Espaces de Hilbert : Différence entre versions
(Nouvelle page : {{Infobox Cours|titre=Espaces de Hilbert|matière=Analyse 1|promo=1A|chapitre=3|date=2006|prof=R. Dalmasso|auteur=L. Petit|pdf=[http://lepostit.free.fr/pdf/polys_/AA1_3_Hilbert.pdf L...) |
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{{Proposition| | {{Proposition| | ||
Soit <math>H</math> un ev sur <math>\mathbb K</math> muni d'un produit scalaire. On note <math>\left\|x\right\| = <x,x>^{1/2}</math>, <math>x\in H</math> : | Soit <math>H</math> un ev sur <math>\mathbb K</math> muni d'un produit scalaire. On note <math>\left\|x\right\| = <x,x>^{1/2}</math>, <math>x\in H</math> : | ||
− | <ol><li> <math>\left|<x,y>\right| \leq \left\|x\right\| \left\|y\right\| | + | <ol><li> <math>\left|<x,y>\right| \leq \left\|x\right\| \left\|y\right\|, \,\forall x,y \in H</math> |
(Inégalité de Cauchy-Schwarz) | (Inégalité de Cauchy-Schwarz) | ||
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<math>\forall t \in \mathbb{C}</math>, on a : | <math>\forall t \in \mathbb{C}</math>, on a : | ||
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</li><li> Soit <math>\Omega \subset \mathbb{R}^N</math> un ouvert borné. <math>H = C(\Omega, \mathbb{C})</math>. <math><u,v> = \int_\Omega u(t)\bar v(t) dt</math> est un espace préhilbertien (sur <math>\mathbb{C}</math>). Ce n'est pas un Hilbert. | </li><li> Soit <math>\Omega \subset \mathbb{R}^N</math> un ouvert borné. <math>H = C(\Omega, \mathbb{C})</math>. <math><u,v> = \int_\Omega u(t)\bar v(t) dt</math> est un espace préhilbertien (sur <math>\mathbb{C}</math>). Ce n'est pas un Hilbert. | ||
</li><li> <math>\Omega \subset \mathbb{R}^N</math> ouvert borné. <math>H = L^2(\Omega, \mathbb{C})</math>. <math><u,v> = \int_\Omega u(t) \bar v(t) dt</math> est un Hilbert (c'est le complété de <math>H</math> donné en 3). | </li><li> <math>\Omega \subset \mathbb{R}^N</math> ouvert borné. <math>H = L^2(\Omega, \mathbb{C})</math>. <math><u,v> = \int_\Omega u(t) \bar v(t) dt</math> est un Hilbert (c'est le complété de <math>H</math> donné en 3). | ||
− | </li><li> <math>l_\mathbb{C}^2 (\mathbb{N}) = \left\{ x = (x_n)_{n\in \mathbb{N}} / x_n \in \mathbb{C}, \forall n \textrm{ et } \sum\limits_{n \geq 0}^{} \left|x_n\right|^2 < +\infty\right\}</math> | + | </li><li> <math>l_\mathbb{C}^2 (\mathbb{N}) = \left\{ x = (x_n)_{n\in \mathbb{N}} / x_n \in \mathbb{C}, \forall n \textrm{\,et\,} \sum\limits_{n \geq 0}^{} \left|x_n\right|^2 < +\infty\right\}</math> |
<math><x,y> = \sum\limits_{n\geq 0}^{} x_n \bar y_n</math>, <math>x=(x_n)</math>, <math>y=(y_n)</math>, est un Hilbert (sur <math>\mathbb{C}</math>). | <math><x,y> = \sum\limits_{n\geq 0}^{} x_n \bar y_n</math>, <math>x=(x_n)</math>, <math>y=(y_n)</math>, est un Hilbert (sur <math>\mathbb{C}</math>). | ||
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Comme <math>C</math> est fermé, <math>a\in C</math>. La norme est continue, d'où : | Comme <math>C</math> est fermé, <math>a\in C</math>. La norme est continue, d'où : | ||
