Espaces de Hilbert : Différence entre versions

Version actuelle en date du 15 novembre 2011 à 12:58

Espaces de Hilbert

Matière

Analyse 1

Chapitre

3

Promo

1A

Date

2006

Professeur

R. Dalmasso

Auteur

L. Petit

PDF

Le Post'IT

Soit $H$ un ev sur $K = \mathbb{R}$ ou $\mathbb{C}$ .

Définition

Un produit scalaire sur $H$ est une application de $H \times H$ dans $\mathbb K$ (notée $(x,y) \to <x,y>$ ) vérifiant :

$<x+\lambda y,z> = <x,y> + \lambda <y,z>$ , $\forall x,y,z \in H$ , $\forall \lambda \in K$ .
$<x,y> = \overline{<y,x>}$ , $\forall x,y \in H$
$<x,x> \geq 0$ , $\forall x \in H$
$<x,x> = 0 \Rightarrow x = 0$

Proposition

Soit $H$ un ev sur $\mathbb K$ muni d'un produit scalaire. On note $\left\|x\right\| = <x,x>^{1/2}$ , $x\in H$ :

$\left|<x,y>\right| \leq \left\|x\right\| \left\|y\right\|, \forall x,y \in H$ (Inégalité de Cauchy-Schwarz)
$\left\|x+y\right\|^2 + \left\|x-y\right\|^2 = 2\left(\left\|x\right\|^2 + \left\|y\right\|^2\right)$ , $\forall x,y \in H$
(Inégalité du parallélogramme)
L'application $x \to \left\|x\right\|$ est une norme sur $H$ .

Démonstration

Si $<x,y> = 0$ , c'est clair. Supposons $<x,y> \neq 0$ , $\forall t \in \mathbb{C}$ , on a :

$0 \leq \left\|x+ty\right\|^2$ $=$ $<x+ty,x+ty> = \left\|x\right\|^2 + t<y,x> + \bar t<x,y> + \left|t\right|^2 \left\|y\right\|^2$

$=$ $\left\|x\right\|^2 + 2 \mathfrak{Re} (t <y,x>) + \left|t\right|^2 \left\|y\right\|^2$

$<y,x> = re^{i\theta}$ , $\theta \in [0,2\pi[$ avec $r > 0$ . Posons $t = se^{-i\theta}$ avec $s \in \mathbb{R}$ .
$\forall s \in \mathbb{R}$ , $\left\|x\right\|^2 + 2rs + s^2 \left\|y\right\|^2 \geq 0$ d'où $r^2 - \left\|x\right\|^2\left\|y\right\|^2 \leq 0$ .
$\left\|x+y\right\|^2 = \left\|x\right\|^2 + \left\|y\right\|^2 + 2\mathfrak{Re}<x,y>$
$\left\|x-y\right\|^2 = \left\|x\right\|^2 + \left\|y\right\|^2 - 2 \mathfrak{Re}<x,y>$
$\left\|x\right\| = 0 \Rightarrow x = 0$
$\left\|x\right\| \geq 0$
$\left\|\lambda x\right\| = (\lambda x, \lambda x)^{1/2} = \left(\left|\lambda\right|^2 <x,y> \right)^{1/2} = \left|\lambda\right| <x,x>^{1/2} = \left|\lambda\right| \left\|x\right\|$
Enfin d'après l'inégalité de Cauchy-Schwarz : $\left\|x+y\right\|^2 = \left\|x\right\|^2 + 2 \mathfrak{Re} (t <y,x>) + \left\|y\right\|^2 \leq \left\|x\right\|^2 + 2 \left\|x\right\|\left\|y\right\| + \left\|y\right\|^2 = (\left\|x\right\|+\left\|y\right\|)^2$

Définition Un espace préhilbertien est un ev

H

muni d'un produit scalaire. Un espace de Hilbert est un espace préhilbertien complet pour la norme associée au produit scalaire.

