Intégration

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Matière Analyse 1
Chapitre 4
Promo 1A
Date 2006
Professeur R. Dalmasso
Auteur L. Petit
PDF Le Post'IT

\overline \mathbb{R} = [-\infty, +\infty], désigne l'ensemble des réels auquel on ajoute deux éléments notés +\infty et -\infty.

\overline \mathbb{R}_+ = [0, +\infty].

On a :

\begin{array}{c}
x + (+\infty) = +\infty, \forall x \in \overline{\mathbb{R}} \setminus \{-\infty\}\\
x + (-\infty) = -\infty, \forall x \in \overline{\mathbb{R}} \setminus \{+\infty\}\\
x \times \left\{ \begin{array}{l} +\infty \\ -\infty \end{array} \right. =  \left\{ \begin{array}{l} +\infty \\ -\infty \end{array} \right. \textrm{\,si\,} x > 0\\
x \times \left\{ \begin{array}{l} +\infty \\ -\infty \end{array} \right. =  \left\{ \begin{array}{l} -\infty \\ +\infty \end{array} \right. \textrm{\,si\,} x < 0
\end{array}

Construction "rapide" de l'intégrale

Une tribu sur \mathbb{R}^N (N \geq 1) est une famille de parties de \mathbb{R}^N stable par passage au complémentaire et par réunion dénombrable (et donc par intersection dénombrable).

Si \mathcal{B} désigne une tribu sur \mathbb{R}^N, les éléments de \mathcal{B} s'appellent les ensembles mesurables.

Une mesure \mu (positive) sur \mathcal{B} est une application (non constante avec la valeur +\infty) de \mathcal{B} dans \overline \mathbb{R}_+ croissante et dénombrablement additive (\mathbb{R}^N, \mathcal{B}, \mu) est un espace mesuré.

Soit (\mathbb{R}^N, \mathcal{B}, \mu) un espace mesuré. On dit que cet espace est complet ou que \mu est complète ou que \mathcal{B} est complète pour \mu si (\mathbb{R}^N, \mathcal{B}, \mu) possède la propriété suivante :

(B \in \mathcal{B}, \mu(\mathcal{B}) = 0 \textrm{\,et\,} A \subset B) \Rightarrow A \in \mathcal{B}

Si (\mathbb{R}^N, \mathcal{B}, \mu) est un espace mesuré, on peut montrer qu'il existe une tribu \tilde \mathcal{B} et une mesure \tilde \mu telles que :

  1. \mathcal{B} \subset \tilde \mathcal{B}
  2. \forall B \in \mathcal{B}, \tilde \mu(B) = \mu(B)
  3. (\mathbb{R}^N, \tilde \mathcal{B}, \tilde \mu) est complet

Rappelons que la tribu des boréliens de \mathbb{R}^N, est la tribu engendrée par les ouverts (ou les fermés) de \mathbb{R}^N. On peut montrer que cette tribu notée \mathcal{B}_{\mathbb{R}^N} est aussi engendrée par les pavés :

\prod_{j=1}^N [a_j, b_j] \textrm{\,avec\,} -\infty < a_j < b_j < +\infty

On peut montrer qu'il existe une unique mesure \mu sur \mathcal{B}_{\mathbb{R}^N} telle que :

\mu\left(\prod_{j=1}^N [a_j,b_j]\right) = \prod_{j=1}^N  (b_j - a_j)

On l'appelle la mesure de Borel de \mathbb{R}^N.

La complétée de cette mesure est appelée mesure de Lebesgue de \mathbb{R}^N.

Une application f : \mathbb{R}^N \to \overline \mathbb{R}_+ est mesurable si l'image réciproque de tout intervalle est un ensemble mesurable et on définit alors l'intégrale de f par :

\int_{\mathbb{R}^N} f(x) dx = \lim_{h \to 0^+} \sum_{j = 0}^{+\infty} \tilde \mu \left(f^{-1}\left([jh, (j+1)h[\right)\right) jh

Sauf n, f = +\infty sur B \in \tilde \mathcal{B} tel que \tilde \mu(B) > 0 : on pose alors :

\int_{\mathbb{R}^N} f(x) dx = +\infty

Intégrales des fonctions mesurables positives

On ``admet qu'il existe une application qui, à f : \mathbb{R}^N \to \overline \mathbb{R}_N fait correspondre une élément noté :

\int_{\mathbb{R}^N} f(x) dx \textrm{\,ou\,} \int fdx \textrm{\,ou\,} \int f

dans \overline R_+, vérifiant les quatre propriétés suivantes :