<center><math>\left\|x-y_n\right\| \to \left\|x-a\right\| = \alpha</math></center> | <center><math>\left\|x-y_n\right\| \to \left\|x-a\right\| = \alpha</math></center> | ||
− | : Si <math>a,b \in C</math> et <math>\left\|x-a\right\| = \left\|x-b\right\| = \alpha</math>. | + | <u>Unicité</u> : Si <math>a,b \in C</math> et <math>\left\|x-a\right\| = \left\|x-b\right\| = \alpha</math>. |
Posons <math>z_{2p} = a</math> et <math>y_{2p+1} = b</math>. La suite <math>(y_n)_{n\in \mathbb{N}}</math> est tel que <math>y_n \in C</math>, <math>\forall n</math> et <math>\left\|x-y_n\right\| \to \alpha</math>. Or on a vu dans l'existence qu'une telle suite <math>(y_n)_{n\in \mathbb{N}}</math> converge. | Posons <math>z_{2p} = a</math> et <math>y_{2p+1} = b</math>. La suite <math>(y_n)_{n\in \mathbb{N}}</math> est tel que <math>y_n \in C</math>, <math>\forall n</math> et <math>\left\|x-y_n\right\| \to \alpha</math>. Or on a vu dans l'existence qu'une telle suite <math>(y_n)_{n\in \mathbb{N}}</math> converge. | ||
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On fait tendre <math>t</math> vers <math>0</math> et on obtient : <math>\mathfrak{Re}<x-a,y-a> \leq 0</math> | On fait tendre <math>t</math> vers <math>0</math> et on obtient : <math>\mathfrak{Re}<x-a,y-a> \leq 0</math> | ||
</li><li> Soit <math>y \in C</math> : | </li><li> Soit <math>y \in C</math> : | ||
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}} | }} | ||
{{Démonstration|Notons <math>a_j = P_C x_j</math>, <math>x_j \in H</math>, <math>j=1,2</math>. | {{Démonstration|Notons <math>a_j = P_C x_j</math>, <math>x_j \in H</math>, <math>j=1,2</math>. | ||
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{{{!}} style{{=}}"border: 0px solid;" align{{=}}"center" | {{{!}} style{{=}}"border: 0px solid;" align{{=}}"center" | ||
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{{!}} style{{=}}"text-align:right;"{{!}} | {{!}} style{{=}}"text-align:right;"{{!}} | ||
{{!}} style{{=}}"text-align:center;"{{!}}<math>=</math> | {{!}} style{{=}}"text-align:center;"{{!}}<math>=</math> | ||
− | {{!}} style{{=}}"text-align:left;"{{!}}<math>\underbrace{\mathfrak{Re}<a_1-x_1,a_1-a_2>}_{\leq 0 \textrm{(Th 2)}} + \mathfrak{Re} <x_1-x_2,a_1-a_2> + \underbrace{\mathfrak{Re}<x_2-a_2, a_1-a_2>}_{\leq 0}</math> | + | {{!}} style{{=}}"text-align:left;"{{!}}<math>\underbrace{\mathfrak{Re}<a_1-x_1,a_1-a_2>}_{\leq 0 \textrm{(Th\,2)}} + \mathfrak{Re} <x_1-x_2,a_1-a_2> + \underbrace{\mathfrak{Re}<x_2-a_2, a_1-a_2>}_{\leq 0}</math> |
{{!}}- | {{!}}- | ||
{{!}} style{{=}}"text-align:right;"{{!}} | {{!}} style{{=}}"text-align:right;"{{!}} | ||
