Méthode éléments finis pour le transport optimal

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Encadrants : Morgane Henry et Emmanuel Maitre, Laboratoire Jean Kuntzmann, EDP.

Thème général

Le transport optimal consiste à se poser le problème du déplacement d'une fonction vers une autre à un coût minimal. Il a été introduit il y a très longtemps par Monge dans un contexte assez éloigné de ses applications actuelles mais qui vaut la peine d'être mentionné : [1] Ce type de problème a trouvé de nombreuses applications en analyse d'images, car une image peut être considérée comme une fonction définie sur un domaine, à valeurs réelles (image noir et blanc) ou vectorielles (images couleur). On peut ainsi utiliser cet outil pour interpoler intelligemment entre deux images et, par exemple, reconstituer une séquence vidéo tronquée. On peut aussi s'en servir pour définir une distance entre deux images (comme le coût du transport de l'une vers l'autre) ce qui permet de comparer les images.

Un groupe de recherche s'est constitué au Laboratoire Jean Kuntzmann de l'Université de Grenoble et en collaboration avec le laboratoire MAP5 de l'Université Paris Descartes sur les aspects numériques et les extensions des outils de transport optimal au cas d'énergies plus complexes que celles initialement considérées (ANR TOMMI, Transport Optimal et Modèles Multiphysiques de l'Image). Un cours est proposé en 3A notamment sur les applications du transport optimal à l'analyse d'images : [2].

Un sujet de recherche très actuel est de pouvoir calculer la solution numérique des problèmes d'optimisation sous-jacents de manière efficace. Pour l'heure les coûts restent prohibitifs notamment pour l'application à des images de grande taille.

Sujet

Dans ce projet, il s'agit d'étudier un algorithme pour le transport optimal 1D, développé dans le cadre de la thèse de Morgane Henry. Celui-ci repose sur la méthode de Newton appliqué à une équation variationnelle, dont nous aimerions améliorer la convergence. L'aspect maillage adapté nous intéresse aussi, à savoir comment adapter le maillage aux variations de la densité à transporter pour accélérer le calcul sans perdre en précision. Si le temps le permet, une suite naturelle est de s'intéresser aux propriétés mathématique de l'équation et/ou de chercher à adapter en dimension deux cette formulation. Le développement sera effectué sous FreeFEM++.

Résultats attendus

L'objectif principal est l'optimisation de l'algorithme de Newton en termes de pas de descente et de maillage adaptatif. Une fois cette mise en oeuvre effectuée, une partie plus prospective pourra être abordée selon l'initiative des étudiants (cf ci-dessus).