Kevin BONKOSKI (avec Brigitte Bidegaray) : EDP pour les options asiatiques

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Titre du projet EDP pour les options asiatiques
Cadre IRL

Labo LJK
Équipe EDP
Encadrants Brigitte Bidégaray-Fesquet


Contexte du projet

Les options asiatiques sont des options exotiques dépendant du prix moyen du sous-jacent dans un intervalle de temps donné. Elles donnent lieu à des primes d’option inférieures aux options vanille. Dans leur variante sous forme d’équation aux dérivées partielles, les options asiatiques donnent lieu à des équations avec une variable temporelle et deux dérivées d’« espace », comme d’autres modèles très courant comme le modèle d’Heston.

Il n’existe pas de formule fermée pour les options asiatiques. Elles peuvent être bien sûr simulées grâce à des méthodes de type Monte—Carlo, mais le plus efficace (en terme de temps de calcul) consiste à utiliser la version équation aux dérivées partielles de ces équations et à utiliser typiquement une méthode de directions alternées. Ce projet m'a permis d’explorer les performances comparées des différentes méthodes (Monte—Carlo, différences finies, avec et sans optimisation), ainsi que le cas où seule des valeurs discrètes du sous-jacent sont intégrées.

L'option vanille et la formule fermée

\frac{\partial \Phi}{\partial t}(t,x) + \frac{\sigma ^2}{2} \frac{\partial^2 \Phi}{\partial x^2}(t,x) + (r - \frac{\sigma ^ 2}{2}) \frac{\partial \Phi}{\partial x}(t,x) -r \Phi(t,x) = 0

Conclusion

Références

[1] J.C. Hull. Options, Futures and Other Derivatives. Prentice Hall, 6th edition, 2005.

[2] L.C.G. Rigers and Z. Shi. The value of an asian option. 32(4) :1077–1088, December 1995.