$H = \mathbb{R}^N$ , $K=\mathbb{R}$ . $<x,y> = \sum\limits_{j=1}^N x_j y_j$ , $x = (x_1,...,x_N)$ , $y=(y_1,...,y_N)$ est un espace de Hilbert.
$H = \mathbb{C}^N$ , $K=\mathbb{C}$ , $<z,w> = \sum\limits_{j=1}^N z_j \bar w_j$ , $z = (z_1,...,z_N)$ , $w = (w_1,...,w_N)$ est un espace de Hilbert sur $\mathbb{C}$ .
Soit $\Omega \subset \mathbb{R}^N$ un ouvert borné. $H = C(\Omega, \mathbb{C})$ . $<u,v> = \int_\Omega u(t)\bar v(t) dt$ est un espace préhilbertien (sur $\mathbb{C}$ ). Ce n'est pas un Hilbert.
$\Omega \subset \mathbb{R}^N$ ouvert borné. $H = L^2(\Omega, \mathbb{C})$ . $<u,v> = \int_\Omega u(t) \bar v(t) dt$ est un Hilbert (c'est le complété de $H$ donné en 3).
$l_\mathbb{C}^2 (\mathbb{N}) = \left\{ x = (x_n)_{n\in \mathbb{N}} / x_n \in \mathbb{C}, \forall n \textrm{\,et\,} \sum\limits_{n \geq 0}^{} \left|x_n\right|^2 < +\infty\right\}$
$<x,y> = \sum\limits_{n\geq 0}^{} x_n \bar y_n$ , $x=(x_n)$ , $y=(y_n)$ , est un Hilbert (sur $\mathbb{C}$ ).

Définition

Soit $H$ un espace préhilbertien.

$x,y \in H$ soit orthogonaux si $<x,y> = 0$
Soit $A \subset H$ , $A \neq \emptyset$ . On appelle orthogonal de $A$ dans $H$ l'ensemble noté $A^{\perp} = \left\{ x \in H / <x,y> = 0, \forall y \in A \right\}$ .

Proposition

Soit $H$ un espace préhilbertien.

Soit $A \subset H$ , $A \neq \emptyset$ . $A^{\perp}$ est un sev fermé de $H$ .
Soient $A,B \subset H$ avec $A \neq \emptyset$ et $A \subset B$ alors $B^{\perp} \subset A^{\perp}$
Soit $A \subset H$ , $A \neq \emptyset$ . Alors $A\subset \left( A^{\perp} \right)^{\perp}$ .
On suppose de plus que $H$ est complet. Soit $A$ un sev de $H$ . Alors :
$\bar A = \left(A^{\perp}\right)^{\perp}$

Pour la démo, voir TD.

Théorème

Soit $H$ un espace de Hilbert et soit $C \subset H$ une partie convexe, fermée non vide. Pour tout $x \in H$ , il existe $a \in \mathbb{C}$ unique tel que :

\left\|x-a\right\|= \inf\limits_{y\in \mathbb{C}}^{} \left\|x-y\right\|

Démonstration

Posons $\alpha = \inf\limits_{y\in \mathbb{C}}^{} \left\|x-y\right\|$ .

Soit $y_n$ , $n\in \mathbb{N}$ telle que $y_n \in C$ , $\forall n$ et $\left\|x-y_n\right\| \underset{n\to +\infty}{\longrightarrow} \alpha$ .

Montrer que $(y_n)_{n\in \mathbb{N}}$ est de Cauchy. $\forall n,m \in \mathbb{N}$ on a :

2\left(\left\|x-y_n\right\|^2 + \left\|x-y_m\right\|^2\right) = \left\|y_n - y_m\right\|^2 + \left\|2x - y_n - y_m\right\|^2 = \left\|y_n - y_m\right\|^2 +4 \left\|x-\frac{y_n+y_m}{2}\right\|^2

Comme $C$ est convexe $\frac{y_n+y_m}{2} \in C$ . Donc :

2\left(\left\|x-y_n\right\|^2 + \left\|x-y_m\right\|^2\right) \geq \left\|y_n - y_m\right\|^2 + 4 \alpha^2

D'où $\left\|y_n-y_m\right\| \underset{n,m\to +\infty}{\longrightarrow} 0$ . Comme $H$ est complet, il existe $a \in H$ tel que $y_n \to a$ .

