Nathan Shourick - Existence de solutions à des problèmes inverses de design

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Titre du projet Existence de solutions à des problèmes inverses
Cadre IRL

Labo Inria
Équipe ELAN
Encadrants Florence Descoubes, Mélina Skouras et Mickaël Ly

Dans le cadre de l'Introduction a la recherche en Laboratoire, cette page introduit le travail réalisé.

Introduction

Un artiste utilisant les outils fournis par l'informatique graphique peut être amené à créer des objets surfaciques, comme des vêtements. Ce qu'il réalise est alors une forme finale statique qui s'explique par un équilibre des forces internes, de la gravité, des forces de frottements, etc. Malheureusement, cette création aura un cadre d'utilisation limité. Sur la figure suivante, on peut observer qu'une utilisation directe de la forme d'entrée dans une simulation entraîne un affaissement du chapeau, à cause de la gravité.

Shouricn intro.png

Ainsi, pour faire de la simulation physique à partir de la géométrie de l'objet, il serait intéressant d'estimer sa forme au repos de telle sorte que, soumise à certaines forces extérieures (comme la gravité ici), l'on retrouve la forme initiale donnée par l'artiste.

Problèmes inverses de design

Alors, comment retrouver la forme au repos d'un vêtement telle que, sous gravité et en contact avec le corps du personnage, l'on retrouve la forme initiale, créée par l'artiste ? Cette question très générale appartient à la grande famille des problèmes inverses. Un problème inverse est une situation dans laquelle on aimerait, à partir d'observations en nombre variable, déterminer les valeurs de certains paramètres inconnus.

Shouricn inv.png

Plus précisément, étant donnés un modèle mathématique d'un certain phénomène et des observations de ce dernier, comment trouver les paramètres du modèle ayant permis l'apparition de ces observations ? Autrement dit, un problème inverse ne cherche rien d'autre qu'à déterminer les causes du phénomène connaissant ses effets.

Pour revenir à notre problème initial, connaissant la géométrie initiale, la masse, la raideur et d'autres caractéristiques physiques du vêtement, on cherche sa forme au repos, c'est-à-dire la forme qu'il aurait s'il n'était soumis à aucune force. Ce serait en quelque sorte sa forme "naturelle". Néanmoins, l'étude qui suivra sera mathématique, et non physique. Ainsi, nous serons amenés à décrire des situations impossibles dans la réalité ou à considérer des cas qui seraient d'emblée écartés en physique.

Shouricn pb.png

Ce problème inverse ne possède pas encore de solution analytique. L'objectif de cet IRL était d'étudier les conditions d'existence d'une solution en fonction des paramètres.

Modélisation d'un vêtement

Pour modéliser un vêtement, on doit prendre en compte la répartition de sa masse, sa résistance en flexion, son élasticité, sa plasticité, le contact frottant, etc. Dans cet IRL, nous considérons un modèle relativement simple. Le vêtement est vu comme un maillage dont les noeuds sont des masses ponctuelles. Nous prenons également en compte l'élasticité de l'objet en choisissant de la modéliser par un ensemble de ressorts sans masse, ayant chacun des raideurs propres, reliant les différents points du maillage. Plus précisément, le vêtement est modélisé par un réseau masses-ressorts, dont un exemple est donné ci-contre.

Extrait d'un exemple de réseau masses-ressorts.

Maintenant, comment traduire cet équilibre des forces qui s'exercent sur le vêtement (qui sont ici le poids et les forces de rappel des ressorts), comme évoqué en introduction ? On sait que, lorsque les forces externes et internes qui s'appliquent sur un système mécanique se compensent, celui-ci atteint un état d'équilibre. Or, dire que les forces se compensent, c'est exactement dire que le gradient de l'énergie potentielle s'annule. Cet état d'équilibre peut soit être stable soit instable. Un système possédant une énergie potentielle minimale est dit stable ; la minimiser peut alors se ramener à l'obtention de certaines conditions sur l'énergie pour que sa matrice hessienne soit définie positive. Cette condition sur la matrice n'est par contre pas nécessaire, elle est uniquement suffisante, et pourrait donc paraître trop forte.

