Espace vectoriels normés

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Wikicours.png Espace vectoriels normés
Matière Analyse 1
Chapitre 1
Promo 1A
Date 2006
Professeur R. Dalmasso
Auteur L. Petit
PDF Le Post'IT

Espaces vectoriels normés

On utilisera : K = \mathbb{R} ou \mathbb{C}.

DéfinitionDéfinition

On appelle norme sur un ev E, une application (notée x \mapsto \left\|x\right\| ou \left\|x\right\|_E ) de E dans [0;+\infty[ telle que :

  1. \left\|x\right\| = 0 \Rightarrow x = 0.
  2. \left\|\lambda x\right\| = \left|\lambda\right| \left\|x\right\|, \forall \lambda \in K, \forall x \in E.
  3. \left\|x + y\right\| \leq \left\|x\right\| + \left\|y\right\|, \forall x,y\in E.
On appelle espace vectoriel normé (evn) la donnée d'un e.v. E et d'une norme sur E.
  • E = \mathbb{R}^n, K=\mathbb{R}
    \left\|x\right\|_{\infty} = \max\limits_{1\leq j \leq n}^{}\left(\left|x_j\right|\right) x = (x_1, ... , x_n) \in \mathbb{R}^n
    \left\|x\right\|_1 = \sum\limits_{j=1}^n \left|x_j\right| \left\|x\right\|_2 = \left(\sum\limits_{j=1}^n x_j^2 \right)^{1/2}
  • E = \mathbb{C}^n, K = \mathbb{C}


    \left\|z\right\|_{\infty} = \max\limits_{1\leq j \leq n}^{}\left(\left|z_j\right|\right) z = (z_1, ... , z_n) \in \mathbb{R}^n
    \left\|z\right\|_1 = \sum\limits_{j=1}^n \left|z_j\right| \left\|z\right\|_2 = \left(\sum\limits_{j=1}^n z_j^2 \right)^{1/2}
  • E = C[0;1]


    \left\|u\right\|_{\infty} = \sup\limits_{0 \leq t \leq 1}^{} \left|u(t)\right|
    \left\|u\right\|_1 = \int\limits_0^1 \left|u(t)\right|dt \left\|u\right\|_2 = \left(\int\limits_0^1 u(t)^2 dt \right)^{1/2}

Remarque : Soit E un evn et soit F un sev de E. F est aussi un evn si on pose \left\|x\right\|_F = \left\|x\right\|_E pour x\in F. Il s'agit de la norme induite.

DéfinitionDéfinition

Soit E un evn, a\in E et r > 0.

  • La boule de centre a et de rayon r est l'ensemble noté \mathcal{B}(a,r) = \left\{ x\in E ; \left\|x - a\right\| < r \right\}
  • La boule fermée de centre a et de rayon r est l'ensemble noté

    \mathcal{B}_f(a,r) = \left\{ x\in E ; \left\|x - a\right\| \leq r \right\}

  • La sphère de centre a et de rayon r est l'ensemble noté

    \mathcal S(a,r) = \left\{ x\in E ; \left\|x - a\right\| = r \right\}

DéfinitionDéfinition
  • A est ouvert si pour tout x\in A, il existe r > 0 tel que \mathcal{B}(x,r) \subset A.
  • B est fermé si B^c est ouvert.

Remarque : \mathcal{B}(a,r) est un ouvert et \mathcal{B}_f(a,r) est un fermé.

DéfinitionDéfinition

Soit E un evn et soit A \subset E, V\subset E est un voisinage de A dans E s'il existe un ouvert U de E tel que A \subset U \subset V.

Si A=\{a\}, on parle de voisinage d'un point.
DéfinitionDéfinition Soit (x_n)_{n\in \mathbb{N}} une suite d'un evn E et soit x\in E. On dit que x_n converge vers x, si quel que soit le voisinage V de x, il existe N\in \mathbb{N} tel que x_n \in V pour tout n\geq N. Ceci équivaut à dire que \left\|x_n - x\right\| \rightarrow 0 quand n \rightarrow + \infty.
DéfinitionDéfinition Soit E un evn et soit A \subset E. L'adhérence de A notée \overline{A}, est le plus petit fermé contenant A (i.e. : l'intersection des fermés contenant A).