Comme $C$ est fermé, $a\in C$ . La norme est continue, d'où :

\left\|x-y_n\right\| \to \left\|x-a\right\| = \alpha

Unicité : Si $a,b \in C$ et $\left\|x-a\right\| = \left\|x-b\right\| = \alpha$ .

Posons $z_{2p} = a$ et $y_{2p+1} = b$ . La suite $(y_n)_{n\in \mathbb{N}}$ est tel que $y_n \in C$ , $\forall n$ et $\left\|x-y_n\right\| \to \alpha$ . Or on a vu dans l'existence qu'une telle suite $(y_n)_{n\in \mathbb{N}}$ converge.

L'unicité de la limite entraîne $a = b$ .

2\left( \left\|x-a\right\|^2 + \left\|x-b\right\|^2 \right) = \left\|a-b\right\|^2 + 4\left\|x-\frac{a+b}{2}\right\|^2

\left\|a-b\right\|^2 = 4 \left(\alpha^2 - \left\|x-\frac{a+b}{2}\right\|^2\right) \leq 0

d'où $a=b$ .

Théorème

Soit $H$ un espace de Hilbert et soit $C \subset H$ une partie convexe, fermée et non vide. Soit $x \in H$ . On a l'équivalence :

$a\in C$ est la projection de $x$ sur $C$ .
$a \in C$ et $\mathfrak{Re} <x-a,y-a> \leq 0$ , $\forall y \in C$ .

Démonstration

Soit $y \in C$ et soit $t \in ]0,1]$ . $(1-t)a + ty \in C$ , car $C$ est convexe. $\left\|x-a\right\|^2 \leq \left\|x-\left((1-t)a + ty\right)\right\|^2 = \left\|x-a-t(y-a)\right\|^2 = \left\|x-a\right\|^2 + t^2 \left\|y-a\right\|^2 - 2t \mathfrak{Re} <x-a,y-a>$
Donc :
$2t \mathfrak{Re} <x-a,y-a> \leq t^2 \left\|y-a\right\|^2,\quad \forall t \in ]0,1]$
d'où :
$2\mathfrak{Re} <x-a,y-a> \leq t \left\|y-a\right\|^2, \quad \forall t \in ]0,1]$
On fait tendre $t$ vers $0$ et on obtient : $\mathfrak{Re}<x-a,y-a> \leq 0$
Soit $y \in C$ :

$\left\|x-y\right\|^2$ $=$ $\left\|x-a + a - y\right\|^2$

$=$ $\left\|x-a\right\|^2 + \left\|y-a\right\|^2 - 2 \mathfrak{Re} <x-a,y-a>$

$\geq$ $\left\|x-a\right\|^2$

Proposition

Soient $H$ un espace de Hilbert et $C \subset H$ une partie convexe, fermée et non vide. Notons $P_C x$ la projection de $x \in H$ sur $C$ . On a :

\forall x_1, x_2 \in H, \qquad \left\|P_C x_1 - P_C x_2\right\| \leq \left\|x_1 - x_2\right\|

Démonstration

Notons $a_j = P_C x_j$ , $x_j \in H$ , $j=1,2$ .

