Proba:Calcul des probabilités par conditionnement

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Wikicours.png Calcul des probabilités par conditionnements
Matière Proba 2
Chapitre 4
Promo 1A
Date 2007
Professeur O. François
Auteur L. Petit
PDF Le Post'IT

Définitions

Soit X une variable aléatoire réelle de densité f_X sur \mathbb{R} et x tel que f_X(x) > 0.

P(A|X=x)\overset{\mathrm{def}}{=} \lim_{dx \to 0} P(A|X \in (x,x+dx))
P(A) = E[P(A|X)] = \int_\mathbb{R} P(A|X=x) f_X(x) dx
DéfinitionDéfinition

Soit X et Y deux variables aléatoires indépendantes de loi de densité f_X et f_Y et Z =X+Y.

Alors f_Z s'écrit :

\forall z \in \mathbb{R}, \quad f_Z(z) = \int_\mathbb{R} f_Y(z-x)f_X(x) dx
= f_X \star f_Y(z)
DéfinitionDéfinition

Vecteurs aléatoires : X \in \mathbb{R}^n

  • Loi, densité, indépendances, loi marginales, espérance.
  • Matrice de covariance :
    K_X = (\textrm{cov}(X_i,X_j))_{i,j = 1,...,n} = E[^t(X-E[X])(X-E[X])]

Exemples

Exemple : Soit X une variable aléatoire de loi \varepsilon(\lambda) et Y une variable aléatoire de loi \varepsilon(\mu) indépendantes. P(A) = P(X < Y), \lambda=\frac{1}{10}, \mu = \frac{1}{12}, E[X] = 10, E[Y] = 12.

f_X(x) = \left\{ \begin{array}{ll} \lambda e^{-\lambda x} & x \geq 0 \\ 0 & \textrm{sinon} \end{array}\right.

.

P(A) = \int_0^{+\infty} P(A | X = x) \lambda e^{-\lambda x} dx
= \int_0^{+\infty} P(x < Y | X=x) \lambda e^{-\lambda x} dx
= \int_0^{+\infty} P(Y > x) \lambda e^{-\lambda x} dx
= \lambda \int_0^{+\infty} e^{-(\lambda + \mu) x} dx
= \frac{\lambda}{\lambda + \mu} = \frac{1/10}{1/10 + 1/12} = \frac{12}{22}


Exemple :

\forall t \in \mathbb{R}, \quad P(Z \leq t) = P(\underbrace{X + Y \leq t}_{A_t})
= \int_\mathbb{R} P(A_t | X = x) f_X(x) dx
= \int_\mathbb{R} P(Y \leq t-x) f_X(x)dx

\Rightarrow F_Z(t) = \int_\mathbb{R} F_Y(t-x) f_X(x) dx \Rightarrow f_Z(z) = \int_\mathbb{R} f_Y(z-x) f_X(x)dx.

Exemple : ``\varepsilon(\lambda) + \varepsilon(\lambda)" indépendantes.

Z \geq 0, \forall z \in \mathbb{R}_+,

f_Z(z) = \int_{\mathbb{R}_+} \lambda^2 e^{-\lambda z} \mathds 1_{\mathbb{R}_+} (z-x)dx
= \int_0^z \lambda e^{-\lambda z} dx
= \frac{\lambda^2}{\Gamma(2)} z e^{-\lambda z} G(2,\lambda)

Résultat : Si X_1, ... , X_n sont n variables aléatoires \varepsilon(\lambda) indépendantes, alors S_n = X_1+...+X_n suit la loi G(n,\lambda), \forall s \in \mathbb{R},

f_{S_n}(s) = \frac{\lambda^n}{\Gamma(n)} s^{n-1} e^{-\lambda s} \mathds 1_{\mathbb{R}_+})