Calcul des probabilités par conditionnements

Matière

Proba 2

Chapitre

4

Promo

1A

Date

2007

Professeur

O. François

Auteur

L. Petit

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Le Post'IT

Définitions

Soit $X$ une variable aléatoire réelle de densité $f_X$ sur $\mathbb{R}$ et $x$ tel que $f_X(x) > 0$ .

P(A|X=x)\overset{\mathrm{def}}{=} \lim_{dx \to 0} P(A|X \in (x,x+dx))

P(A) = E[P(A|X)] = \int_\mathbb{R} P(A|X=x) f_X(x) dx

Définition

Soit $X$ et $Y$ deux variables aléatoires indépendantes de loi de densité $f_X$ et $f_Y$ et $Z =X+Y$ .

Alors $f_Z$ s'écrit :

$\forall z \in \mathbb{R}, \quad f_Z(z)$	$=$	$\int_\mathbb{R} f_Y(z-x)f_X(x) dx$
	$=$	$f_X \star f_Y(z)$

Définition

Vecteurs aléatoires : $X \in \mathbb{R}^n$

Loi, densité, indépendances, loi marginales, espérance.
Matrice de covariance : $K_X = (\textrm{cov}(X_i,X_j))_{i,j = 1,...,n} = E[^t(X-E[X])(X-E[X])]$

Exemples

Exemple : Soit $X$ une variable aléatoire de loi $\varepsilon(\lambda)$ et $Y$ une variable aléatoire de loi $\varepsilon(\mu)$ indépendantes. $P(A) = P(X < Y)$ , $\lambda=\frac{1}{10}$ , $\mu = \frac{1}{12}$ , $E[X] = 10$ , $E[Y] = 12$ .

f_X(x) = \left\{ \begin{array}{ll} \lambda e^{-\lambda x} & x \geq 0 \\ 0 & \textrm{sinon} \end{array}\right.

.

$P(A)$	$=$	$\int_0^{+\infty} P(A \| X = x) \lambda e^{-\lambda x} dx$
	$=$	$\int_0^{+\infty} P(x < Y \| X=x) \lambda e^{-\lambda x} dx$
	$=$	$\int_0^{+\infty} P(Y > x) \lambda e^{-\lambda x} dx$
	$=$	$\lambda \int_0^{+\infty} e^{-(\lambda + \mu) x} dx$
	$=$	$\frac{\lambda}{\lambda + \mu} = \frac{1/10}{1/10 + 1/12} = \frac{12}{22}$

Exemple :

$\forall t \in \mathbb{R}, \quad P(Z \leq t)$	$=$	$P(\underbrace{X + Y \leq t}_{A_t})$
	$=$	$\int_\mathbb{R} P(A_t \| X = x) f_X(x) dx$
	$=$	$\int_\mathbb{R} P(Y \leq t-x) f_X(x)dx$

$\Rightarrow F_Z(t) = \int_\mathbb{R} F_Y(t-x) f_X(x) dx \Rightarrow f_Z(z) = \int_\mathbb{R} f_Y(z-x) f_X(x)dx$ .

Exemple : `` $\varepsilon(\lambda) + \varepsilon(\lambda)$ " indépendantes.

$Z \geq 0$ , $\forall z \in \mathbb{R}_+$ ,

$f_Z(z)$	$=$	$\int_{\mathbb{R}_+} \lambda^2 e^{-\lambda z} \mathds 1_{\mathbb{R}_+} (z-x)dx$
	$=$	$\int_0^z \lambda e^{-\lambda z} dx$
	$=$	$\frac{\lambda^2}{\Gamma(2)} z e^{-\lambda z} G(2,\lambda)$

Résultat : Si $X_1, ... , X_n$ sont $n$ variables aléatoires $\varepsilon(\lambda)$ indépendantes, alors $S_n = X_1+...+X_n$ suit la loi $G(n,\lambda)$ , $\forall s \in \mathbb{R}$ ,