Mathématiques LaTeX

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Nous allons découvrir au long de cette page la raison principale qui fait de LATEX l'outil de rédaction de documents le plus utilisé par la communauté scientifique.

Les modes

Pour saisir des formules mathématiques en LATEX, on ne peut pas écrire directement écrire celle-co à l'intérieur du document, car le processeur ne pourrait pas la différencier du reste. Or la mise en page d'une formule est très différente du style romain habituel (espacement, italique etc...). Il existe donc deux modes majeurs pour écrire des maths :

Formule en ligne

C'est l'utilisation la plus courante car elle permet d'insérer en plein milieu d'un paragraphe une formule, sans perturber la mise en page. Ce mode est délimité, au début et à la fin, par un symbole dollar '$'.

Exemple :
Ceci est un paragraphe simple. Ceci $2x+89$ est une formule.

Ce qui donnera :
Ceci est un paragraphe simple. Ceci 2x+89 est une formule.

Pour ceux qui préfèrent les environnements (peu d'intêret ici) : \begin{math}2x+89\end{math}

Formule centrée

Pour les formules très importantes, ou lorsqu'il s'agit de mettre en avant un résultat, il peut être intéressant d'utiliser un mode un peu plus imposant : le mode displaymath. Ce mode permet d'avoir une formule centrée et avec quelques modifications importantes :

  • Les sommes/produits (Sigma et Pi) sont affichés avec les indices au dessus et au dessous de l'opérateur. En mode normal, ils sont placés sur le coté pour ne pas prendre trop de hauteur.
  • Les gros opérateurs n'hésitent pas à prendre de la place (sommation, intégrales)
  • Les fractions conservent la taille des paramètres. Ils sont d'habitude réduit pour des raisons de mise en page.

Pour entrer et sortir de ce mode il faut deux dollars d'affilée. Un petit exemple :

Ceci est un paragraphe simple. Ceci $$2x+89$$ est une formule importante

On aura ceci (à peu près, l'Ensiwiki ne permettant pas d'afficher ce mode) :

Ceci est un paragraphe simpl. Ceci
2x+89
est une formule importante

À noter : si vous mettez autre chose après votre formule, comme nous ne sommes toujours pas sortis du paragraph, il n'y aura pas d'alinéa (pour en forcer un, créez un nouveau paragraphe en sautant une ligne).

Interprétation

Le mode mathématique a sa propre interprétation des formules. En mathématiques, la convention veut que les variables soient à un seul caractère (x, y, ou epsilon). Ainsi pour des raisons de simplicité on peut écrire pour une fraction par exemple : $\frac ab$ au lieu de $\frac{a}{b}$, ce qui donnera \frac ab.

De plus, lorsque l'on écrit $abc$, LATEX interprète ceci comme le produit a*b*c et fera les espacements en conséquence. Si vous voulez vraiment déclarer abc en tant que variable, voir la page Macros sous LaTeX.

Polices

LATEX dispose d'un très grand ensemble de police mathématiques permettant d'améliorer l'esthétique de votre document. Voici les plus courantes :

Ensembliste

Si vous avez toujours cherché dans la sélection de symboles de Word en pleurant pour trouver le fameux \mathbb R, séchez donc vos larmes ! Essayez donc :

Soit $x$ une variable dans $\mathbb R$

Soit x une variable dans \mathbb R


Remarque : si vous n'avez pas envie de taper
$\mathbb R$
à chaque fois, la commande \newcommand peut vous aider. Sa syntaxe est la suivante :
\newcommand{\cmd}{\uneCommandeAuNomTropLong}
Elle vous permettra de gagner du temps lors de la saisie. Ici, il peut sembler judicieux d'utiliser
\newcommand{\R}{\mathbb{R}}

\mathbb est une fonction qui prend un paramètre, qui peut être n'impote quelle lettre de l'alphabet, mais pas un nombre (le 1 probabiliste). Pour cela il vous faudra le package dsfont qui vous permettra d'utiliser $\mathds 1$ : \mathds 1.