$\left\\|a_1 - a_2\right\\|^2$	$=$	$<a_1 - a_2, a_1 - a_2>$
	$=$	$\mathfrak{Re}<a_1 - a_2, a_1 - a_2>$
	$=$	$\mathfrak{Re}<a_1 - x_1 + x_1 - x_2 + x_2 - a_2, a_1 - a_2>$
	$=$	$\mathfrak{Re}\left(<a_1 - x_1, a_1 - a_2> + <x_1 - x_2, a_1 - a_2>+<x_2 - a_2, a_1-a_2>\right)$
	$=$	$\underbrace{\mathfrak{Re}<a_1-x_1,a_1-a_2>}_{\leq 0 \textrm{(Th\,2)}} + \mathfrak{Re} <x_1-x_2,a_1-a_2> + \underbrace{\mathfrak{Re}<x_2-a_2, a_1-a_2>}_{\leq 0}$
	$\leq$	$\mathfrak{Re} <x_1 - x_2 , a_1 - a_2> \leq \left\\|x_1 - x_2\right\\| \left\\|a_1 - a_2\right\\|$

D'où $\left\|a_1 - a_2\right\| \leq \left\|x_1-x_2\right\|$

Soit $H$ un espace de Hilbert et soit $F$ un sev fermé de $H$ (Donc $F$ est convexe).

$a = P_F x$ est caractérisé par : $\left\{ \begin{array}{l} a \in F \\ <x-a,y>=0, \forall y \in F \end{array}\right.$
$P_F$ est linéaire et continue. De plus, si $F \neq \{0\}$ , $\left\|P_F\right\|=1$
$H = F \oplus F^{\perp}$ .

Démonstration

D'après le théorème 2 : $a = P_F x$ est caractérisé par : $(\star) \left\{ \begin{array}{l} a \in F \\ \mathfrak{Re} <x-a,y-a> \leq 0, \forall y \in F \end{array}\right.$
Montrer que $(\star) \Leftrightarrow (\star \star)$ :
$(\star \star) \left\{ \begin{array}{l} a \in F \\ <x-a,y> = 0, \forall y \in F\end{array} \right.$
On a : $(\star \star) \Rightarrow (\star)$ . $\forall y \in F$ , $y-a \in F$ et donc $<x-a ,y-a> = 0$ d'où le résultat.
Et : $(\star) \Rightarrow (\star \star)$ , $\forall y \in F$ , $y+a \in F$ et donc : $\mathfrak{Re}<x-a, y+a-a> \leq 0$ .
C'est à dire : $\mathfrak{Re} <x-a,y> \leq 0$ , $\forall y \in F$ .
Comme $F$ est un sev, $\forall y \in F$ . $\_y\in F$ , d'où :
$\mathfrak{Re}<x-a,y> = 0, \qquad \forall y \in F$
Sur $\mathbb{C}$ . Si $y \in F$ , $iy \in F$ , d'où :
$\mathfrak{Im}<x-a,y> = 0, \qquad \forall y \in F$
Soient $x,x' \in H$ et $\lambda \in \mathbb{C}$ , $P_F (x+\lambda x') \underset{?}{=} P_F(x) + \lambda P_F(x')$
$\forall y \in F$ , on a :
$<x+\lambda x' - P_F(x) - \lambda P_F(x'),y> = \underbrace{<x-P_F x , y>}_{=0} + \lambda \underbrace{<x'- P_F x', y>}_{=0}$
d'où le résultat.
Si $F \neq \{ 0 \}$ . $\left\|P_F x\right\| \leq \left\|x\right\|$ , $\forall x \in H \Rightarrow \left\|P_F\right\| \leq 1$
$\forall x \in F$ tel que $\left\|x\right\|=1$ on a : $\left\|P_F x\right\| = \left\|x\right\| = 1$ d'où $\left\|P_F\right\| = 1$ .
$F\cap F^{\perp} = \{ 0 \}$ .
$\forall x \in H$ , on a : $x = \underbrace{P_F x}_F + \underbrace{x-P_F x}_{F^{\perp}}$

Théorème

Représentation de Riesz

Soit $H$ un espace de Hilbert sur $\mathbb{C}$ . Pour tout $L \in \mathcal L(H,\mathbb{C}) = H'$ , il existe $a \in H$ unique tel que :

\forall x \in H, \quad L(x) = <x,a>

De plus

\left\|L\right\| = \left\|a\right\|

.