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</li><li> Réciproquement, si <math>\lambda = (\lambda_n)_{n\in \mathbb{N}} \in l_K^2 (\mathbb{N})</math>, alors la série <math>\sum\limits_{n\geq 0}^{} \lambda_n e_n</math> converge vers un élément <math>x \in H</math> et on a : | </li><li> Réciproquement, si <math>\lambda = (\lambda_n)_{n\in \mathbb{N}} \in l_K^2 (\mathbb{N})</math>, alors la série <math>\sum\limits_{n\geq 0}^{} \lambda_n e_n</math> converge vers un élément <math>x \in H</math> et on a : | ||
− | <center><math>\lambda_n = <x,e_n>, \forall n \in \mathbb{N} \textrm{ et } \left\|x\right\|^2 = \sum_{n\geq 0} \left|\lambda_n\right|^2</math></center> | + | <center><math>\lambda_n = <x,e_n>, \forall n \in \mathbb{N} \textrm{\,et\,} \left\|x\right\|^2 = \sum_{n\geq 0} \left|\lambda_n\right|^2</math></center> |
</li></ol> | </li></ol> | ||
}} | }} | ||
{{Démonstration|Soit <math>x \in H</math>. Posons : | {{Démonstration|Soit <math>x \in H</math>. Posons : | ||
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{{!}} style{{=}}"text-align:left;"{{!}}<math>\sum_{n=0}^N \left|<x,e_n>\right|^2</math> | {{!}} style{{=}}"text-align:left;"{{!}}<math>\sum_{n=0}^N \left|<x,e_n>\right|^2</math> | ||
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− | {{!}} style{{=}}"text-align:right;"{{!}}<math>\textrm{D'ou }\left\|S_N(x)\right\|^2</math> | + | {{!}} style{{=}}"text-align:right;"{{!}}<math>\textrm{D'ou\,} \left\|S_N(x)\right\|^2</math> |
{{!}} style{{=}}"text-align:center;"{{!}}<math>=</math> | {{!}} style{{=}}"text-align:center;"{{!}}<math>=</math> | ||
{{!}} style{{=}}"text-align:left;"{{!}}<math><x,S_N(x)> \leq \left\|x\right\| \left\|S_N(x)\right\|</math> | {{!}} style{{=}}"text-align:left;"{{!}}<math><x,S_N(x)> \leq \left\|x\right\| \left\|S_N(x)\right\|</math> | ||
{{!}}- | {{!}}- | ||
− | {{!}} style{{=}}"text-align:right;"{{!}}<math>\textrm{et donc }\left\|S_N(x)\right\|</math> | + | {{!}} style{{=}}"text-align:right;"{{!}}<math>\textrm{et\,donc\,} \left\|S_N(x)\right\|</math> |
{{!}} style{{=}}"text-align:center;"{{!}}<math>\leq</math> | {{!}} style{{=}}"text-align:center;"{{!}}<math>\leq</math> | ||
{{!}} style{{=}}"text-align:left;"{{!}}<math>\left\|x\right\| \quad (5)</math> | {{!}} style{{=}}"text-align:left;"{{!}}<math>\left\|x\right\| \quad (5)</math> | ||
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Soit <math>x\in l_\mathbb{C}^2(\mathbb{N})</math>, <math>x = \sum <x,e_n>e_n</math> ? | Soit <math>x\in l_\mathbb{C}^2(\mathbb{N})</math>, <math>x = \sum <x,e_n>e_n</math> ? | ||
<center><math>x=(x_n)_{n\in\mathbb{N}}, \qquad \left\|x-\sum_{n=0}^N <x,e_n> e_n\right\|^2 = \sum_{n \geq N+1} \left|x_n\right|^2 \to 0</math></center> | <center><math>x=(x_n)_{n\in\mathbb{N}}, \qquad \left\|x-\sum_{n=0}^N <x,e_n> e_n\right\|^2 = \sum_{n \geq N+1} \left|x_n\right|^2 \to 0</math></center> | ||
+ | |||
Version du 19 août 2008 à 13:12
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Matière | Analyse 1 | ||
Chapitre | 3 | ||
Promo | 1A | ||
Date | 2006 | ||
Professeur | R. Dalmasso | ||
Auteur | L. Petit | ||
Le Post'IT |
Soit un ev sur
ou
.