  1. Soient f,g : \mathbb{R}^N \to \overline \mathbb{R}_+ et \alpha, \beta \in ]0,+\infty[, alors on a :
    \int(\alpha f + \beta g) = \alpha \int f + \beta \int g
  2. Si f(x) \leq g(x), \forall x \in \mathbb{R}^N alors
    \int f \leq \int g \textrm{\,avec\,} f,g : \mathbb{R}^N \to \overline \mathbb{R}_+
  3. Si A = \prod_{j=1}^N [a_j , b_j] avec -\infty < a_j < b_j < +\infty,
    \int_{\mathbb{R}^N} \mathds 1_A(x)dx = \prod_{j=1}^N (b_j - a_j)
  4. DéfinitionThéorème

    Si f_n : \mathbb{R}^N \to \overline \mathbb{R}_+ est une suite croissante, on a :

    \int_{\mathbb{R}^N} \lim_{n \to +\infty} f_n(x) dx = \lim_{n \to +\infty} \int_{\mathbb{R}^N} f_n(x) dx \leq +\infty

Soit f_n : \mathbb{R}^N \to \overline R_+ une suite de fonctions (mesurables). On a :

\int_{R^N} \left(\sum_{n = 0}^{+\infty} f_n(x) \right) dx = \sum_{n \geq 0} \int_{\mathbb{R}^N} f_n(x) dx \leq +\infty

Si A \subset \mathbb{R}^N est un ensemble (mesurable) et si m(A) = \int_{R^N} \mathds 1_A(x)dx, alors m est la mesure de Lebesgue. On a :

  1. Si A \subset B \subset \mathbb{R}^N, alors m(A) \leq m(B)
  2. Si A_n \subset \mathbb{R}^N, \forall n \in \mathbb{N} et A_n \cap A_m = \empty pour n \neq m, alors :
    m\left(\cup_{n \geq 0} A_n\right) = \sum_{n=0}^{+\infty} m(A_n)


Remarque :

  1. Si A_n est une suite de sous-ensemble de \mathbb{R}^N, on a :
    m\left(\cup_{n \geq 0} A_n \right) \leq \sum_{n \geq 0} m(A_n)
  2. Si A,B \subset \mathbb{R}^N, on a :
    m (A\cup B) + m(A\cap B) = m(A) + m(B)

Ensembles négligeables - Propriétés vraies presque partout

DéfinitionDéfinition Soit A \subset \mathbb{R}^N. Si m(A) = 0, on dit que A est négligeable (pour la mesure considérée, ici Lebesgue).

Remarque : D'après la remarque 1.1, une réunion dénombrable d'ensembles négligeables est négligeable.

En particulier, un point étant négligeable, on a : un ensemble dénombrable est négligeable (Ex : \mathbb Q est négligeable).

DéfinitionDéfinition

Soit P(x) une propriété faisant intervenir les points x \in \mathbb{R}^N.

On dit que P est vraie presque partout (p.p.) si \{ x \in \mathbb{R}^N, P(x) est fausse\} est négligeable.
DéfinitionThéorème

Soit f : \mathbb{R}^N \to \overline \mathbb{R}_+. On a :

\int_{\mathbb{R}^N} f(x) dx = 0 \Leftrightarrow f(x) = 0,\textrm{\,(p.p)}


Fonctions intégrables (au sens de Lebesgue)

DéfinitionDéfinition

Soit f : \mathbb{R}^N \to \overline \mathbb{R}. Si f_+ (x) = \max(f(x),0) et f_-(x) = \max(-f(x),0), on dit que f est intégrable au sens de Lebesgue si :

\int_{\mathbb{R}^N} f_+(x) dx < +\infty \textrm{\,et\,} \int_{\mathbb{R}^N} f_-(x)dx < +\infty

On appelle intégrale de f le nombre noté \int_{\mathbb{R}^N} f(x)dx tel que :

\int_{\mathbb{R}^N} f(x)dx = \int_{\mathbb{R}^N} f_+(x)dx - \int_{\mathbb{R}^N} f_-(x)dx

f = f_+ - f_-.

Si f = g-h avec g,h \geq 0 et \int_{\mathbb{R}^N} g < +\infty, \int_{\mathbb{R}^N} h < +\infty alors :

\int_{\mathbb{R}^N} f_+ - \int_{\mathbb{R}^N} f_- = \int_{\mathbb{R}^N} g - \int_{\mathbb{R}^N} h

Posons r = g-f_+. On a : 0 \leq r \leq g \Rightarrow 0 \leq \int_{\mathbb{R}^N} r \leq \int_{\mathbb{R}^N} g < +\infty.