Remarque :

  • x\in \overline{A} \Leftrightarrow \exists x_n \in A, n\in \mathbb{N}, tel que x_n \rightarrow x
  • A est fermé \Leftrightarrow A = \overline{A}
DéfinitionDéfinition

Soit E un ev, et soient \left\|...\right\|_1 et \left\|...\right\|_2 deux normes sur E,

\left\|...\right\|_1 et \left\|...\right\|_2 sont équivalentes (\left\|...\right\|_1 \sim \left\|...\right\|_2) s'il existe a,b >0 tels que :

a \left\|x\right\|_1 \leq \left\|x\right\|_2 \leq b \left\|x\right\|_1,\quad \forall x \in E
DéfinitionDéfinition

Soient E et F deux evn.

Une application f : E \rightarrow F est dite continue au point x_0\in E si, pour tout voisinage W de f(x_0) dans F, il existe un voisinage V de x_0 dans E tel que f(V) \subset W.

f est dite continue si elle est continue en tout point de E.
DéfinitionProposition

Les assertions suivantes sont équivalentes :

  1. f est continue en x_0 \in E
  2. Tout voisinage de W de f(x_0) est dans F.

    f^{-1}(W) est un voisinage de x_0 dans E.

  3. \forall \varepsilon > 0, \exists \eta > 0,
    \forall x, \qquad \left\|x - x_0\right\| \leq \eta \Rightarrow \left\|f(x)- f(x_0)\right\| \leq \varepsilon
DéfinitionProposition

Soit E un evn

  1. L'application x \rightarrow \left\|x\right\| est continue et même lipschitzienne car :
    \left|\left\|x\right\| - \left\|y\right\|\right| \leq \left\|x - y\right\|
  2. Si x_n, y_n\in E, \lambda_n\in K, \forall n \in \mathbb{N} et si x_n \rightarrow x, y_n \rightarrow y et \lambda_n \rightarrow \lambda alors :
    x_n + \lambda_n y_n \rightarrow x + \lambda y

Espaces de Banach et Théorème du point fixe (contractant)

Soit E un evn.

DéfinitionDéfinition

Une suite de Cauchy est une suite (x_n)_{n\in \mathbb{N}} tel que pour tout \varepsilon > 0, il existe n_0 \in \mathbb{N} tel que :

\forall p,q \geq n_0 \Rightarrow \left\|x_p-x_q\right\| \leq \varepsilon
DéfinitionProposition Toute suite convergente est de Cauchy.


La réciproque est FAUSSE !

DéfinitionDéfinition

Soit A \subset E. A est complet si toute suite de Cauchy d'élements de A est convergente dans A.

Quand A=E, on dit que E est un espace de Banach.
  1. \mathbb{R}^n, muni de \left\|...\right\|_\infty, \left\|...\right\|_1 et \left\|...\right\|_2 est complet.
  2. C[0,1] muni de \left\|...\right\|_\infty est complet.
  3. C[0,1] muni de \left\|...\right\|_1 ou \left\|...\right\|_2 n'est pas complet.
DéfinitionProposition
  • Si E est complet et B\subset E est fermé, alors B est complet.
  • Soit B \subset E. Si B est complet, B est fermé.


DéfinitionThéorème

Soit E un evn et soit B \subset E un sous ensemble complet.

Soit T : B \to E une application telle que :

  1. T(B) \subset B
  2. Il existe une constante k\in ]0,1[ telle que
    \left\|T(x)-T(y)\right\|\leq k \left\|x-y\right\|, \quad \forall x,y\in B

Alors il existe un point x\in B et un seul tel que T(x) = x.

De plus x est la limite de la suite définie par :

x_0 \in B,\, x_{n+1} = Tx_n,\,\forall n \geq 1


Remarque : En faisant tendre m vers +\infty on obtient.

\left\|x-x_n\right\| \leq \frac{k^n}{1-k} \left\|x_1 - x_0\right\|

Soit f : \mathbb{R}\times\mathbb{R} \to \mathbb{R} une application continue vérifiant la condition suivante :

\exists M > 0 \textrm{\,tel\,que\,} \left|f(x,y) - f(x,z)\right| \leq M \left|y-z\right|, \quad \forall x,y,z \in \mathbb{R}

(i.e. : f est lipschitzienne par rapport à la 2^{eme} variable uniformément par rapport à la 1^{ere} variable)

Conclusion :

Pour tout x_0\in \mathbb{R} et tout y_0\in \mathbb{R}, il existe une fonction y\in \mathcal C^1 (\mathbb{R}) unique telle que :

\left\{ \begin{array}{ll} y'(x) = f(x,y(x)), & \forall x \in \mathbb{R} \\
y(x_0) = y_0\end{array}\right.\qquad \textrm{(1)}

Soit I un intervalle de \mathbb{R} tel que x_0\in I, on a l'équivalence suivante :

  1. y \in C^1(I) est solution de (1) dans I.
  2. y \in C(I) est solution de y(x) = y_0 + \int\limits_{x_0}^x f(s,y(s))ds, \forall x \in I.


f(x,y) = y^2.