Remarque : Idem si $H$ est un Hilbert sur $\mathbb{R}$ . $\forall L \in \mathcal L(H,\mathbb{R})$ , $\exists ! a \in H$ tel que $L(x) = <x,a>, \forall x \in H$ et $\left\|L\right\| = \left\|a\right\|$

Théorème

Soit $H$ un hilbert. $L \in H'$ .

\exists ! a \in H

tel que

L(x) = <x,a>

,

\forall x \in H

et

\left\|L\right\| = \left\|a\right\|

.

Démonstration

Posons $F = L^{-1}(0)$ . $F$ est sev fermé.

Si $F=H$ , alors $L = 0$ et on prend $a = 0$ .

Si $F \neq H$ , alors il existe $z \in F^{\perp}$ , $z \neq 0$ . Pour tout $x\in H$ on a : $x - \frac{L(x)}{L(z)} \in F$

Donc :

0 = < x - \frac{L(x)}{L(z)}z,z> = <x,z> - \frac{L(x)}{L(z)} \left\|z\right\|^2

Donc $L(x) = \frac{L(z)}{\left\|z\right\|^2} <x,z> = <x, \overline{\frac{L(z)}{\left\|z\right\|^2}} z>$ .

D'où $a = \overline{\frac{L(z)}{\left\|z\right\|^2}} z$ . $a$ est unique. Soit $b \in H$ tel que $L(x) = <x,b>$ , $\forall x \in H$ . $<x,a-b>= 0$ , $\forall x \in H$ , d'où $a=b$ .

\left|L(x)\right| \leq \left\|x\right\| \left\|a\right\|, \quad \forall x \in H

Donc $\left\|L\right\| \leq \left\|a\right\|$ .

Si $a \neq 0$ , $L\left(\frac{a}{\left\|a\right\|}\right)= \left\|a\right\|$ , d'où $\left\|L\right\| = \left\|a\right\|$

Définition

Soit $H$ un espace de Hilbert tel que $\dim H = +\infty$ . On appelle base hilbertienne (de $H$ ) une suite $(e_n)_{n\in \mathbb{N}}$ d'éléments de $H$ vérifiant :

$\left\|e_n\right\| = 1$ , $\forall n \in \mathbb{N}$ et $<e_n,e_m> =0$ , $\forall n \neq m$
L'espace vectoriel $F$ engendré par les $e_n$ est dense dans $H$ .

Remarque : $F$ est l'ev des combinaisons linéaires finis des $e_n$ ...

Théorème

Soit $H$ un espace de Hilbert de dimension infinie et soit $(e_n)_{n\in \mathbb{N}}$ une base hilbertienne de $H$ .

Pour tout , on a :
1. $x = \sum\limits_{n\geq 0}^{} <x,e_n> e_n$ , (c'est à dire $\left\|x - \sum\limits_{n=0}^N <x,e_n>e_n\right\| \underset{N\to +\infty}{\longrightarrow} 0$ )
2. $\left\|x\right\|^2 = \sum\limits_{n\geq 0}^{} \left|<x,e_n>\right|^2$ (Égalité de Bessel - Parseval)
Réciproquement, si $\lambda = (\lambda_n)_{n\in \mathbb{N}} \in l_K^2 (\mathbb{N})$ , alors la série $\sum\limits_{n\geq 0}^{} \lambda_n e_n$ converge vers un élément $x \in H$ et on a : $\lambda_n = <x,e_n>, \forall n \in \mathbb{N} \textrm{\,et\,} \left\|x\right\|^2 = \sum_{n\geq 0} \left|\lambda_n\right|^2$

