Distributions
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Matière | Analyse 2 | ||
Chapitre | 2 | ||
Promo | Première Année | ||
Date | 2007 | ||
Professeur | V. Perrier | ||
Auteur | L. Petit | ||
Le Post'IT |
Sommaire
La théorie des distributions est due aux travaux de Laurent Schwartz en 1947.
Le but est de donne un cadre théorique et rigoureux à des calculs formels effectués par Heaviside (1892) et Dirac (1926).
Soit ,
.
À fixé,
Or on remarque que : . Ainsi on peut comparer
à une mesure de proba.
Les distributions englobent les fonctions et mesures de proba.
Applications :
- ``Dériver des fonctions non dérivables.
Chercher
:
telle que
, où
On a que
n'est pas deux fois dérivables. Remplaçons le problème par :
Voyons les degrés de libertés, 2 par équation, et on perd 2 avec
continue, 2 pour
et 2 pour les conditions aux limites. On obtient la solution unique :
La solution de ce problème n'est pas deux fois dérivables en
et
donc n'est pas une solution de
sur
. On a donc qu'une solution faible.
- Donner un sens à des limites ou des sommes (intégrales) non convergentes :
-
?
-
?
-
?
-
En fait, une distribution est une forme linéaire continue :

L'espace des fonctions tests
Sur ,
: intervale ouvert de
.
Définition de
(ensemble des fonctions tests)
Remarque :
est toujours fermé, donc
compact
borné.

Et , à voir en TD.
Remarque :
mais
,
.
Densité
-
est dense dans
(
,
,
)
-
est dense dans
(
,
,
)
Convergence dans 
Pour chaque compact de
(
), on définit :

Définition d'une distribution
Définition


est une distribution si est linéaire, continue au sens suivant :
Pour tout compact
,
suite de
,


Remarque :
Exemples
Masse de Dirac : :

Linéarité : OK, continuité :
compact de
. Soit
tel que
.
Montrer que .

donc est continue et
``Dérivé
-ème de
,
,

Distributions - fonctions
Introduisons un nouvel espace :

-
-
-
car si
,
.
Soit
. On associe à
, l'application :
-
est définie sur
. Soit
. Alors
est compact. Donc
. On a :
.
-
est linéaire
par linéarité de l'intégrale.
-
est continue ?
Soit
et
et ce
,
.
Montrons
.
donc en particulier
donc
et
continue.
- Linéarité :
,
,
. alors
.
donc
.
- Injectivité : admise !
On a :
presque partout en
p.p.
dans
Distribution dans 
Soit ouvert de
.
Fonctions test :
Pour continue ;
.
est
et
compact.
est
existence des dérivées partielles à tout ordre.
Notation : et
,
.

Soit compact
.
.
Soit, et
. On dit que
.
Si .
Convergence des distributions
.
intervalle ouvert de
.
?
La convergence dans est la convergence simple des applications linéaires.
Définition
Théorème
- Linéaire de
: linéarité de la limite
- Continuité (admis) : Théorème de Banach-Steinhaus. La limite simple d'une suite d'applications linéaires continues définit sur un espace métrisable complet
est linéaire continue.
Remarque :
Si est une suite de fonctions continues par exemple de
.
Soit la limite simple de
(supposée existante) :
,
Alors n'est pas continue en général (
il faut la c.v. uniforme).
Exemples
-
. Montrez que
et quelle est
?
continue donc
. Donc
,
(lemme de Riemann-Lebesgue).
- Peigne de Dirac :
?
On a pose :
.
, (déjà vu).
: somme finie d'éléments de
donc
.
:
.
est borné donc
tel que
,
,
donc
donc
,
-
,
.
,
. Montrer que
.
-
continue donc
et
-
On applique la convergence dominé :
-
, car
est continue en
.
-
On a donc
, d'où
-
-
Dérivation des distributions
Si ,
.
Donc , alors
or
.
, donc
, sur
.
Définitions
- Si
(
et
compact
) alors
. (car
est
et
) donc
est bien défini.
-
est linéaire.
donc
est linéaire.
-
continue ?
Soit
compact
,
tel que
.
or
.
est continue donc
et
donc
continue. Conclusion :
.
Dans 
ouvert de
.
.
,
,
On définit .
Exemples
-
.
,
.
-
Remarque :
est dérivable sur
et
et
sur
et
.
.
,
,
donc
donc
.
-
.
Quelle est sa dérivée ?
- Si
. Alors
DémonstrationGénéralisation : Si
,
.
-
est continue sur
, dérivable sur
,
,
et
et on a :
Définit sur
.
Calcul de
?
Ainsi
.
Formule des sauts

intervalle ouvert de
.
, avec
,
. Soit
tel que
.
Si , pour tout
, et si pour tout tout
,
admet une limite à gauche en
(notée
) et une limite à droite en
(notée
).
Alors :

où
-
est dérivée de
définie sur chaque
,
(
est définie sur
)
-
, ``saut de
en
, si
est continue en
,
).
-
,
sur
et
.
.
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Convergence et dérivation dans 
Hypothèse : ,
.
Soit ,

Donc .
Si est une série convergente dans
alors

. On a
.
D'après le théorème précédent, on a :
donc la série de terme général converge dans
vers
donc
.
,
tel que
,
,
fixé.
Montrer que :
-
converge dans
- Calculer
.
-
converge dans
converge dans
.
converge donc
converge :
-
Soit une suite de fonctions de
,
tel que :

compact
,
Alors :
-
, convergence faible
-
: Théorème précédent.
,
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Soit compact.
Multiplication d'une distribution par une fonction 
,
.
car si
compact
,

,

-
(produit de 2 fonctions
)
-
donc
compact.
Définition propriété
Soit ,
.
, on pose :
Alors .
-
est linéaire :
- Montrons que
est continue. Soit
compact
, et
.
.
Montrons que
, c'est à dire, montrons
,
,
À
fixé :
Exemples
-
,
,
- Dans
.
Soit
.
-
,
-
-
-
donc
et
Base de l'échantillonnage.
Donc
-
-
Convolution d'une distribution avec une fonction test
Rappel
Soit et
.
On a que ,
.
On a déjà vu que :
- Si
,
, alors
- Si
,
, alors
- Si
,
.
Soit
fixé.
alors
-
-
fermé borné donc compact.
Soit
compact et
Conclusion : Si
et
,
est définie sur
.
-
Définition et propriétés
Remarque :
donc pas de problème de définition.
- Montrons que
est continue en
,
.
, soit
. Montrons :
,
tel que
,
:
, hypothèse :
-
est
-
Soit
tel que
,
,
compact.
? On a :
donc
- Soit
,
On applique la formule des accroissements finis à
donc
donc
, Par continuité de
:
et
-
- Principe de la démonstration
est dérivable.
,
est dérivable en
si
et alors :
On a alors (à dém) :
-
avec
-
donc
-
Conclusion : est dérivable en
et
Remarque :
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,
-
,
,
-