\not\exists M > 0 tel que \left|f(x,y) - f(x,z)\right| \leq M \left|y-z\right|, \qquad \forall x,y,z

Si y, z sont dans [\alpha, \beta], \exists M(\alpha,\beta)... and so on ...

Compacts dans les evn

DéfinitionDéfinition

Soit E un evn et soit A \subset E, A \neq \emptyset.

A est compact si toute suite (x_n) d'éléments de A on peut extraire une suite \left(x_{n_k}\right)_{k\in \mathbb{N}} telle que \left(x_{n_k}\right) converge vers un élément de A.

Remarque : A est compact si et seulement si de tout recouvrement ouvert de A, on peut extraire un recouvrement fini :

A \subset \cup_{i\in I}^{} O_i, \quad I \neq \emptyset,\quad O_i\, \textrm{ouvert}

Soit E un evn et soit A \subset E, A \subset \emptyset.

Le diamètre de A est par définition :

\delta(A) = \sup_{x,y\in A} \left\|x-y\right\| \in [0,+\infty[

A est borné si \delta(A) est fini.

DéfinitionProposition Si A est compact, alors A est fermé et borné.


DéfinitionProposition

Soit E un evn et soit A \subset E, A \neq \emptyset

  1. Si A est compact, alors A est complet
  2. Si A est compact et si B\subset E est fermé et tel que B\subset A, alors B est compact.


DéfinitionProposition Soient E,F des evn, f : E \to F une application continue et A \subset E un compact. Alors f(A) est compact dans F.


DéfinitionProposition

Soit E un evn et soit A\subset E un compact.

Si f : A \to \mathbb{R} est continue, il existe x,y \in A telle que :

f(x) = \inf\limits_{t\in A}^{} f(t) \textrm{\,et\,} f(y)  = \sup_{t\in A} f(t)


DéfinitionProposition

Soit E un evn et soit A \subset E un compact.

Pour tout x\in E, il existe y\in A tel que

\left\|x-y\right\| = \inf\limits_{z\in a}^{} \left\|x-z\right\|
(On dit que y est la meilleure approximation de x sur A pour \left\|...\right\|)

La démonstration est évidente en prenant : f(z) = \left\|x-z\right\|.

Remarque : ``Gros problème : La question de l'unicité pour la meilleure approximation.

  1. Dans \mathbb{R}^2, \left\|...\right\|_2, A = S(0,1) = \left\{ x \in \mathbb{R}^2, \left\|x\right\|_2 = 1\right\}. Prenons x = 0, \forall y \in A, on a : \left\|y\right\|_2 = 1 = \min\limits_{z\in A} \left\|z\right\|. Obstruction : A n'est pas convexe.
  2. Dans \mathbb{R}^2, \left\|...\right\|_\infty on prend x = (2,0) et A\in \mathcal S(0,1).

    \forall t \in [-1,1] on a : \left\|(2,0) - (1,t)\right\|_\infty = 1 = \min\limits_{z\in A}^{} \left\|(2,0) - z\right\|. Obstruction : La norme n'est pas strictement convexe (la norme 2 l'est). Voir schéma.

DéfinitionThéorème

Soit E un evn.

Si la boule unité fermée est compacte alors E est de dimension finie.


Remarque : ()

Soit E un evn et soit A \subset E, A\neq \emptyset. On a :

  1. A compact \Rightarrow A fermé et borné (prop).
  2. Si \dim E < +\infty, A fermé et borné \Rightarrow A compact (Bolzano-Weierstrass)
  3. Si \dim E = +\infty, A fermé et borné \not\Rightarrow A compact.


DéfinitionProposition Si E est un ev de dimension finie, toutes les normes sont équivalentes.


Produit d'evn

Soient (E_j, \left\|...\right\|_j), j=1..N des evn.

E = E_1 \times ... \times E_N. Pour x=(x_1,...,x_n).

On pose \left\|x\right\| = \max\limits_{1\leq j \leq N}^{} \left\|x_j\right\|_j.

On vérifie que c'est une norme sur E. E muni de cette norme est un evn appelé espace produit des E_j. On peut utiliser les deux normes équivalentes.