Calligraphiques

Les matheux aiment bien, pour ne pas faire comme tout le monde, définir des ensembles avec des jolis écritures arrondies. Telle que : Soit x dans \mathcal C

Soit $x$ dans $\mathcal C$

Gothique

Quand ils en ont marre de lettres arrondies, par contre, ils passent dans les écritures gothiques qui piquent :

Telle que : Soit x dans \mathbb C telle que \mathfrak{Re}(x) = 0

Soit $x$ dans $\mathbb C$ telle que $\mathfrak{Re}(x) = 0$

Romain

Pour revenir sur un mode romain normal (sans italique), vous pouvez utiliser \textrm{...} ou \mathrm{...}. Ceci peut notamment être utile pour insérer du texte à l'intérieur d'une formule.

Écriture

Pour l'instant, nous avons beaucoup vu comment se servir des maths en LATEX, mais nous n'avons pas vraiment vu comment écrire des maths de tous les jours. Voici les commandes les plus importantes :

Symboles

Searchtool-80%.png Aide détaillée : Symboles LaTeX.

Liste non exhaustive des symboles que vous allez rencontrer tout le temps en LATEX :

Description LaTeX Rendu
Quelque soit \forall \forall
Il existe \exists \exists
Dans (ensembliste) \in \in
Implique \Rightarrow (ou \Leftarrow) \Rightarrow\textrm{\,(ou }\Leftarrow\textrm{)}
Equivalent \Leftrightarrow \Leftrightarrow
Flèche simple \rightarrow \longrightarrow \rightarrow \longrightarrow
Lettre grecque \epsilon \varepsilon \epsilon\,\,\,\,\varepsilon
Lettre grecque majuscule \Phi \Phi
Rond \circ \circ
Dérivée partielle \partial \partial
Comparaison \leq \geq < > \leq \geq < >
Relations \sim \approx \equiv \ll \gg \sim \approx \equiv \ll \gg
Ensembliste \cup \cap \subset \supset \emptyset \cup \cap \subset \supset \emptyset
Infini \infty \infty

Pour une liste plus complète, voir par exemple symbols-a4.pdf : The Comprehensive LATEX Symbol List. Il existe également une application en ligne permet de dessiner un symbole et d'obtenir les symboles latex qui s'en rapprochent le plus : [1]. Enfin, cet excellent éditeur en ligne vous permet de générer des formules ainsi qu'une image .gif.

Exposant et Indices

Pour les exposants et les indices se génèrent de manière simple : Un underscore _ indique que le prochain paramètre est en indice, et l'accent circonflexe ^, indique le prochain paramètre sera en exposant.

Un exemple simple peut être : Soit (a_n)_{n\in\mathbb N} définie telle que a_0 = 2 et \forall n \in \mathbb N, a_{n+1} = a_n^2

Soit $(a_n)_{n\in\mathbb N}$ définie telle que $a_0 = 2$ et $\forall n \in \mathbb N$, $a_{n+1} = a_n^2$
(Bien sûr, il aurait été plus simple de définir la suite $\forall n \in \mathbb N$, $a_n = 2^{n-1}$). On notera que l'emploi d'exposants/indices est ce qui permet l'indiçage de somme ou d'opérations ensembliste : par exemple,
\sum _{i=1}^n i
donnera \sum _{i=1}^n i. L'emploi d'accolades permet ici de décaler un ensemble de caractère.

Fractions et racines

Les fractions sont simples en LATEX, puisqu'il n'existe que deux commandes pour cela :

  • \frac prend deux paramètres : cette commande estfaite pour fonctionner partout : \frac 12,\,\frac{a+b}{b+c} $\frac 12$, $\frac{a+b}{b+c}$
  • \dfrac est utilisée lorsqu'on a envie d'avoir des tailles normales en mode maths simple.

Il existe des vieilles syntaxes avec \over (a\over b) mais je ne les conseille pas.

Les racines carrées suivent le même principe :

  • \sqrt est la racine carrée (un seul paramètre) : \sqrt{b^2 - 4ac} $\sqrt{b^2 - 4ac}$
  • \sqrt[n] est la racine nième  : \sqrt[n]{x^2+1} $\sqrt[n]{x^2+1}$

Grand opérateurs

Il y a trois grands opérateurs (principaux) en mathématiques : \sum, \prod, \int qui sont représentés en LATEX par \sum, \prod, et \int.

