Kevin BONKOSKI (avec Brigitte Bidegaray) : EDP pour les options asiatiques

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Titre du projet EDP pour les options asiatiques
Cadre IRL

Labo LJK
Équipe EDP
Encadrants Brigitte Bidégaray-Fesquet


Contexte du projet

Les options asiatiques sont des options exotiques dépendant du prix moyen du sous-jacent dans un intervalle de temps donné. Elles donnent lieu à des primes d’option inférieures aux options vanille. Dans leur variante sous forme d’équation aux dérivées partielles, les options asiatiques donnent lieu à des équations avec une variable temporelle et deux dérivées d’« espace », comme d’autres modèles très courant comme le modèle d’Heston.

Il n’existe pas de formule fermée pour les options asiatiques. Elles peuvent être bien sûr simulées grâce à des méthodes de type Monte—Carlo, mais le plus efficace (en terme de temps de calcul) consiste à utiliser la version équation aux dérivées partielles de ces équations et à utiliser typiquement une méthode de directions alternées. Ce projet m'a permis d’explorer les performances comparées des différentes méthodes (Monte—Carlo, différences finies, avec et sans optimisation), ainsi que le cas où seule des valeurs discrètes du sous-jacent sont intégrées.

Introduction

Les options

Depuis le milieu des années 70, les marchés financiers ont subi de grandes transformations. Pour gérer ces problèmes, de nombreux produits financiers ont vu le jour : c’est le début des produits dérivés.

Il existe deux généralement types d’option :

— celle d’achat (Call) qui permet à son détendeur d’avoir le droit d’ache- ter une certaine quantité d’actif sous-jacent à une valeur et une date fixée à l’avance,

— celle de vente (Put) qui permet à son détendeur d’avoir le droit de vendre une certaine quantité d’actif sous-jacent à une valeur et une date fixée à l’avance.

Le prix d’exercice ou strike sera noté K par la suite. La date maximale qui est fixée à l’avance est appelée échéance ou maturité.

Il existe au départ deux grandes familles d'options (les américaines qui se distinguent par la possibilité d’un exercice à tout moment entre la signature du contrat et la maturité et les européennes qui, quant à elles, se voient dans l’obligation d’être exercées à la date de la maturité). Par la suite, des options plus complexes ont commencé à émerger sur les marchés financiers telles que les options asiatiques, barrières, chosen, etc.

L’option Asiatique

Une option asiatique permet à son détenteur de prendre comme référence le cours moyen d’un sous-jacent et non son prix final. Le strike sera encore fixé à l’avance et la moyenne de ce cours peut-être arithmétique ou géométrique.

Les différentes méthodes de pricing

Rappelons que les produits financiers que sont les options ont un coût lors de l’achat : c’est la prime. Réussir à estimer le prix de cette prime est couramment appelé le pricing d’options. La plupart du temps, le pricing d'options se restreint aux trois techniques d’évaluation suivantes.

  • Le recours aux arbres binomiaux, induit par le modèle de Cox–Ross–Rubinstein (CRR).
  • La méthode de Monte–Carlo qui est une méthode probabiliste et stochastique.
  • La résolution de l’EDP via la technique des différences finies ou autres techniques de résolution d’EDP.

Le travail réalisé

Je me suis limité à l’étude des options de vente (Put) pour ce projet. Dans un premier temps, j’ai donc étudié le modèle de l’EDP sur les options européennes. Afin de vérifier la cohérence de cette technique de résolution, j’ai comparé les résultats avec ceux obtenus grâce à la formule fermée de Black–Scholes.

Par la suite, je me suis intéressé au pricing des options asiatiques en résolvant l’EDP par méthode de splitting. Bien qu’intéressante d’un point de vue complexité, celle-ci nécessite une bonne étude des conditions de bords. Or parfois, cette étude est assez délicate car nous n’arrivons pas forcément à trouver des conditions de bords permettant d’obtenir un résultat convenable.

L'option vanille européenne

En ce plaçant dans le modèle d'Heston sous certaines hypothèses et en appliquant le lemme d'Itô, nous obtenons l'EDP \frac{\partial \Phi}{\partial t}(t,x) + \frac{\sigma ^2}{2} \frac{\partial^2 \Phi}{\partial x^2}(t,x) + (r - \frac{\sigma ^ 2}{2}) \frac{\partial \Phi}{\partial x}(t,x) -r \Phi(t,x) = 0.

La formule fermée

Prix de la prime d'une option de vente vanille en fonction du cours du sous-jacent

En posant de bons changements de variables, nous pouvons retrouver comme l'avait démontré M. Black et M. Scholes dans les 70, l'équation de la chaleur \frac{\partial y}{\partial \tau} = \frac{1}{2}\frac{\partial^2 y}{\partial x^2} et ainsi la formule fermée V(t,S) =  K e^{-rt}\mathcal{F}_{\mathcal{N}}(-d_2) - S \mathcal{F}_{\mathcal{N}}(-d_1),


 \left\{
\begin{array}{ll}
\displaystyle
d_2 = \frac{\ln(\frac{S}{K}) + (r-\frac{\sigma ^2}{2})(T-t)}{\sigma \sqrt{T-t}},
\\
\displaystyle
d_1 = d_2 + \sigma \sqrt{T-t} = \frac{\ln(\frac{S}{K}) + (r+\frac{\sigma ^2}{2})(T-t)}{\sigma \sqrt{T-t}}.
\end{array}
\right.