Soit un ev sur
muni d'un produit scalaire. On note
,
:
-
(Inégalité de Cauchy-Schwarz)
-
,
(Inégalité du parallélogramme)
- L'application
est une norme sur
.
- Si
, c'est clair. Supposons
,
, on a :
,
avec
. Posons
avec
.
,
d'où
.
-
-
,


-
,
.
,
,
est un espace de Hilbert.
-
,
,
,
,
est un espace de Hilbert sur
.
- Soit
un ouvert borné.
.
est un espace préhilbertien (sur
). Ce n'est pas un Hilbert.
-
ouvert borné.
.
est un Hilbert (c'est le complété de
donné en 3).
-
,
,
, est un Hilbert (sur
).

Soit un espace préhilbertien.
-
soit orthogonaux si
- Soit
,
. On appelle orthogonal de
dans
l'ensemble noté
.

Soit un espace préhilbertien.
- Soit
,
.
est un sev fermé de
.
- Soient
avec
et
alors
- Soit
,
. Alors
.
- On suppose de plus que
est complet. Soit
un sev de
. Alors :
Pour la démo, voir TD.

Soit un espace de Hilbert et soit
une partie convexe, fermée non vide. Pour tout
, il existe
unique tel que :

Posons .
Soit ,
telle que
,
et
.
Montrer que est de Cauchy.
on a :

Comme est convexe
. Donc :

D'où . Comme
est complet, il existe
tel que
.
Comme est fermé,
. La norme est continue, d'où :

Unicité : Si et
.
Posons et
. La suite
est tel que
,
et
. Or on a vu dans l'existence qu'une telle suite
converge.
L'unicité de la limite entraîne .


d'où .

Soit un espace de Hilbert et soit
une partie convexe, fermée et non vide. Soit
. On a l'équivalence :
-
est la projection de
sur
.
-
et
,
.
- Soit
et soit
.
, car
est convexe.
Donc :
d'où :
On fait tendre
vers
et on obtient :
- Soit
:

Soient un espace de Hilbert et
une partie convexe, fermée et non vide. Notons
la projection de
sur
. On a :

Notons ,
,
.
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![]() | |
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![]() |
D'où
Soit un espace de Hilbert et soit
un sev fermé de
(Donc
est convexe).
-
est caractérisé par :
-
est linéaire et continue. De plus, si
,
-
.
- D'après le théorème 2 :
est caractérisé par :
Montrer que
:
On a :
.
,
et donc
d'où le résultat.
Et :
,
,
et donc :
.
C'est à dire :
,
.
Comme
est un sev,
.
, d'où :
Sur
. Si
,
, d'où :
- Soient
et
,
, on a :
d'où le résultat.
Si
.
,
tel que
on a :
d'où
.
-
.
, on a :

Représentation de Riesz
Soit un espace de Hilbert sur
. Pour tout
, il existe
unique tel que :


Remarque :
Idem si est un Hilbert sur
.
,
tel que
et
Posons .
est sev fermé.
Si , alors
et on prend
.
Si , alors il existe
,
. Pour tout
on a :
Donc :

Donc .
D'où .
est unique. Soit
tel que
,
.
,
, d'où
.

Donc .
Si ,
, d'où

Soit un espace de Hilbert tel que
. On appelle base hilbertienne (de
) une suite
d'éléments de
vérifiant :
-
,
et
,
- L'espace vectoriel
engendré par les
est dense dans
.
Remarque :
est l'ev des combinaisons linéaires finis des
...

Soit un espace de Hilbert de dimension infinie et soit
une base hilbertienne de
.
- Pour tout
, on a :
-
, (c'est à dire
)
-
(Égalité de Bessel - Parseval)
-
- Réciproquement, si
, alors la série
converge vers un élément
et on a :
Soit . Posons :
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Soit . Pour tout
il existe
tel que :

Soit tel que
et

Soit . Alors
.
D'où :
Donc , d'où 1a).
2) Posons . Soit
.

est de Cauchy et comme
est complet
tel
.
Soit et
,
.


Dans , posons
.
,
.
Soit ,
?
