MFF:Queneau-Daniel

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DéfinitionDéfinition

On définit la n^{eme} permutation de Queneau-Daniel comme ceci :

\quad [1,..., n ] \to [n, 1, n-1, 2, n-2, ...]
On définit son ordre comme le cardinal de l'orbite de 1.
DéfinitionDéfinition On dit que n \in \mathbb{N}^* est un nombre de Queneau si la n^{ieme} permutation de Queneau-Daniel est d'ordre n.

Par exemple, 6 est un nombre de Queneau puisque la sixtine existe.

DéfinitionThéorème Si n est un nombre de Queneau alors 2n + 1 est premier.

La permutation de QD est une permutation spirale, ce qui nous donne

  • \left\{\begin{array}{ll} \sigma_n(2p) & = p \\ \sigma_n(2p+1) & = n - p \end{array}\right.
  • \delta_n(x) = \left\{ \begin{array}{ll} 2x & \textrm{si\,} 2x \leq n \\ 2n+1-2x & \textrm{sinon} \end{array}\right.

Ce qui nous donne le lemme suivant :

\forall n \in \mathbb{N}^*,\quad \sigma_n\circ \delta_n = Id

On sait maintenant que l'orbite de 1 peut être défini comme ceci :

\mathrm{Orbite}(1) = \left\{ \delta^i (1), i = 0...n-1 \right\}

On a trivialement \delta(x) \equiv \pm 2x\; [2n+1], d'où le résultat suivant :

\delta^i (x) = \pm 2^i x \;[2n+1]

Par exemple : 7 n'est pas un nombre de Queneau. Ici on a 2n+1 = 15 = 3\times 5 et on remarque que l'orbite de 3 est \{3,6\} et celle de 5 est \{5\}.

Historiquement une CNS éronée a été annoncé par Roubaud basé sur les travaux de son étudiante Bringer.

Celle-ci était : ``n est un nombre de Queneau si et seulement si 2 est d'ordre n ou 2n dans {^\mathbb{Z}/_{2n+1 \mathbb{Z}}}^*

Voici la vraie condition nécessaire et suffisante énoncée en 2002 :

DéfinitionThéorème

n est un nombre de Queneau si et seulement si :

2 \textrm{\,est\,d'ordre\,} 2n \textrm{\,dans\,}{^\mathbb{Z}/_{2n+1 \mathbb{Z}}}^*
\mathrm{ou}
n \textrm{\,impair\,et\,} 2 \textrm{\,est\,d'ordre\,} n \textrm{\,dans\,}{^\mathbb{Z}/_{2n+1 \mathbb{Z}}}^*