Hoogveld Karmijn : Conditions de frontière ouverte pour un modèle shallow water linéarisé 2-D

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Cornues.png
Titre du projet Conditions de frontière ouverte pour un modèle shallow water linéarisé 2-D
Cadre IRL

Labo LJK
Équipe AIRSEA
Encadrants Eric Blayo

Auteur: Karmijn Hoogveld, 2A - MMIS - Grenoble INP - Ensimag

Tuteur: Eric Blayo, LJK - équipe AIRSEA

Rapport du projet (anglais): Rapport

Introduction à la problématique des conditions de frontière ouverte

Les modèles de circulation océanique ont de nombreuses applications, notamment dans le cadre de simulations climatiques, que ce soit à échelle globale (terre entière) ou à échelle locale. Dès que l'on veut avoir un modèle régional, des frontières «artificielles» doivent être mise en place. Celles-ci doivent mimer les effets d'un fluide à extension infinie, c'est-à-dire être «aussi transparentes que possible». Se pose alors naturellement la question de savoir quelle condition aux limites imposer sur cette frontière dite «ouverte». A ce jour, aucune méthode satisfaisante n'a été trouvée en raison des difficultés liées à ce problème. L'une des nombreuses contraintes est qu'il est difficile de connaître les variables provenant de l'extérieur du domaine local, ayant généralement assez peu d'informations à ce sujet. Voici une illustration du problème:

DomaineLocal.png

L'objectif de ce projet est d'étudier le problème des conditions de frontière ouverte dans le cas simple du modèle shallow water linéarisé 2-D et d'apporter des illustrations numériques.

Les équations du modèle shallow water linéarisé 2-D sont:

EqShallowWater.png

avec u la vitesse selon l'axe x, v la vitesse selon l'axe y, (u0, v0) une valeur moyenne locale des composantes de vitesse, \eta l'élévation de la surface d'eau par rapport h0 la profondeur d'eau, f le paramètre de Coriolis et g l'accélération de la pesanteur

Introduction à la méthode des caractéristiques

La méthode des caractéristiques est une réinterprétation de conditions de frontière ouverte pour les équations hyperboliques [BD05]. On commence par mettre le système d'équations précédent sous forme matricielle:

MatShallowWater.png

Cette méthode repose sur les variables caractéristiques, c'est-à-dire les vecteurs propres de la matrice A1 nx + A2 ny (avec nx et ny les normales aux frontières). Après avoir réécrit les équations hyperboliques considérées en fonction des variables caractéristiques, on note qu'elles ont la forme d'équations de transport dans la direction normale à la frontière plus un terme supplémentaire. Le signe des coefficients de ces équations permet de déterminer quelles variables sont sortantes et entrantes dans le domaine d'étude. Les variables sortantes sont extrapolées à partir des données du domaine d'étude. Les variables entrantes sont intéressantes car elles apportent l'information de l'extérieur du domaine. En réécrivant les variables du problème en fonction des variables caractéristiques, on détermine leur expression sur le bord.

Illustration numérique

L'illustration numérique a été faite à partir des équations précédentes linéarisées autour de 0 en considérant le paramètre de Coriolis nul. On obtient:

ShallowWaterZero.png

Après avoir réalisé une simulation de référence sur un grand domaine d'étude, nous avons utilisé les données numériques de cette simulation pour les conditions aux limites de Dirichlet sur un petit domaine. Une première idée est d'imposer une condition aux limites de Dirichlet utilisant les solutions analytiques comme données. Une autre approche, toujours dans l'optique de rendre les frontières «aussi transparentes que possible», est d'utiliser la méthode des caractéristiques.

  • Simulation de référence sur le grand domaine:

LargeDomain.png

Ce grand domaine permet d'assurer que le petit domaine au centre soit impacté par les erreurs sur les bords qu'après un certain laps de temps, ici 400 pas de temps.

  • Simulation avec une condition aux limites de Dirichlet prenant la solution de référence comme données:

ErrorSmallDomain.png

Ce résultat permet de valider le schéma numérique utilisé pour la simulation, l'erreur avec la référence étant nulle.

  • Simulation avec une condition aux limites de Dirichlet prenant la solution analytique comme données:

ErrorSmallDomainAnalytical.png

L'erreur provoquée par la différence entre la solution numérique et analytique se propage dans le domaine. On note que des battements apparaissent lorsque l'erreur de frontière pollue le domaine d'étude.

  • Simulation avec une condition aux limites à l'aide de la méthode des caractéristiques:

ErrorSmallDomainCharacteristics.png

Une erreur d'au plus 5 cm pour une dimension caractéristique de l'élévation de la surface d'eau de 1 m était à noter dans le cas précédent. Une amélioration est donc apportée dans le cas où la méthode des caractéristiques est utilisée.

Conclusion

Même si le modèle shallow water utilisé est un modèle océanique très simple, il met tout de même en évidence les nombreuses difficultés rencontrées pour les modélisations régionales. L'utilisation des conditions aux limites de Dirichlet pourrait théoriquement être solution suffisante mais dans la pratique les valeurs aux limites sont de trop mauvaise qualité. La méthode caractéristique apporte une solution à ce problème. Même si c'est une grande amélioration pour le problème des conditions de frontière ouverte, il reste encore du travail à faire. Plusieurs méthodes allant plus loin ont été développées comme les conditions de frontière ouverte d'ordre supérieur de l'approche d'Engquist et Majda [EM77] (la méthode caractéristique est d'ordre 0) mais aussi les perfectly matched layers de Berenger [Ber94].

Bilan

L'expérience du projet d'Initiation à la Recherche en Laboratoire est très enrichissante pour différents aspects :

  • développement du travail individuel en autonomie;
  • acquisition de capacités de rédaction d'articles scientifiques;
  • approfondissement d'une problématique;
  • découverte de la vie d'un laboratoire de recherche.

C'est avec regret que le projet s'achève alors qu'il reste encore de nombreuses choses à investiguer et découvrir dans ce domaine. Je vous invite vivement à lire le rapport pour plus de détails.

Remerciements

Je remercie grandement Eric Blayo pour son accompagnement et ses explications tout au long de ce projet.

Références

[Som49] A. Sommerfeld. Partial Differential Equations in Physics. Academic Press inc., 1949.

[RB68] R.O. Reid and B.R. Bodine. “Numerical model for storm surges in Galveston Bay”. In: Journal of the Waterways and Harbors Division 94 (1968), pp. 33–57.

[Fla76] R.A. Flather. “A tidal model of the north-west European continental shelf”. In: Mémoires de la Société royale des sciences de Liège 6 (1976), pp. 141–164.

[Orl76] I. Orlanski. “A simple boundary condition for unbounded hyperbolic flows”. In: Journal of Computational Physics 21 (1976), pp. 251–269.

[EM77] B. Engquist and A. Majda. “Absorbing boundary conditions for the numerical simulation of waves”. In: Mathematics of Computation 31 (1977), pp. 629–651.

[Mes77] F. Mesinger. “Forward-backward scheme, and its use in a limited area model”. In: Beitrage zur Physik der Atmosphere 50 (1977), pp. 200–210.

[Ber94] J.-P. Berenger. “A perfectly matched layer for the absorption of electromagnetic waves”. In: Journal of Computational Physics 114 (1994), pp. 185–200.

[BD05] E. Blayo and L. Debreu. “Revisiting open boundary conditions from the point of view of characteristic variables”. In: Ocean Modelling 9 (2005), pp. 231–252.