Henches Léo: Analyse temps-fréquence : comparaison ondelettes et transformée de Fourier à court terme

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Titre du projet Analyse temps-fréquence de signaux multicomposantes
Cadre IRL

Labo Laboratoire Jean Kuntzmann (LJK)
Équipe CVGI
Encadrants Sylvain Meignen

Rapport : PDF

Introduction

La transformée en ondelettes et la transformée de Fourier à court terme permettent de représenter et comprendre facilement des signaux complexes. Grâce à ces deux outils, l'analyse des signaux à beaucoup progressé dans les dernières années dans de nombreux domaines (musique, parole, écholocation..).

Problèmes de la transformée de Fourier classique

La transformée de Fourier classique d'un signal permet d'obtenir les différentes composantes fréquentielles de ce dernier, mais possède cependant une limite très contraignante : On n'a aucune information sur la présence de cette composante à un certain temps.

Les deux outils que nous allons étudier vont nous permettre d'approximer à chaque instant les fréquences contenues dans le signal étudié.

La transformée de Fourier à court terme (STFT)

La transformée de Fourier peut-être vue comme une transformée de Fourier sur une portion de signal, qui donne les fréquences du signal localement. Le choix de la portion est donné par la fenêtre g \in L^2(\mathbb{R}). Soit f \in L^2(\mathbb{R}) La transformée de Fourier à court terme de f avec la fenêtre g est :

Leo henches eq stft.gif

La transformée en ondelettes continues (TOC)

Leo henches predef ondl.png

La transformée en ondelettes de f est définie par

Leo henches def ondl.png

Étude 1 : les chirps linéaires

Un chirp linéaire est un signal dont la fréquence change avec le temps de manière affine.

Leo henches def chirp.png

On s'intéresse ici à un couple de chirps linéaires parallèles.

Chirp est le verbe pour le chant des oiseaux en anglais, car les bruits qu'ils émettent peuvent être fidèlement représentés par ce type de signaux. Cette analyse peut servir à reconnaitre différents oiseaux lors d'un enregistrement.

On réalise la STFT et la TOC de ce signal :

Leo henches stft chirp.pngLeo henches toc chirp.png

On voit que la STFT permet de distinguer les deux composantes du signal.

La TOC cependant fait apparaître des iterférences en fréquence dans les hautes fréquences : elle n'est pas adaptée à ce type de signaux.

Étude 2 : les chirps hyperboliques

De manière similaire au chirps linéaires, on trace la STFT et la TOC de deux chirps hyperboliques.

Leo henches def hyper.png

On trace les deux transformées de ce signal :

Leo henches stft hyp.pngLeo henches wav hyp.png

On voit que la transformée de Fourier à court terme présente des interférences à deux endroits : à la fois des iterférences en fréquences pour les temps faibles et en temps pour les temps élevés.

Ce signal est cependant très adapté à la TOC : On observe que les deux modes sont biens séparés. Cela est du au changement de résolution propre à la transformée en ondelettes : Elle permet une meilleure représentation de ces signaux.

Reconstruction, débruitage

La détection des modes qui composent un signal multi-composantes permet de les isoler et de séparer les différentes parties d'un signal. Une bonne représentation dans le plan temps-fréquence est essentielle pour reconstruire les différentes composantes.

On s'intéresse ici à la reconstruction d'un signal somme de deux chirps linéaires, perturbé par un bruit gaussien.

Leo henches det chirp.png

On voit que la détection des composantes est bien effectuée, on peut alors les reconstruire séparément.

Leo henches rec chirp.png

Conclusion

Je souhaite remercier Sylvain Meignen pour m'avoir accueilli au laboratoire, ainsi que pour m'avoir guidé et expliqué les points difficiles durant toute la durée du stage.