>\mathcal N(0,1)</math>

<math>\forall x\in\mathbb{R}</math>, <math>f(x0 = \frac{1}{\sqrt{2\pi}} e^{-x^2 /2}</math>

<math>\left\{ \begin{array}{ll} X = \sqrt{-4\log R} \cos \theta & \in \mathbb{R} \\ Y = \sqrt{-4\log R} \sin \theta & \in \mathbb{R}\end{array}\right.</math>

<math>X^2 + Y^2 = -4\log R \Rightarrow R^2 = e^{-\frac{X^2+Y^2}{2}}</math>

<math>\left| \begin{matrix} \frac{-4/R}{2\sqrt{.}} \cos \theta & -\sqrt{.}\sin \theta \\ \frac{-4/R}{2\sqrt{.}}\sin \theta & \sqrt{.} \cos \theta \end{matrix} \right| = \frac{2}{R}</math>

Dans la formule de changement de variable.

{| style="border: 0px solid;" align="center"
|-
| style="text-align:right;"|<math>f_{(X,Y)}(x,y)</math>
| style="text-align:center;"|<math>=</math>
| style="text-align:left;"|<math>\frac{2}{R(x,y)} \frac{R}{\pi} \mathds 1_{\mathbb{R}^2}(x,y)</math>
|-
| style="text-align:right;"|
| style="text-align:center;"|<math>=</math>
| style="text-align:left;"|<math>\frac{1}{2\pi} e^{-\frac{x^2+y^2}{2}}</math>
|-
| style="text-align:right;"|
| style="text-align:center;"|<math>=</math>
| style="text-align:left;"|<math>\frac{1}{\sqrt{2\pi}}e^{-\frac{x^2}{2}}\frac{1}{\sqrt{2\pi}}e^{-\frac{y^2}{2}}</math>
|}

Pour faire une variable <math>\mathcal N(0,1)</math> : <math>X = \sqrt{-2\log U} \cos(2\pi V)</math> avec <math>(U,V)</math> de loi <math>\mathcal U(0,1)</math> et indépendante.

== Loi Gamma ==
{{Proposition|
Loi Gamma, <math>G(a,\lambda)</math>, <math>a>0</math>, <math>\lambda > 0</math>.

<math>\forall x \in \mathbb{R}</math>, <math>f(x) = \frac{\lambda^a}{\Gamma(a)}x^{a-1}e^{-\lambda x}\mathds 1_{\mathbb{R}_+}(x)</math>

<math>\Gamma(a) = \int_0^{+\infty} x^{a-1}e^{-x}dx</math>. 

<math>\Gamma(n) = (n-1)!</math>, <math>\Gamma(a) =(a-1)\Gamma(a-1)</math> et <math>\Gamma(\frac{1}{2}) = \sqrt{\pi}</math>

On a :
<center><math>\left. \begin{array}{c} X \sim G(a,\lambda) \\ Y \sim G(b,\lambda) \\ X \textrm{\,et\,} Y \textrm{\,independantes} \end{array}\right\} \Rightarrow X+Y \textrm{\,suit\,} G(a+b,\lambda)</math></center>
}}
{{Démonstration|<math>E[X] = \frac{a}{\lambda}</math>, <math>\textrm{Var\,}(X) = \frac{a}{\lambda^2}</math>. Voyons les différents cas :
<center>[[Image:Loi Gamma.png]] </center>
<math>f_{(X,Y)}(x,y) = \frac{\lambda^{a+b}}{\Gamma(a)\Gamma(b)} x^{a-1}y^{b-1}e^{-\lambda(x+y)} \mathds 1_{\mathbb{R}_+}(x,y)</math>

<math>\left\{ \begin{array}{l} z = x+y \\ t = \frac{x}{x+y} \end{array} \right.</math> <math>\left\{ \begin{array}{l} x = zt \\ y = z(1-t) \end{array} \right.</math>

On a donc le Jacobien : <math>\left| \; \left| \begin{matrix} t & z \\ 1-t & -z \end{matrix} \right| \; \right| = z</math>

On définit le domaine : <math>x>0</math> et <math>y>0 \Leftrightarrow z > 0</math> et <math>t\in [0,1]</math>. 

{{{!}} style{{=}}"border: 0px solid;" align{{=}}"center"
{{!}}-
{{!}} style{{=}}"text-align:right;"{{!}}<math>f_{Z,T}(z,t)</math>
{{!}} style{{=}}"text-align:center;"{{!}}<math>=</math>
{{!}} style{{=}}"text-align:left;"{{!}}<math>z \frac{\lambda^{a+b}}{\Gamma(a)\Gamma(b)} (zt)^{a-1} (z(1-t))^{b-1} e^{-\lambda z}\mathds 1_\Delta(z,t)</math>
{{!}}-
{{!}} style{{=}}"text-align:right;"{{!}}
{{!}} style{{=}}"text-align:center;"{{!}}<math>=</math>
{{!}} style{{=}}"text-align:left;"{{!}}<math>\underbrace{\frac{\lambda^{a+b}}{\Gamma(a+b)} z^{a+b-1} e^{-\lambda z}\mathds 1_{\mathbb{R}_+}(z)}_{f_z(z)}\underbrace{\frac{\Gamma(a+b)}{\Gamma(a)\Gamma(b)} t^{a-1}(1-t)^{b-1}\mathds 1_{[0,1]}(t)}_{f_t(t)}</math>
{{!}}}

Donc <math>Z</math> et <math>T</math> sont indépendants. <math>Z</math> suit <math>G(a+b,\lambda)</math>, <math>T</math> suit <math>\beta(a,b)</math>.
}}