\int_{\mathbb{R}^N} g = \int_{\mathbb{R}^N} r +  \int_{\mathbb{R}^N} f_+
\int_{\mathbb{R}^N} h = \int_{\mathbb{R}^N} r +  \int_{\mathbb{R}^N} f_-
DéfinitionProposition
  1. L'ensemble des applications de \mathbb{R}^N dans \overline \mathbb{R} intégrable au sens de Lebesgue est un ev noté \mathcal L^1(\mathbb{R}^N) et l'application : f : \mathcal L^1(\mathbb{R}^N) \to \int_{\mathbb{R}^N} f(x)dx est linéaire.
  2. Si f,g \in \mathcal L^1(\mathbb{R}^N) et f \leq g, alors \int_{\mathbb{R}^N} f \leq \int_{\mathbb{R}^N} g.
  3. Soient f,g : \mathbb{R}^N \to \overline \mathbb{R} avec g \in \mathcal L^1(\mathbb{R}^N) et \left|f\right| \leq g. Alors f \in \mathcal L^1(\mathbb{R}^N).
  4. Pour que f : \mathbb{R}^N \to \overline \mathbb{R} soit dans \mathcal L^1(\mathbb{R}^N) il faut et il suffit que \left|f\right| \in \mathcal L^1(\mathbb{R}^N).
  5. Si f \in \mathcal L^1(\mathbb{R}^N), on a :
    \left|\int_{\mathbb{R}^N} f(x)dx\right| \leq \int_{\mathbb{R}^N} \left|f(x)\right| dx

Intégration sur un sous - ensemble

Soit A \subset \mathbb{R}^N un sous-ensemble (mesurable) et soit f une fonction définie sur A. On note :

f_A(x) = \left\{ \begin{array}{lcl} f(x) & si & x\in A \\ 0 & si & x \not\in A \end{array}\right.

On dit que f est intégrable sur A si f_A est intégrable sur \mathbb{R}^N. On note \mathcal L^1(A) l'ev des fonctions intégrables sur A et on pose :

 \int_A f(x)dx = \int_{\mathbb{R}^N} f_A(x)dx

Remarque : Si f et g sont égales p.p. et si l'une d'elle est intégrable, alors l'autre est aussi intégrable et les intégrales sont égales.

Si f est intégrable : \left|g\right| \leq \left|f\right| + \left|\left|f\right| - \left|g\right|\right|

 \Rightarrow \int_{\mathbb{R}^N} \left|g\right| \leq \underbrace{\int_{\mathbb{R}^N} \left|f\right|}_{< +\infty} + \underbrace{\int_{\mathbb{R}^N} \left|\left|f\right| - \left|g\right|\right|}_{= 0}
\left|\int f - \int g\right| = \left|\int f -g\right| \leq \int \left|f-g\right| = 0

Soit f : \mathbb{R}^N \to \mathbb{C} une application. f est intégrable si et seulement si \mathfrak{Re}(f) et \mathfrak{Im}(f) le sont et on pose.

\int_{\mathbb{R}^N} f = \int_{\mathbb{R}^N} \mathfrak{Re}(f) + i \int_{\mathbb{R}^N} \mathfrak{Im}(f)

En particulier l'intégrale d'une fonction sur un ensemble de mesure nulle est toujours nulle. En dimension 1, il est équivalent d'intégrer sur [a,b], ]a,b], ]a,b[, [a,b[.

Intégrale d'une fonction définie p.p.

Soit f une fonction définie p.p. sur \mathbb{R}^N et soit \tilde f un prolongement de f à \mathbb{R}^N.

Si \tilde f est intégrable tout autre prolongement l'est aussi d'après la remarque 3 et a même intégrale. On dit encore que f est intégrable sur \mathbb{R}^N et note \int_{\mathbb{R}^N} f, l'intégrale de \tilde f.