Étude de cas : le pendule

Pour fixer les idées, nous présentons ici un exemple très simple, celui du pendule, un système mécanique constitué d'un ressort de raideur k et d'une masse m (sa position est notée p), en deux dimensions. Ci contre sont représentés un pendule soumis à la gravité et sa forme au repos, sans gravité.

À gauche, un pendule soumis à la gravité, à droite ce même objet au repos.

Ici, c'est bien la longueur au repos que l'on cherche. La longueur (les observations ou les effets) et les paramètres m et k sont les données du problème. À l'aide du principe fondamental de la dynamique et du modèle de vêtement défini plus haut (notre modèle mathématique), on écrit la relation qui existe entre toutes ces variables pour en déduire la forme au repos du système qui va se traduire en un équilibre stable une fois soumis à la gravité. Bien évidemment, toutes les valeurs de m et k ne devraient pas nous donner une solution mais la résolution du problème devrait nous donner des conditions sur ces paramètres qui permette d'en obtenir une. Par exemple, si le ressort est infiniment rigide ou si la masse est suffisamment proche de 0, il est évident que la forme au repos recherchée ne sera rien d'autre que la forme observée. Au contraire, si la masse est infiniment grande, vu la configuration initiale, il n'existera aucun équilibre.

La géométrie observée joue également un rôle non négligeable dans l'existence d'une solution. La configuration proposée dans le schéma est idéale car elle est dans un équilibre stable. Mais si la masse avait été exactement au dessus du point fixe, le pendule aurait été dans un équilibre non pas stable mais instable, et aurait fini par basculer à cause de la gravité. Maintenant, on aimerait pouvoir vérifier tout ça par les équations. On peut montrer que si la gravité et le vecteur directeur de la droite passant par les deux points ne sont pas colinéaires, on ne peut trouver de longueur au repos qui permette un équilibre. Dans le cas contraire, la longueur au repos qui va traduire un équilibre est donnée par

Shouricn eq pendule.svg

Le lecteur est maintenant en mesure de vérifier ce qui a été dit précédemment, notamment dans le cas présenté par le schéma. En particulier, la formule, en la travaillant un peu et en utilisant la colinéarité, donne deux positions au repos, de part et d'autre du point fixe, à la distance donnée ci-dessus, dans la direction de la gravité.

Ensuite, on se doute que l'une des positions donnera un équilibre stable quand l'autre en donnera un instable. L'étude la matrice hessienne va nous permettre de trancher. Le pendule est stable si la matrice hessienne de l'énergie potentielle est définie positive, ce qui équivaut, puisqu'elle est de taille 2x2, à ce que sa trace et son déterminant

Shouricn tr.svg
Shouricn det.svg

soient strictement positifs. Cela amène à la condition suivante :

Shouricn stab.svg

En utilisant cette information et l'équation d'équilibre, on arrive à exprimer la longueur au repos recherchée :

Shouricn eq stab.svg

Et l'on retrouve la configuration donnée sur le schéma !

Étude générale

Le modèle précédent permet de bien comprendre ce que l'on cherche à faire et à quels résultats on peut s'attendre. Durant cet IRL, plusieurs cas ont été étudiés mais comme il est impossible d'être exhaustif, il était nécessaire de généraliser. Il a été possible d'exprimer une approximation des longueurs au repos permettant d'obtenir un équilibre, mais la recherche sur la stabilité n'a pas abouti.

Pour terminer

Je souhaiterais remercier mes trois encadrants, Florence Bertails-Descoubes, Mélina Skouras et Mickaël Ly, pour m'avoir initié à la recherche et m'avoir proposé un sujet actuel de recherche, vierge de toute exploration. Le travail aura été conséquent, c'est vrai, mais m'aura permis de contribuer, un minimum, à la résolution de ce problème difficile et surtout, m'aura fait grandir. Merci.