\left\|x\right\| = \sum_{j=1}^N \left\|x_j\right\|_j \qquad \textrm{\,ou\,}
\left\|x\right\| = \left(\sum_{j=1}^N \left\|x_j\right\|^2 \right)^{1/2}

Applications linéaires & continues

DéfinitionThéorème

Soient E et F des evn et soit u : E \rightarrow F une application linéaire.

Les propriétés suivantes sont équivalentes.

  1. Il existe une constante c\geq 0 : \left\|u(x)\right\| \leq c \left\|x\right\|, \forall x \in E.
  2. u est lipschitzienne : il existe une constante c\geq 0 telle que : \left\|u(x) - u(y)\right\| \leq c \left\|x-y\right\|
  3. u est uniformément continue.
  4. u est continue.
  5. u est continue à l'origine.


- Soit E un ev de dimension finie et soit F un evn.

Si u : E \rightarrow F est linéaire, alors u est continue.

Soit (e_1,...,e_N) une base de E.

Pour x \in E, x = \sum_{j=1}^N x_j e_j, x_j \in K.

On pose : \left\|x\right\|_1 = \sum_{j=1}^N \left|x_j\right| et on vérifie que \left\|...\right\|_1 est une norme. Notons \left\|...\right\| la norme sur F..

\left\|u(x)\right\| = \left\|u\left(\sum_{j=1}^N x_j e_j\right)\right\|
= \left\|\sum_{j=1}^N x_j u(e_j)\right\|
\leq \sum_{j=1}^N \left|x_j\right| \left\|u(e_j)\right\|
\leq C \sum_{j=1}^N \left|x_j\right| = C \left\|x\right\|_1,\quad C = \max\limits_{1\leq j \leq N}^{} \left(\left\|u(e_j)\right\|\right)

- E = \mathbb{R} et pour P\in E, on pose :

\left\|P\right\| = \sum_{j=0}^N \left|a_j\right| \textrm{,\,si\,} x = \sum_{j=0}^N a_j X^j

On définit : u : E \rightarrow E par u(P) = P' avec

P' = \sum_{j=1}^N j a_j X^{j-1}

u est trivialement linéaire. On a : P_n = X^n, n\geq 1, P_n' = nX^{n-1}. Et \left\|P_n\right\| = 1 ainsi que \left\|P_n'\right\| = n.

Ainsi : \not\exists C \geq 0, n\leq C \forall n \in \mathbb{N}.

- Prenons : E = (C^1[0,1], \left\|...\right\|_{\infty}), F = (C[0,1], \left\|...\right\|_\infty). Et u : E \rightarrow F, u(f) = f'.

u n'est pas continue avec le contre-exemple f_x(x) = x^n. Sauf si F est complet et E non. En effet pour que C^1 soit complet, il faut que \left\|f\right\| = \max \left( \left\|f\right\|_\infty, \left\|f'\right\|_\infty\right). Ainsi on aura \left\|f_n\right\|= n et non \left\|f_n\right\| = 1.

- E = (C[0,1], \left\|...\right\|_\infty). Et on pose : u : E \rightarrow K tel que u(f) = \int\limits_0^x f(t)dt. u est linéaire et continue.

DéfinitionDéfinition

Soient E et F des evn. On note \mathcal L(E,F) l'ensemble des applications linéaires et continues de E dans F. C'est un ev.

Si E = F, on note \mathcal L(E). Si F=K on note E' = \mathcal L(E,K).

.

DéfinitionProposition

L'application de \mathcal L(E,F) dans \mathbb{R}^+ associée

\left\|u\right\| = \sup_{\left\|x\right\| \leq 1} \left\|u(x)\right\| \qquad \textrm{\,est\,une\,norme}


Remarque :

  • On a toujours \left\|u(x)\right\| \leq \left\|u\right\| \left\|x\right\| si u \in \mathcal L(E,F).
  • On a \left\|u\right\| = \sup\limits_{\left\|x\right\| = 1}^{} \left\|u(x)\right\| = \sum\limits_{x\neq 0}^{} \frac{\left\|u(x)\right\|}{\left\|x\right\|}, u\in \mathcal L(E,F).

    On a : \left\|u(x)\right\|\leq \left\|u\right\|, \forall x \in E, x \leq 1.

    Soit x\in E-\{0\}, \left\|u\left(\frac{x}{\left\|x\right\|}\right)\right\|\leq \left\|u\right\|. Par linéarité on obtient : \frac{1}{\left\|x\right\|} \left\|u(x)\right\| \leq \left\|u\right\|.