DéfinitionThéorème

Soit (f_n)_{n \in \mathbb{N}} une suite dans \mathcal L^1(\mathbb{R}^N). On suppose que :

  • f_n(x) \to f(x), presque partout,
  • Il existe g \in \mathcal L^1(\mathbb{R}^N) telle que, pour chaque n\in \mathbb{N}.
    \left|f_n(x)\right| \leq g(x) \textrm{\,p.p.}

Alors f \in \mathcal L^1(\mathbb{R}^N) et on a :

\int_{\mathbb{R}^N} \left|f-f_n\right| \to 0

et donc :

\int_{\mathbb{R}^N} f = \lim_{n\to +\infty} \int_{\mathbb{R}^N} f_n


DéfinitionThéorème

Soient f, f_n \in \mathcal L^1(\mathbb{R}^N), n \in \mathbb{N}.

Supposons que :

\int_{\mathbb{R}^N} \left|f_n - f\right| \underset{n\to +\infty}{\longrightarrow} 0

Alors il existe n_k strictement croissante tel que f_{n_k}(x) \to f(x) p.p. et il existe g \in \mathcal L^1(\mathbb{R}^N) tel que :

\left|f_{n_k} (x)\right| \leq g(x) \qquad \textrm{\,p.p.}

L'espace \mathcal L^1(\mathbb{R}^N)

Soit f \in \mathcal L^1(\mathbb{R}^N) et posons N_1(f) = \int_{\mathbb{R}^N} \left|f\right|

On a :

  • N_1 \geq 0
  • N_1(\lambda f) = \left|\lambda\right| N_1(f), \forall \lambda \in K
  • N_1(f+g) \leq N_1(f) + N_1(g)
  • N_1(0) = 0
  • N_1(f) = 0 \Rightarrow f = 0 p.p.

f \sim g \Leftrightarrow f = g p.p. et on pose : \frac{\mathcal L^1(\mathbb{R}^N)}{\sim} = L^1(\mathbb{R}^N). On a donc : \dot f \in L^1(\mathbb{R}^N), \dot f = \{ g \in \mathcal L^1(\mathbb{R}^N), f=g \textrm{\,p.p.}\}

\mathcal L^2(\mathbb{R}^N) = \left\{ f : \mathbb{R}^N \to \overline \mathbb{R} \textrm{\,ou\,} \mathbb{C} ; (f\textrm{\,mesurable})\textrm{\,et\,} f^2\in \mathcal L^1(\mathbb{R}^N)\right\}. On définit de même \mathcal L^2(A), etc...

\mathcal L^2 est un ev. Pour f \in \mathcal L^2(\mathbb{R}^N) on pose, N_2(f) = \sqrt{\int_{\mathbb{R}^N} \left|f\right|^2}. N_2(f) = 0 \Rightarrow f = 0 (p.p.).

Comme pour \mathcal L_1, on définit : \frac{\mathcal L^2(\mathbb{R}^N)}{\sim} = L^2(\mathbb{R}^N).

\mathcal L^{\infty}(\mathbb{R}^N) = \left\{ f : \mathbb{R}^N \to \overline \mathbb{R} \textrm{\,ou\,} \mathbb{C}, \exists C \geq 0 \textrm{\,tel\,que\,} \left|f(x)\right| \leq C \textrm{\,(p.p.)}\right\} est un ev.

N_\infty(f) = \inf\{c \geq 0, \left|f(x)\right| \leq c \textrm{\,(p.p.)}\}.

On a : N_\infty(0) = 0, N_\infty(\lambda f) = \left|\lambda\right| N_\infty(f), N_\infty(f+g) \leq N_\infty(f) + N_\infty(g). N_\infty(f) = 0 \Rightarrow f = 0 p.p.

On définit L^\infty comme le reste.

DéfinitionThéorème Pour p = 1,2,+\infty. L^p(\mathbb{R}^N) (resp L^p(A)) est complet. De plus L^2(\mathbb{R}^N) (resp L^2(A)) est un espace de Hilbert.

Si f,g \in L^2(\mathbb{R}^N) on pose : <f,g> = \int_{\mathbb{R}^N} f(x)\overline{g(x)}dx.

<.,.> est un produit scalaire sur L^2(\mathbb{R}^N). \left|f\right|_2 = la norme associée.

DéfinitionThéorème

Soit I un intervalle de \mathbb{R} et soit A \subset \mathbb{R}^N (mesurable). Soit f une fonction définie sur I\times A (en fait définie pour tout t \in I et p.p. dans A). On suppose que pour tout t \in I, x \to f(t,x) est dans \mathcal L^1(A) (L^1(A)) et on pose :

F(t) = \int_A f(t,x) dx,\quad t\in I
  1. Continuité : Sous les hypothèses suivantes :
    1. Pour x p.p. t\mapsto f(t,x) est continue sur I.
    2. Il existe g \in \mathcal L^1(A) (L^1(A)) tel que pour x p.p. :
      \left|f(t,x)\right| \leq g(x), \qquad \forall t \in I

    F est continue sur I.