Démonstration

Soit $x \in H$ . Posons :

$S_N(x)$	$=$	$\sum_{n=0}^N <x,e_n> e_n$
$\left\\|S_N(x)\right\\|^2$	$=$	$\sum_{n=0}^N \left\|<x,e_n>\right\|^2 \qquad (4)$
$<x,S_N(x)>$	$=$	$\sum_{n=0}^N \left\|<x,e_n>\right\|^2$
$\textrm{D'ou\,} \left\\|S_N(x)\right\\|^2$	$=$	$<x,S_N(x)> \leq \left\\|x\right\\| \left\\|S_N(x)\right\\|$
$\textrm{et\,donc\,} \left\\|S_N(x)\right\\|$	$\leq$	$\left\\|x\right\\| \quad (5)$

Soit $\varepsilon > 0$ . Pour tout $x \in H$ il existe $x^* \in F$ tel que :

\left\|x-x^*\right\| \leq \frac{\varepsilon}{2}

Soit $J_\varepsilon \subset \mathbb{N}$ tel que $\left|J_\varepsilon\right| < +\infty$ et

x^* = \sum_{j\in J_\varepsilon} a_j e_j, \quad a_j \in K

Soit $N > \max J_\varepsilon$ . Alors $S_N(x^*) = x^*$ .

Donc $S_N(x) \underset{N\to +\infty}{\longrightarrow}$ , d'où 1a).

2) Posons $A_N = \sum\limits_{n=0}^N \lambda_n e_n$ . Soit $M > N$ .

\left\|A_M - A_N\right\|^2 = \sum_{n = N+1}^M \left|\lambda_n\right|^2 \underset{M,N\to +\infty}{\longrightarrow} 0

$(A_N)$ est de Cauchy et comme $H$ est complet $\exists x \in H$ tel $x = \lim A_N$ .

Soit $n \in \mathbb{N}$ et $N > n$ , $<x,e_n> = \lim\limits_{N \to +\infty}^{} <A_N, e_n> = \lambda_n$ .

\left\|x\right\|^2 = \lim_{N \to +\infty} \left\|A_N\right\|^2 = \sum_{n \geq 0} \left|\lambda_n\right|^2

\left\|A_N\right\|^2 = \sum_{n=0}^N \left|\lambda_n\right|^2

Dans $l_\mathbb{C}^2 (\mathbb{N})$ , posons $e_n = (\underbrace{0,...,0,1}_{n+1},0,...,0)$ .

$e_n \in l_\mathbb{C}^2 (\mathbb{N})$ , $<e_n, e_m> = \delta_n^m$ .

Soit $x\in l_\mathbb{C}^2(\mathbb{N})$ , $x = \sum <x,e_n>e_n$ ?

x=(x_n)_{n\in\mathbb{N}}, \qquad \left\|x-\sum_{n=0}^N <x,e_n> e_n\right\|^2 = \sum_{n \geq N+1} \left|x_n\right|^2 \to 0

