Ludovic SALOMON (Encadrant : Valérie PERRIER) : Analyse de l’anisotropie dans des images texturées

Titre du projet	Analyse de l'anisotropie dans des images texturées
Cadre	IRL
Labo	LJK
Équipe	CVGI
Encadrants	Valérie Perrier

Contexte du projet

L’analyse d’images texturées est un problème important dont les applications sont nombreuses : imagerie médicale (analyse d’images issues de mammographie pour la détection du cancer du sein), géologie (analyse de reliefs), etc... Dans chaque cas, il s’agit d’extraire d’une image des caractéristiques pertinentes permettant de la décrire.

Dans bien des situations, l’image qu’on cherche à analyser est anisotrope, c’est à dire que ses propriétés sont différentes suivant les directions considérées. C’est le cas par exemple lorsqu’on analyse des radiographies d’os afin de diagnostiquer l’ostéoporose mais aussi lorsqu’on caractérise des surfaces de fractures.

Une question naturelle est alors de savoir comment définir mathématiquement cette notion d’anisotropie d’une image, une autre question étant alors d’estimer le degré d’anisotropie d’une image donnée de manière robuste.

Dans cet IRL, l'objectif a été de se familiariser avec des outils mathématiques comme la transformée en ondelettes monogènes et son application à des images synthétiques ou issues de la vie réelle. Puis il a fallu définir de nouvelles caractéristiques de l'anisotropie, sur des exemples simples.

Le signal monogène

Définition

On rappelle que toute image peut s'exprimer sous la forme d'une fonction de $\mathbb{R}^2$ dans $\mathbb{R}$.

Le signal monogène associé à une fonction $f \in L(\mathbb{R}^2)$ est défini par : $\mathcal{M}f = \left( \begin{array}{c} f \\ \mathcal{R} f \end{array} \right)$ où $\mathcal{R}f = (\mathcal{R}_i f)_{i \in \{1,2\}}$ est la transformée de Riesz définie par : $\mathcal{R}_i f (x) = \lim\limits_{\epsilon \rightarrow 0} \left( \dfrac{1}{\pi} \int_{\vert x-y \vert > \epsilon} \dfrac{x_i - y_i}{\vert x -y \vert ^3} f(y) \mathrm{d}y \right)$

On peut montrer que le signal monogène $\mathcal{M}f$ peut s'écrire sous la forme :

$\mathcal{M}f = A e^{\varphi n_{\theta}} = A (\cos \varphi + n_{\theta} \sin \varphi)$ avec $n_{\theta} = i \cos \theta + j \sin \theta$ où $A > 0$ et $\varphi$ et $\theta$ sont deux fonctions à valeurs réelles définies de manière unique (sous certaines conditions).

A est l'amplitude du signal, $\varphi$ sa phase et $n_{\theta}$ son orientation locale définie en tout point de l'image.

Application

Image originale	Deuxième composante du signal monogène	Troisième composante du signal monogène
Amplitude	Phase

Les transformées de Riesz $\mathcal{R}_1 f$ et $\mathcal{R}_2 f$ permettent respectivement de dégager les contours horizontaux et verticaux de l'image tandis que les variations de texture sont capturées par la phase (comme les cheveux de Lenna, son chapeau ou sa peau, et une partie de la façade se trouvant en arrière-plan). L'amplitude du signal monogène capte l'énergie contenue en chaque point de l'image.

Limites

Néanmoins, sur certaines textures, il est très difficile de dégager une orientation globale à partir du signal monogène,comme le montre l'exemple suivant.

Image originale	Orientation

Covariance d'une image

Définition

On définit une covariance empirique de la manière suivante.

Soit f et g deux fonctions appartenant à $L^2(\mathbb{R}^2)$. La covariance de f et g est une fonction de $L(\mathbb{R}^2)$ définie par :

$\forall \tau \in \mathbb{R}^2 , cov(f,g)(\tau) = \int_{\mathbb{R}^2} f(x + \tau) g(x) \mathrm{d}x$

Elle se calcule en utilisant la transformée de Fourier et transformée inverse de Fourier sous certaines conditions.

Application

On considère l'exemple qui suit.

Image originale	Orientation

On calcule alors la covariance de l'image avec elle-même. On constate un lissage et on peut observer via l'observation de l'orientation locale une direction se dégageant.

Covariance de l'image avec elle-même	Orientation

Limites

Néanmoins, cette façon de procéder demeure instable sur certaines images.

Conclusion

D'autres approches pourraient être développées :

- Appliquer la covariance locale non pas au signal brut mais à des paramètres du signal monogène afin de dégager des caractéristiques plus précises de l'image.

- On peut aussi améliorer l'outil du signal monogène en le combinant avec la transformée en ondelettes. L'idée serait alors de découper le signal en le décomposant sur une base en ondelettes, d'appliquer la transformée en ondelettes monogènes sur chacune des composantes afin de raffiner la détermination de caractéristiques spécifiques de l'image.

Bibliographie

[1] Marianne Clausel, Thomas Oberlin, and Valérie Perrier. The monogenic synchrosqueezed wavelet transform : a tool for the decomposition/demodulation of am–fm images. Applied and Computational Harmonic Analysis, 39(3) :450–486, 2015.

[2] Stéphane Mallat. A wavelet tour of signal processing. Academic press, 1999.

[3] Sofia Charlotta Olhede, Diego Ramirez, and Peter J Schreier. Detecting directionality in random fields using the monogenic signal. Information Theory, IEEE Transactions on, 60(10) :6491–6510, 2014.

[4] Kévin Polisano, Marianne Clausel, Valérie Perrier, and Laurent Condat. Texture modeling by gaussian fields with prescribed local orientation. In Image Processing (ICIP), 2014 IEEE International Conference on, pages 6091–6095. IEEE, 2014.

Documents annexes

• rapport_irl_salomon
• slides_salomon