La résolution de l'EDP

En appliquant la formule des différences finies classiques du type \frac{f(x+h)-f(x-h)}{2h}~\simeq~f'(x), j'ai ainsi pu discrétiser l'EDP. Pour le temps j'ai ainsi discrétisé l'intervalle de 0 à T en N+1 intervalles uniformes. Chaque temps de discrétisation sera donc de la forme \forall n = 0..N t^n = t^0 + n\delta t = t^0 + n\frac{T}{N}, en respectant bien entendu t^0 = 0 et t^N=T. De la même manière, j'ai discrétisé le cours du sous-jacent qui est compris entre x_{max} et x_{max} en M+1 pas d'"espace".

La méthode explicite

Prix de la prime d'une option de vente vanille en fonction du cours du sous-jacent

A chaque itération n, cette méthode consiste à calculer le vecteur\left(\Phi_1^{n-1},
\Phi_2^{n-1},
\ldots,
\Phi_{M-1}^{n-1} \right), en respectant les conditions aux bords suivantes :

  • une condition de Neumann pour \Phi_{M},
  • une condition de Dirichlet pour \Phi_{0}.

La condition de Neumann se traduit par \frac{\partial \Phi}{\partial x}(x=x_{M}) = 0 \Leftrightarrow \forall n, \Phi_{M}^n = \Phi_{M-1}^n.

La condition de Dirichlet se traduit quant à elle à l'instant t par \Phi_{0}^{n} = (K-S_{0})e^{-r(T-t^{n})}.

Nous obtenons ainsi, 
\begin{pmatrix}
\Phi_1^{n-1} \\
\Phi_2^{n-1} \\
\vdots \\
\vdots \\
\Phi_{M-1}^{n-1}
\end{pmatrix}
= 
\begin{pmatrix}
\xi_2 & \xi_1 & 0 &\cdots & 0 \\ 
\xi_3 & \xi_2 & \ddots & \ddots & \vdots \\
0 & \ddots & \ddots & \ddots & \vdots \\
\vdots & \ddots & \ddots & \xi_2 &  \xi_1\\
0&\cdots&0&\xi_3&\xi_1 + \xi_2
\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}
\Phi_1^{n} \\
\Phi_2^{n} \\
\vdots \\
\vdots \\
\Phi_{M-1}^{n}
\end{pmatrix}
+
\begin{pmatrix}
\xi_3(K-S_{0})e^{-r(t^N-t^n)} \\
0 \\
0 \\
\vdots \\
0
\end{pmatrix}

avec \left\{
\begin{array}{ll}
\displaystyle
\xi_1 = \delta t (\frac{\alpha}{\delta x^2} + \frac{\beta}{2\delta x}),
\\
\\
\displaystyle
\xi_2 = \delta t(\frac{1}{\delta t} - \frac{2 \alpha}{\delta x^2} + \gamma),
\\
\\
\displaystyle
\xi_3 = \delta t (\frac{\alpha}{\delta x^2}-\frac{\beta}{2\delta x}).
\end{array}
\right.

Ce calcul revient donc à calculer le vecteur \Phi^{n-1}tel que \Phi^{n-1} = A\Phi^{n} + C^n.

La méthode implicite

Prix de la prime d'une option de vente vanille en fonction du cours du sous-jacent

De la même manière, en utilisant les différences finies et les conditions précédentes nous obtenons


\begin{pmatrix}
\Phi_1^{n} \\
\Phi_2^{n} \\
\vdots \\
\vdots \\
\Phi_{M-1}^{n}
\end{pmatrix}
= 
\begin{pmatrix}
\zeta_2 & \zeta_1 & 0 &\cdots & 0 \\ 
\zeta_3 & \zeta_2 & \ddots & \ddots & \vdots \\
0 & \ddots & \ddots & \ddots & \vdots \\
\vdots & \ddots & \ddots & \zeta_2 &  \zeta_1\\
0&\cdots&0&\zeta_3&\zeta_1 + \zeta_2
\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}
\Phi_1^{n-1} \\
\Phi_2^{n-1} \\
\vdots \\
\vdots \\
\Phi_{M-1}^{n-1}
\end{pmatrix}
+
\begin{pmatrix}
\zeta_3(K-S_{0})e^{-r(T-t^{n-1})} \\
0 \\
0 \\
\vdots \\
0
\end{pmatrix}
avec \left\{
\begin{array}{ll}
\displaystyle
\zeta_1 = -\delta t (\frac{\alpha}{\delta x^2} + \frac{\beta}{2\delta x}),
\\
\\
\displaystyle
\zeta_2 = \delta t(\frac{1}{\delta t} + \frac{2 \alpha}{\delta x^2} - \gamma),
\\
\\
\displaystyle
\zeta_3 = \delta t (\frac{\beta}{2\delta x} - \frac{\alpha}{\delta x^2}).
\end{array}
\right.