  2. Dérivabilité : Sous les hypothèses suivantes :
    1. Pour x p.p., t\mapsto f(t,x) est dérivable sur I.
    2. Il existe h \in \mathcal L^1(A) (L^1(A)) tel que pour x p.p. :
      \left|\frac{\partial f}{\partial t}(t,x)\right| \leq h(x), \qquad \forall t\in I

    F est dérivable sur I et on a :

    F'(t) = \int_A \frac{\partial f}{\partial t}(t,x)dx


Soit f \in \mathcal L^1(\mathbb{R}). Pour \xi \in \mathbb{R}, on pose :

\hat{f}(\xi) = \int_\mathbb{R} e^{ix\xi} f(x)dx, \qquad \hat{f} \in C(\mathbb{R})

\forall x \in \mathbb{R} tel que f(x) défini \to e^{ix\xi} f(x) est continue sur \mathbb{R}.

\left|e^{ix\xi} f(x)\right| \leq \left|f(x)\right|. Si x \to x f(x) dans L^1(\mathbb{R}).

DéfinitionDéfinition

Soit f une fonction continue sur un ouvert \Omega \subset \mathbb{R}^N. Le support de f noté \mathrm{supp}\,(f) est le complémentaire du plus grand ouvert sur lequel f est nulle. C'est donc l'adhérence dans \Omega de \{ x \in \Omega / f(x) \neq 0\}.

On désigne par C_0(\Omega) l'e.v. des fonctions continues sur \Omega à support compact, c'est à dire :

C_0(\Omega) = \left\{ f\in C(\Omega) ; \exists K \subset \Omega, K \textrm{\,compact\,tel\,que\,} f(x) = 0, \forall x \in \Omega \setminus K\right\}
De même C_0^k(\Omega), k \in \{1, +\infty]
DéfinitionThéorème

Soit \Omega \subset \mathbb{R}^N un ouvert. \forall k \in \{1,+\infty], C_0^k(\Omega) est dense dans L^1(\Omega) et L^2(\Omega).

(Soit f \in L^1(\Omega) et soit \xi > 0. \exists g \in C_0^k(\Omega) tel que \left\|f-g\right\|_1 \leq \varepsilon. De même pour L^1(\Omega))
DéfinitionThéorème

Soient \Omega_1 \subset \mathbb{R}^{N_1} et \Omega_2 \subset \mathbb{R}^{N_2} des ouverts et f : \Omega_1 \times \Omega_2 \to \overline \mathbb{R} une fonction (mesurable).

On suppose que pour presque tout x \in \Omega_1

\int_{\Omega_2}\left|f(x,y)\right| dy < +\infty, \qquad \textrm{\,et\,que\,} \int_{\Omega_1} \left( \int_{\Omega_2} \left|f(x,y)\right|dy\right)dx < +\infty
Alors f \in L^1(\Omega_1 \times \Omega_2).
DéfinitionThéorème

Soit f \in L^1(\Omega_1 \times \Omega_2). Alors, pour presque tout x \in \Omega_1, y \to f(x,y) est dans L^1(\Omega_2) et x \to \int_{\Omega_2} f(x,y)dy est dans L^1(\Omega_1).

De même, pour presque tout y \in \Omega_2, x \to f(x,y) est dans L^1(\Omega_1) et y \to \int_{\Omega_1} f(x,y)dx est dans L^1(\Omega_2).

De plus on a :

\int_{\Omega_1} \left( \int_{\Omega_2} f(x,y) dy \right) dx = \int_{\Omega_2} \left( \int_{\Omega_1} f(x,y) dx\right) dy = \int_{\Omega_1 \times \Omega_2} f(x,y) dx dy
DéfinitionThéorème

Soient U et \Omega deux ouverts de \mathbb{R}^N et \Phi : U \to \Omega un difféomorphisme (c'est à dire \Phi est bijective et \Phi, \Phi^{-1} C^1).

On note :

J_\Phi (x) = \det \left[ \frac{\partial \Phi_i}{\partial x_j} (x)\right] \textrm{\,si\,} \Phi = (\Phi_1, ... , \Phi_N)

Soit f une fonction définie presque partout sur \Omega.