@@ Ligne 5 : / Ligne 5 : @@
 Un produit scalaire sur <math>H</math> est une application de <math>H \times H</math> dans <math>\mathbb K</math> (notée <math>(x,y) \to <x,y></math>) vérifiant :
 <ul><li> <math><x+\lambda y,z> = <x,y> + \lambda <y,z></math>, <math>\forall x,y,z \in H</math>, <math>\forall \lambda \in K</math>.
-</li><li> <math><x,y> = <y,x></math>, <math>\forall x,y \in H</math>
+</li><li> <math><x,y> = \overline{<y,x>}</math>, <math>\forall x,y \in H</math>
 </li><li> <math><x,x> \geq 0</math>, <math>\forall x \in H</math>
-</li><li> <math><x,x> = 0 \Leftrightarrow x = 0</math>
+</li><li> <math><x,x> = 0 \Rightarrow x = 0</math>
 </li></ul>
@@ Ligne 35 : / Ligne 35 : @@
 {{!}} style{{=}}"text-align:right;"{{!}}
 {{!}} style{{=}}"text-align:center;"{{!}}<math>=</math>
-{{!}} style{{=}}"text-align:left;"{{!}}<math>\left\|x\right\|^2 + 2 \mathfrak{Re} t <y,x> + \left|t\right|^2 \left\|y\right\|^2</math>
+{{!}} style{{=}}"text-align:left;"{{!}}<math>\left\|x\right\|^2 + 2 \mathfrak{Re} (t <y,x>) + \left|t\right|^2 \left\|y\right\|^2</math>
 {{!}}}
@@ Ligne 44 : / Ligne 44 : @@
 <math>\left\|x-y\right\|^2 = \left\|x\right\|^2 + \left\|y\right\|^2 - 2 \mathfrak{Re}<x,y></math>
-</li><li> <math>\left\|x\right\| = 0 \Leftrightarrow x = 0</math>, <math>\left\|x\right\| \geq 0</math>
+</li><li> <math>\left\|x\right\| = 0 \Rightarrow x = 0</math>
+<math>\left\|x\right\| \geq 0</math>
 <math>\left\|\lambda x\right\| = (\lambda x, \lambda x)^{1/2} = \left(\left|\lambda\right|^2 <x,y> \right)^{1/2} = \left|\lambda\right| <x,x>^{1/2} = \left|\lambda\right| \left\|x\right\|</math>
+Enfin d'après l'inégalité de Cauchy-Schwarz :
+<math>\left\|x+y\right\|^2 = \left\|x\right\|^2 + 2 \mathfrak{Re} (t <y,x>) + \left\|y\right\|^2 \leq \left\|x\right\|^2 + 2 \left\|x\right\|\left\|y\right\| + \left\|y\right\|^2 = (\left\|x\right\|+\left\|y\right\|)^2</math>
 </li></ol>
 }}
@@ Ligne 210 : / Ligne 215 : @@
 Représentation de Riesz
-Soit <math>H</math> un espace de Hilbert sur <math>\mathbb{C}</math>. Pour tout <math>L \in \mathcal L(H,\mathbb{C}) = H</math>, il existe <math>a \in H</math> unique tel que :
+Soit <math>H</math> un espace de Hilbert sur <math>\mathbb{C}</math>. Pour tout <math>L \in \mathcal L(H,\mathbb{C}) = H'</math>, il existe <math>a \in H</math> unique tel que :
 <center><math>\forall x \in H, \quad L(x) = <x,a></math></center>
 De plus <math>\left\|L\right\| = \left\|a\right\|</math>.
@@ Ligne 317 : / Ligne 322 : @@
 [[Catégorie:Analyse 1]]
 [[Catégorie:Mathématiques]]
-[[Catégorie:1A]]
+[[Catégorie:Première Année]]
+<!-- EOF -->

Espaces de Hilbert : Différence entre versions

Version actuelle en date du 15 novembre 2011 à 12:58

Menu de navigation

Outils personnels

Espaces de noms

Variantes

Affichages

Plus

Rechercher

Navigation

Outils

$0 \leq \left\\|x+ty\right\\|^2$	$=$	$<x+ty,x+ty> = \left\\|x\right\\|^2 + t<y,x> + \bar t<x,y> + \left\|t\right\|^2 \left\\|y\right\\|^2$
	$=$	$\left\\|x\right\\|^2 + 2 \mathfrak{Re} (t <y,x>) + \left\|t\right\|^2 \left\\|y\right\\|^2$

$\left\\|x-y\right\\|^2$	$=$	$\left\\|x-a + a - y\right\\|^2$
	$=$	$\left\\|x-a\right\\|^2 + \left\\|y-a\right\\|^2 - 2 \mathfrak{Re} <x-a,y-a>$
	$\geq$	$\left\\|x-a\right\\|^2$