Introduction au traitement du signal

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Amis imagiens, amies imagiennes... Cette page est un introduction au cours de traitement d'image de deuxième année. Elle contient des notions de bases de traitement de signal, mais aussi des choses qui seront utiles dans le cours de systèmes intelligents. Mais attention, je ne suis pas les cours des profs. L'utilité est juste de vous aider à comprendre un peu mieux.

Les présentations étant faites, on est parti.


Introduction

Le traitement du signal est venu avec la communication. Le schéma est le suivant :


Message ---- Émetteur ---- Canal ---- Récepteur ---- Traitement


Le codage se fait avant l'émission, et le décodage après la réception. La transmission introduit du bruit qui peut brouiller le signal.

Les signaux stochastiques sont ceux dont on ne prévoit pas les changements, contrairement aux signaux déterministes. Pour chaque signaux, on détermine la dimension de son support, et celle de son amplitude. Une image numérique en couleur est à support en deux dimensions (abscisse et ordonnée) et à amplitude en trois dimensions (R, G, B), tandis qu'un film en noir en blanc a une amplitude en 1D et un support en 3D (x, y, et le temps).

On distingue aussi les signaux analogiques qui sont continus dans le temps des signaux numériques qui sont discrétisés (support et/ou amplitude).


Maintenant, les choses plus intéressantes ...


Outils d'analyse discrète

On appelle signal déterministe à temps discret un signal représenté par une suite numérique. Il peut aussi être périodique si \exists N > 0 tel que x(n+N)=x(n), \forall n \in \Z. On peut facilement rendre périodique de période N un signal à support fini de longueur N.


Exemple de signaux

Quelques signaux importants à connaitre.

  • le Dirac : \delta ( n) = \begin{cases} 1 \textrm{ \ si \ } n = 0 \\ 0 \textrm{ \ sinon \ } \end{cases} et tout signal discret se met sous forme d'un peigne de Dirac : x(n) = \sum_{x=-\infty }^{\infty} x(k) \delta (n-k)
  • l'echelon unité : u( n) = \begin{cases} 1 \textrm{ \ si \ } n \ge 0 \\ 0 \textrm{ \ sinon \ } \end{cases}
  • le rectangle : rect_{a}( n) = \begin{cases} 1 \textrm{ \ si \ } -a \le n \le a \\ 0 \textrm{ \ sinon \ } \end{cases}. On remarque aussi que rest_{a}(n)=u(n+A)-u(n-a-1).


Classification des systèmes discrets

Les signaux statiques sont ceux dont la sortie n ne dépend que de l'entrée n. Exemple : y(n)=2x(n). Et parmi les signaux dynamiques, on distingue les systèmes causaux dont la sortie n ne dépend que des entrées  \le n (Exemple : y(n)=x(n)-x(n-1)) et les systèmes anti-causaux dont la sortie n ne dépend que des entrées > n (Exemple : y(n)=x(n+3)).

On peut aussi distinguer les systèmes variants des systèmes invariants. Ceci dépend de la réaction en sortie du système si on décale l'entrée. Ainsi, si y(n)=x(n-1), on a bien y(n-k)=x((n-1)-k) donc le système est invariant. Mais si y(n)=x(n²), on aura y(n-k)=x((n-k)²) et pas y(n-k)=x(n²-k), donc le système est variant. Dans la plupart des travaux, on cherche à ce que le système soit invariants car vous pouvez imaginer qu'un système qui ne réagit pas de la même façon le lundi et le mardi n'est pas très utile ...

On peut enfin définir les systèmes linéaires qui sont tel que : H[ax(n)+by(n)]=aH[x(n)]+bH[y(n)], et ce  \forall x(n),y(n),a,b.</br>

Tous ces types de systèmes peuvent être stables ou instables suivant leur réaction à une entrée bornée. Ainsi, si  |x(n)|< \infty , le système est stable si |y(n)|< \infty , et ce \forall n \in \Z .


Convolution des signaux

La convolution est un outil très utile dans le traitement de l'information. C'est un opérateur mathématique, et il se définit comme suit :

x(n)*y(n) = \sum_{k=-\infty}^{+\infty}x(k).y(n-k)

Cet opérateur est :

  • commutatif : x(n)*y(n)=y(n)*x(n)
  • associatif
  • distributif
  • d'élément neutre \delta(n) : x(n)*\delta(n)=x(n)

Dans la plupart des cas, les systèmes que nous étudions sont des Systèmes Linéaires Invariants, ou SLI. Dans ce cas d'étude, on appelle réponse impulsionnelle du SLI la sortie du système quand l'entrée est un Dirac. On a donc :

\delta(n) ---h---> h(n)

Mais notre signal discret peut s'écrire sous la forme d'une somme de Dirac avec des poids sur les différent Dirac. C'est ce qu'on appelle un peigne de Dirac. On a donc :

x(n)=\sum_{k=-\infty}^{+\infty}x(k)\delta(n-k)

Ce qui nous permet de dire que quelque soit l'entrée d'un SLI, sa sortie pourra s'écrire sous la forme suivante :

y(n)=\sum_{k=-\infty}^{+\infty}h(k)x(n-k)=x(n)*h(n)

Les conséquences de ça sont que tout SLI est caractérisé par sa réponse impulsionnelle, et que toute suite numérique peut être considérée comme la réponse impulsionnelle d'un SLI.


Transformée en Z

C'est un outil très intéressant quand il s'agit de manipuler des filtres SLI. Elle est l'équivalent de la transformée de Laplace pour les signaux continus. Elle est représentée dans le domaine des complexes et nécessite donc, quand on l'utilise, la donnée de son domaine de convergence en z.

On la représente comme suit :

X(z)=\sum_{n=-\infty}^{+\infty}x(n)z^{-n}, z \in \C

Voici quelques exemples de transformées en z :


x(n)=\delta(n) \rightarrow X(z)=1, z\in \C
x(n)=rect_{2}(n) \rightarrow X(z)=z^{-2}+z^{-1}+1+z+z^{2}, z \in \C/\{0,\infty\}
x(n)=u(n) \rightarrow X(z)= \frac{1}{1-z^{-1}}, z \in \C/\{-1,1\}


La transformée en z est linéaire.