Ce calcul revient donc à chercher le vecteur \Phi^{n-1} tel que \Phi^{n} = B\Phi^{n-1} + C^n \Leftrightarrow \Phi^{n} - C^n= B\Phi^{n-1}.

La méthode de Crank-Nicolson

De la même manière, en utilisant les différences finies et les conditions précédentes, cette méthode revient donc à chercher le vecteur \Phi^{n-1} tel que B\Phi^{n-1}=A\Phi^{n}+C^n.

Prix de la prime d'une option de vente vanille en fonction du cours du sous-jacent

L'option asiatique

Sous différentes hypothèses, nous avons obtenu notre EDP \frac{\partial \Phi}{\partial t}(x,t,A) + \alpha \frac{\partial^2 \Phi}{\partial x^2}(x,t,A) + \beta \frac{\partial \Phi}{\partial x}(x,t,A) + \gamma \Phi(x,t,A) + \frac{e^x}{K} \frac{\partial \Phi}{\partial A}(x,t,A) = 0 avec \left\{
\begin{array}{ll}
\alpha = \frac{\sigma ^2}{2},
\\
\beta = r - \frac{\sigma ^ 2}{2},
\\
\gamma = -r.
\end{array}
\right.

Rappelons que pour une option asiatique, nous ne considérons plus le pay-off (K-S)_+ mais désormais (K-A)_+. La résolution de ce problème de Cauchy va donc se faire en deux étapes.

La première consiste à trouver z pour tout A, solution de \left\{\begin{array}{ll}
\displaystyle
\frac{\partial z}{\partial t}(x,t,A) + \alpha \frac{\partial^2 z}{\partial x^2}(x,t,A) + \beta \frac{\partial z}{\partial x}(x,t,A) + \gamma z(x,t,A) = 0, \\ \\
\displaystyle
z(x,0,A) = (K-A)_+.
\end{array}
\right.

La deuxième étape est de résoudre une équation d'advection en utilisant par exemple la méthode des caractéristiques. J'ai choisi, pour ma part, de résoudre l'équation d'advection par différences finies. \left\{\begin{array}{ll}
\displaystyle
\frac{\partial \Phi}{\partial t}(x,t,A) + \frac{e^x}{K} \frac{\partial \Phi}{\partial A}(x,t,A) = 0, \\ \\
\displaystyle
\Phi(x,t,0) = z(x,t,A).
\end{array}
\right.

On a effectivement essayé d'éviter l'inversion d'une matrice bi-diagonale en évitant une méthode implicite pour l'équation d'advection. Pour résoudre l'EDP, nous devons itérer cette étape jusqu'au temps initial t^0 = 0.

Prix de la prime d'une option de vente asiatique en fonction du cours et de la moyenne du sous-jacent

Conclusion

Lorsque j'étais en Prépa, j'avais déjà travaillé sur le princing des options vanille. En effet, lors de mon TIPE (Travail d'Initiative Personnel Encadré), j'avais étudié l'approche par arbres binomiaux (Les arbres binomiaux au service de la finance). Cette approche permet de rester en temps discret et de pricer des options européennes à partir du modèle CRR.

Cependant ce modèle présente beaucoup de faiblesse surtout en ce qui concerne la rapidité de calcul. C'est pourquoi, j'ai travaillé ce semestre avec l'aide de Madame Bidégaray-Fesquet sur les EDP pour les options asiatiques. En effet, pricer une option par la résolution d'une EDP peut-être une méthode alternative à celle de Monte--Carlo, très souvent utilisée dans le monde de la finance.

Dans un premier temps, j'ai travaillé sur les options vanille. J'ai essayé de comparer les résultats obtenus par la résolution de l'EDP de Black-Scholes et la formule fermée. Dans ce cas simple, les conditions aux bords restent assez simples et les deux modèles donnent des résultats similaires.

Cependant, lorsque nous souhaitons étudier les options asiatiques, la plupart des recherches déjà réalisées posent un changement de variables u = S/A permettant de se ramener à une variable spatiale au lieu de deux. De cette manière, l'étude des conditions de bord reste assez simple.

Néanmoins, nous avons choisi d'essayer de résoudre cette EDP en gardant les deux variables spatiales et la variable temporelle. Comme nous avons supposé que la variable qui représente le cours du sous-jacent et celle qui représente la moyenne de ce cours restent indépendantes, alors il est assez difficile d'imposer de "bonnes conditions" de bord. A ce jour, je n'ai pas encore trouvé les conditions permettant d'obtenir un résultat correct.

Références

[1] J.C. Hull. Options, Futures and Other Derivatives. Prentice Hall, 6th edition, 2005.

[2] L.C.G. Rigers and Z. Shi. The value of an asian option. 32(4) :1077–1088, December 1995.

[3] P.A. Forsyth R. Zvan and K. Vetzal. Robust numerical methods for pde models of Asian options.

[4] L.C.G. Rigers and Z. Shi. The value of an Asian option. 32(4):1077–1088, December 1995.

[5] R. U. Seydel. Tools for Computational Finance. Springer, 5th edition.

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