Méthode level-set pour la simuation d'une membrane immergée

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Encadrants : Georges-Henri.Cottet et Emmanuel Maitre, Laboratoire Jean Kuntzmann, Equipe EDP.

Thème général

Nous étudions depuis quelques années dans l'équipe la modélisation par level-set (ligne de niveau) d'une interface élastique immergée dans un fluide. Selon le type d'énergie qu'on associe à cette interface, elle peut représenter un ballon élastique ou bien une membrane de cellule. Les problèmes couplant une structure élastique et un fluide (interaction fluide-structure ou IFS, ou FSI en anglais) sont des problèmes difficiles en général car les représentations naturelles des fluides et des objets élastiques ne sont pas les mêmes : un fluide se décrit naturellement de manière eulérienne, un solide de manière lagrangienne. De nombreuses méthodes permettent de contourner cette difficulté. L'approche que nous avons retenue est de représenter la structure et le fluide de manière eulérienne. Pour cela nous utilisons une fonction, appelée fonction level-set, pour repérer l'interface, et nous exprimons la force élastique générée par cette membrane du fait de sa déformation par l'intermédiaire des dérivées de cette fonction niveau.

Jusqu'à présent les codes de calcul que nous avons développé sont écrits en C et Fortran et implémentent des méthodes de différences finies ou des méthodes particulaires. Un exemple très simplifié sous Matlab se trouve sur cette page. Nous avons aussi développé une méthode de couplage implicite. En effet les couplages explicites souffrent de problèmes de stabilité pour des coefficients de raideurs de membrane importants, qui nécessitent des restrictions sur le pas de temps souvent intenables. C'est justement le cas pour les membranes biologiques, et nous travaillons donc actuellement sur des algorithmes implicites permettant de calculer avec des pas de temps raisonnables.

Sujet

Dans ce projet, il s'agit tout d'abord de formuler le problème simple d'interaction 2D sous forme faible et de l'implémenter sous FreeFEM++, avec maillage adaptatif. Puis d'implémenter la forme implicite de ce couplage, qui fait intervenir une équation supplémentaire de type ondes ou chaleur (selon l'implémentation). Nous souhaiterions tester différents schémas numériques auxquels nous avons pensé, ou d'autres que vous pourriez suggérer. Le passage à la 3D n'est a priori pas très difficile au niveau codage, un modèle level-set étant par nature peu dépendant de la dimension. Par contre les stratégies à mettre en oeuvre pour rendre ce calcul performant sont à découvrir.

Résultats attendus

L'objectif principal est l'implémentation d'un code de calcul à partir d'un problème formulé par le couplage de Navier-Stokes et d'une équation de transport d'une fonction, qui intervient dans le second membre de l'équation fluide par ses dérivées. On développera une stratégie de maillage adaptatif. Une fois cette mise en oeuvre effectuée, une partie plus prospective pourra être abordée selon l'initiative des étudiants : l'implémentation d'un schéma implicite et son étude, le passage au 3D.