  • Si E, F et G sont des evn, u\in \mathcal L(E,F), v\in \mathcal L(F,G) alors v\circ u \in \mathcal L(E,G) et \left\|v\circ u\right\| \leq \left\|v\right\| \left\|u\right\|.

    Car, \left\|u\circ v (x)\right\| \leq \left\|u\right\|\left\|v(x)\right\| \leq \left\|u\right\|\left\|v\right\| \left\|x\right\|.

DéfinitionProposition Soient E et F des evn, si F est un espace de Banach, alors \mathcal L(E,F) est aussi un espace de Banach.


DéfinitionDéfinition

Soient E et F des evn. Une application linéaire : u : E \to F est un isomorphisme de E sur F si :

  1. u est bijective
  2. u et u^{-1} sont continues

Remarque :

  • u est un isomorphisme de E sur F si et seulement si u \in \mathcal L(E,F) et il existe v \in \mathcal L(F,E) tel que u\circ v = \textrm{id}_F et v \circ u = \textrm{id}_E.
  • u est un isomorphisme de E sur F si et seulement si u est linéaire, surjective et il existe a,A > 0 tel que a\left\|x\right\| \leq \left\|u(x)\right\| \leq A \left\|x\right\|, \forall x \in E.
  • Deux normes \left\|...\right\|_1 et \left\|...\right\|_2 sur un ev E sont équivalentes si et seulement si,
    I : \left(E,\left\|...\right\|_1\right) \to \left(E,\left\|...\right\|_2\right) \textrm{\,est\,un\,isomorphisme}
DéfinitionThéorème Soient E et F des espaces de Banach et u\in \mathcal L(E,F) bijectives alors u^{-1} est continue.

Meilleure approximation sur un sev de dimension finie

DéfinitionProposition

Soit E un evn et soit F \subset E un sev de dimension finie.

Alors, pour tout x \in E, il existe y \in F :

\left\|x-y\right\| = \inf\limits_{z \in F}^{} \left\|x-z\right\|


DéfinitionProposition A est compact dans F (remarque 8 2)) d'où le resultat par le prop 9.
DéfinitionDéfinition

Soit E un ev,

  • A \subset E, A \neq \emptyset est convexe si : \forall x,y \in A, \forall \lambda \in [0,1], \lambda x + (1-\lambda)y\in A
  • Une norme sur E est strictement convexe si :
    \left. \begin{array}{r} \left\|x\right\| = \left\|y\right\| = 1 \\ \left\|x+y\right\| = 2 \end{array} \right\} \Rightarrow x = y

Remarque : Dans \mathbb{R}^n, la norme euclidienne est strictemenet convexe. La norme du max ne l'est pas.

x=(1,1), y=(1,0), avec \left\|x\right\|_{\infty} = 1 = \left\|y\right\|_{\infty} et \left\|x+y\right\| = \left\|(2,1)\right\| = 2 (or : x \neq y.


\left\|x\right\|_2^2 = 1 = \sum_{j=1}^N x_j^2 = \left\|y\right\|_2^2 = \sum_{j=1}^N y_i^2
\left\|x+y\right\|_2^2 = 4 = \sum_{j=1}^N x_j^2+y_j^2 + 2 x_jy_j
= 2 + 2 \sum_{j=1}^N x_j y_j
1 = \sum_{j=1}^N x_jy_j \leq \left\|x\right\|_2 \left\|y\right\|_2 = 1 \quad \textrm{(Cauchy-Schwarz)}

D'où y= \lambda x et on a : \lambda\neq 1.

DéfinitionProposition

Soit A un convexe dans un evn E.

Si la norme est strictement convexe, alors le problème de la meilleure approximation sur A a au plus une solution.


Séries dans les evn

DéfinitionDéfinition

Soit E un evn et soit (x_n)_{n\in \mathbb{N}} une suite d'éléments de E. On dit que la série \sum\limits_{n\geq 0}^{} x_n converge et a pour somme S si la suite S_N = \sum\limits_{n=0}^N x_n converge vers S.

On dit que la série est normalement convergente si :

\sum_{n\geq 0} \left\|x_n\right\| \textrm{\,converge}
DéfinitionProposition

Si E est complet.

Toute série normalement convergente est convergente.

Remarque : La réciproque est fausse.

DéfinitionThéorème

Soit E un espace de Banach et soit u \in \mathcal L(E).

Si \sum\limits_{n \geq 0}^{} \left\|u^n\right\| < +\infty

\textrm{Id} - u est un isomorphisme de E sur E et on a :

(\textrm{Id} - u)^{-1} = \sum_{n\geq 0} u^n