  1. Si f est à valeurs dans \overline{\mathbb{R}_+} on a :
    \textrm{(1)} \qquad \int_\Omega f(y)dy = \int_U f(\Phi(x)) \left|J_\Phi(x)\right| dx
  2. Si f est à valeurs dans \overline \mathbb{R} ou \mathbb{C}, f \in L^1(\Omega) si et seulement si : x \mapsto f(\Phi(x)) \left|J_\Phi(x)\right| est dans L^1(U) et on a l'égalité (1).

Séries de Fourier

Soit a > 0. L_p^2(0,a) = \{ f définies p.p. sur \mathbb{R} tel que \forall R \in \mathbb{R}, f \in L^2(R,R+a) et \forall x \in \mathbb{R} tel que f(x) défini f(x+a) = f(x) \}.

On munit L_p^2(0,a) du produit scalaire :

<f,g> = \int_0^a f(x)\overline{g(x)} dx

On considère la famille (e_n)_{n \in \mathbb Z} définie par :

e_n(x) = \frac{1}{\sqrt{a}} e^{2i\pi n \frac{x}{a}}
DéfinitionThéorème

(e_n)_{n\in \mathbb Z} est une base hilbertienne de L_p^2(0,a). Donc pour tout f \in L_p^2(0,a) on a :

  1. f = \sum\limits_{n\in \mathbb{Z}}^{} c_n(f) e_n c'est à dire :
    \left\|f - \sum_{n = -N}^N c_n(f) e_n\right\|_2 \to 0

    c_n(f) = <f,e_n> = \frac{1}{\sqrt{a}} \int_0^a f(x) e^{-2i\pi}
  2. \left\|f\right\|_2^2  = \int_0^a \left|f(x)\right|^2 dx = \sum_{n \in \mathbb{Z}} \left|c_n(f)\right|^2

Soit I un intervalle de \mathbb{R} et soit f \in L^1(I).

Si \omega \in \mathbb{R}\setminus 0 :

A_n(\omega) = \int_I f(x)e^{in\omega x}dx, \quad n \in \mathbb{Z}

existe et A_n(\omega) \to 0 quand \left|n\right| \to +\infty

Soit f \in C^2[0,a], a-périodique. La série de terme général c_n(f)e_n converge uniformément vers f.

Polynômes orthogonaux

Soit I un intervalle de \mathbb{R} et soit \omega : I \to \mathbb{R}_+^\star une fonction continue tel que :

\forall n \in \mathbb{N}, \int_I \left|x\right|^n \omega dx < +\infty

On définit

L^2(I,\omega(x)dx) = \left\{ f : I \to \mathbb{C} / \int_I \left|f(x)\right|^2 \omega(x) dx < +\infty\right\}

et l'on munit l'ev L^2(I, \omega(x)dx) du produit scalaire :

<f,g> = \int_I f(x)\overline{g(x)} \omega(x) dx
DéfinitionThéorème On suppose que m(I) < +\infty. Soit (p_n)_{n \in \mathbb{N}} une suite de polynômes avec dº(p_n) = n, \forall n, orthonormée pour le produit scalaire défini ci-dessus. Alors (p_n)_{n \in \mathbb{N}} est une base hilbertienne de L^2(I,\omega(x)dx).


Polynômes de Legendre, on pose : p_0(x) = 1 et p_n(x) = \frac{1}{2^n n!}\frac{d^n}{dx^n}(x^2-1)^n pour n\geq 1.

\left(\sqrt{\frac{2n+1}{2}} p_n \right)_{n \in \mathbb{N}} est une base hilbertienne de L^2(-1,1). Polynôme d'Hermite

On prend \omega(x) = e^{-x^2} et I = \mathbb{R}. On peut construire une famille de polynômes (H_n)_{n\in \mathbb{N}} appelés polynômes d'Hermite (procédé d'ortho normalisation de Schmidt) et montrer que c'est une base hilbertienne de L^2(\mathbb{R},\omega(x)dx).

Base de Haar

DéfinitionDéfinition

On définit \Psi sur [0,1] par

\Psi(x) = \mathds 1_{[0,1]} (2x) - \mathds 1_{[0,1]}(2x-1),\quad x \in [0,1]

On pose :

\Psi_{j,k} = 2^{j/2} \Psi(2^j x - k), x\in [0,1]

et j,k \in \mathbb{Z}.

La famille (\Psi_{j,k}) est le système de Haar.
DéfinitionThéorème \left(\mathds 1_{[0,1]},\Psi_{j,k}\right)_{j,k\in \mathbb{Z}} est une base hilbertienne de L^2(0,1).