Espaces de Hilbert

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Wikicours.png Espaces de Hilbert
Matière Analyse 1
Chapitre 3
Promo 1A
Date 2006
Professeur R. Dalmasso
Auteur L. Petit
PDF Le Post'IT

Soit H un ev sur K = \mathbb{R} ou \mathbb{C}.

DéfinitionDéfinition

Un produit scalaire sur H est une application de H \times H dans \mathbb K (notée (x,y) \to <x,y>) vérifiant :

  • <x+\lambda y,z> = <x,y> + \lambda <y,z>, \forall x,y,z \in H, \forall \lambda \in K.
  • <x,y> = \overline{<y,x>}, \forall x,y \in H
  • <x,x> \geq 0, \forall x \in H
  • <x,x> = 0 \Rightarrow x = 0
DéfinitionProposition

Soit H un ev sur \mathbb K muni d'un produit scalaire. On note \left\|x\right\| = <x,x>^{1/2}, x\in H :

  1. \left|<x,y>\right| \leq \left\|x\right\| \left\|y\right\|, \forall x,y \in H (Inégalité de Cauchy-Schwarz)
  2. \left\|x+y\right\|^2 + \left\|x-y\right\|^2 = 2\left(\left\|x\right\|^2 + \left\|y\right\|^2\right), \forall x,y \in H

    (Inégalité du parallélogramme)

  3. L'application x \to \left\|x\right\| est une norme sur H.


DéfinitionDéfinition Un espace préhilbertien est un ev H muni d'un produit scalaire. Un espace de Hilbert est un espace préhilbertien complet pour la norme associée au produit scalaire.
  • H = \mathbb{R}^N, K=\mathbb{R}. <x,y> = \sum\limits_{j=1}^N x_j y_j, x = (x_1,...,x_N), y=(y_1,...,y_N) est un espace de Hilbert.
  • H = \mathbb{C}^N, K=\mathbb{C}, <z,w> = \sum\limits_{j=1}^N z_j \bar w_j, z = (z_1,...,z_N), w = (w_1,...,w_N) est un espace de Hilbert sur \mathbb{C}.
  • Soit \Omega \subset \mathbb{R}^N un ouvert borné. H = C(\Omega, \mathbb{C}). <u,v> = \int_\Omega u(t)\bar v(t) dt est un espace préhilbertien (sur \mathbb{C}). Ce n'est pas un Hilbert.
  • \Omega \subset \mathbb{R}^N ouvert borné. H = L^2(\Omega, \mathbb{C}). <u,v> = \int_\Omega u(t) \bar v(t) dt est un Hilbert (c'est le complété de H donné en 3).
  • l_\mathbb{C}^2 (\mathbb{N}) = \left\{ x = (x_n)_{n\in \mathbb{N}} / x_n \in \mathbb{C}, \forall n \textrm{\,et\,} \sum\limits_{n \geq 0}^{} \left|x_n\right|^2 < +\infty\right\}

    <x,y> = \sum\limits_{n\geq 0}^{} x_n \bar y_n, x=(x_n), y=(y_n), est un Hilbert (sur \mathbb{C}).

DéfinitionDéfinition

Soit H un espace préhilbertien.

  • x,y \in H soit orthogonaux si <x,y> = 0
  • Soit A \subset H, A \neq \emptyset. On appelle orthogonal de A dans H l'ensemble noté A^{\perp} = \left\{ x \in H / <x,y> = 0, \forall y \in A \right\}.
DéfinitionProposition

Soit H un espace préhilbertien.

  1. Soit A \subset H, A \neq \emptyset. A^{\perp} est un sev fermé de H.
  2. Soient A,B \subset H avec A \neq \emptyset et A \subset B alors B^{\perp} \subset A^{\perp}
  3. Soit A \subset H, A \neq \emptyset. Alors A\subset \left( A^{\perp} \right)^{\perp}.
  4. On suppose de plus que H est complet. Soit A un sev de H. Alors :

    \bar A = \left(A^{\perp}\right)^{\perp}

Pour la démo, voir TD.