Le comportement de ces opérateurs dépend du contexte. Prenons l'expression \sum_{n=0}^{+\infty} et comparons deux rendus :

  • En mode en ligne : \Sigma_{n=0}^{+\infty}
  • En mode displaymath : \sum_{n=0}^{+\infty}

Pour forcer un affichage en displaymath, on peut utiliser : \begin{displaymath}...\end{displaymath}

Délimiteurs

Les parenthèses, les accolades, les crochets, permettent d'agrémenter vos formules. LATEX propose une syntaxe pour que les parenthèses puissent entourer réellement votre équation (adaptation au texte).

En effet, nous disposons de \left et de \right qui indiquent un entourage. Exemple :

g(x) = f\left(8 \int_{-\infty}^{+\infty} (x-1)\left[\frac x{h^2+1}\right] dh \right)
g(x) = f\left(8 \int_{-\infty}^{+\infty} (x-1)\left[\frac x{h^2+1}\right] dh \right)

Note : Pour utiliser les accolades, il faut mettre \left\{ (avec le \ en plus), et pour ne rien mettre mais fermer l'entourage (interdit de faire un \left sans \right et inversement), il faut utiliser le point : '\right.'.

Matrices

Les matrices utilisent la syntaxe des tableaux pour créer les lignes et colonnes. Pour rappel : le & sépare les colonnes et les \\ rajoutent une ligne.

Déclaration

On possède six types de matrices. Toutes sont définies par un environnement :

  • Sans entourage : \begin{matrix} a & b \\ c & d \end{matrix} \begin{matrix} a & b \\ c & d \end{matrix}
  • Valeur absolue : \begin{vmatrix} a & b \\ c & d \end{vmatrix} \begin{vmatrix} a & b \\ c & d \end{vmatrix}
  • Norme : \begin{Vmatrix} a & b \\ c & d \end{Vmatrix} \begin{Vmatrix} a & b \\ c & d \end{Vmatrix}
  • Crochets : \begin{bmatrix} a & b \\ c & d \end{bmatrix} \begin{bmatrix} a & b \\ c & d \end{bmatrix}
  • Accolades : \begin{Bmatrix} a & b \\ c & d \end{Bmatrix} \begin{Bmatrix} a & b \\ c & d \end{Bmatrix}
  • Parenthèses : \begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix} \begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix}

Pour les matrices de la vie courante, c'est à vous de choisir, soit les crochets soit les parenthèses. Il n'y a pas de norme internationale pour ça. Personnellement, sur papier j'écris des accolades, car les grandes parenthèses à main levée, ce n'est pas probant. Mais sur LATEX j'utilise les parenthèses, qui sont plus esthétiques.

Pointillés

Un petit détail. Pour faire des matrices de taille n, il faut mettre des pointillés de partout. Au lieu d'utiliser les trois points, ce qui n'est pas correct pour la mise en page (et quasiment impossible à réaliser en vertical). On utilise donc :

  • Horizontal : \cdots \cdots
  • Diagonal : \ddots \ddots
  • Vertical : \vdots \vdots

Ce qui nous donne la matrice identité comme ceci : I_n = \begin{pmatrix}
1      & \cdots & 0 \\ 
\vdots & \ddots & \vdots \\ 
0      & \cdots & 1 
\end{pmatrix}

I_n = \begin{pmatrix}
    1      & \cdots & 0 \\ 
    \vdots & \ddots & \vdots \\ 
    0      & \cdots & 1 
\end{pmatrix}

Exercice

Pour vérifier que vous avez tout compris, vous pouvez vous entraîner à reproduire cette formule :

\phi_n(\nu) =
 \frac{1}{4\pi^2\nu^2} \int_0^\infty
 \frac{\sin(\nu R)}{\nu R}
 \frac{\partial}{\partial R}
 \left[R^2\frac{\partial D_n(R)}{\partial R}\right]\,dR

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