DéfinitionThéorème

Soit H un espace de Hilbert et soit C \subset H une partie convexe, fermée non vide. Pour tout x \in H, il existe a \in \mathbb{C} unique tel que :

\left\|x-a\right\|= \inf\limits_{y\in \mathbb{C}}^{} \left\|x-y\right\|


DéfinitionThéorème

Soit H un espace de Hilbert et soit C \subset H une partie convexe, fermée et non vide. Soit x \in H. On a l'équivalence :

  • a\in C est la projection de x sur C.
  • a \in C et \mathfrak{Re} <x-a,y-a> \leq 0, \forall y \in C.


DéfinitionProposition

Soient H un espace de Hilbert et C \subset H une partie convexe, fermée et non vide. Notons P_C x la projection de x \in H sur C. On a :

\forall x_1, x_2 \in H, \qquad \left\|P_C x_1 - P_C x_2\right\| \leq \left\|x_1 - x_2\right\|


Soit H un espace de Hilbert et soit F un sev fermé de H (Donc F est convexe).

  1. a = P_F x est caractérisé par :
    \left\{ \begin{array}{l} a \in F \\ <x-a,y>=0, \forall y \in F \end{array}\right.
  2. P_F est linéaire et continue. De plus, si F \neq \{0\}, \left\|P_F\right\|=1
  3. H = F \oplus F^{\perp}.


DéfinitionThéorème

Représentation de Riesz

Soit H un espace de Hilbert sur \mathbb{C}. Pour tout L \in \mathcal L(H,\mathbb{C}) = H', il existe a \in H unique tel que :

\forall x \in H, \quad L(x) = <x,a>
De plus \left\|L\right\| = \left\|a\right\|.

Remarque : Idem si H est un Hilbert sur \mathbb{R}. \forall L \in \mathcal L(H,\mathbb{R}), \exists ! a \in H tel que L(x) = <x,a>, \forall x \in H et \left\|L\right\| = \left\|a\right\|

DéfinitionThéorème

Soit H un hilbert. L \in H'.

\exists ! a \in H tel que L(x) = <x,a>, \forall x \in H et \left\|L\right\| = \left\|a\right\|.


DéfinitionDéfinition

Soit H un espace de Hilbert tel que \dim H = +\infty. On appelle base hilbertienne (de H) une suite (e_n)_{n\in \mathbb{N}} d'éléments de H vérifiant :

  1. \left\|e_n\right\| = 1, \forall n \in \mathbb{N} et <e_n,e_m> =0, \forall n \neq m
  2. L'espace vectoriel F engendré par les e_n est dense dans H.

Remarque : F est l'ev des combinaisons linéaires finis des e_n...

DéfinitionThéorème

Soit H un espace de Hilbert de dimension infinie et soit (e_n)_{n\in \mathbb{N}} une base hilbertienne de H.

  1. Pour tout x \in H, on a :
    1. x = \sum\limits_{n\geq 0}^{} <x,e_n> e_n, (c'est à dire \left\|x - \sum\limits_{n=0}^N <x,e_n>e_n\right\| \underset{N\to +\infty}{\longrightarrow} 0)
    2. \left\|x\right\|^2 = \sum\limits_{n\geq 0}^{} \left|<x,e_n>\right|^2 (Égalité de Bessel - Parseval)
  2. Réciproquement, si \lambda = (\lambda_n)_{n\in \mathbb{N}} \in l_K^2 (\mathbb{N}), alors la série \sum\limits_{n\geq 0}^{} \lambda_n e_n converge vers un élément x \in H et on a :
    \lambda_n = <x,e_n>, \forall n \in \mathbb{N} \textrm{\,et\,} \left\|x\right\|^2 = \sum_{n\geq 0} \left|\lambda_n\right|^2


Dans l_\mathbb{C}^2 (\mathbb{N}), posons e_n =
  (\underbrace{0,...,0,1}_{n+1},0,...,0).

e_n \in l_\mathbb{C}^2 (\mathbb{N}), <e_n, e_m> = \delta_n^m.

Soit x\in l_\mathbb{C}^2(\mathbb{N}), x = \sum <x,e_n>e_n ?

x=(x_n)_{n\in\mathbb{N}}, \qquad \left\|x-\sum_{n=0}^N <x,e_n> e_n\right\|^2 = \sum_{n \geq N+1} \left|x_n\right|^2 \to 0