Distributions

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Matière Analyse 2
Chapitre 2
Promo Première Année
Date 2007
Professeur V. Perrier
Auteur L. Petit
PDF Le Post'IT

La théorie des distributions est due aux travaux de Laurent Schwartz en 1947.

Le but est de donne un cadre théorique et rigoureux à des calculs formels effectués par Heaviside (1892) et Dirac (1926).

\Pi(x) = \left\{ \begin{array}{ll} 1 & \textrm{si\,} - \frac 12 \leq x \leq \frac 12 \\ 0 & \textrm{sinon}\end{array}\right.

Soit n \in \mathbb{N}, \Pi_n(x) = n \Pi(nx).

À x \in \mathbb{R} fixé, \lim\limits_{n\to +\infty}^{} \Pi_n(x) = \left\{ \begin{array}{ll} 0 & \textrm{si\,} x \neq 0 \\ +\infty & \textrm{si\,} x = 0 \end{array} \right.

Or on remarque que : \int_{-\infty}^{+\infty} \Pi_n(x) dx = n \int_{-\infty}^{+\infty} \Pi(nx) dx = \int_{-\infty}^{+\infty} \Pi(x) dx = 1. Ainsi on peut comparer \Pi_n à une mesure de proba.

Les distributions englobent les fonctions et mesures de proba.

Applications :

  1. ``Dériver des fonctions non dérivables. Chercher u : [0,1] \to \mathbb{R} telle que u''(x) = f(x), où f(x) = \left\{ \begin{array}{ll} 1 & \textrm{sur\,} [\frac 13, \frac 23] \\ 0 & \textrm{sur\,} [0,1] \setminus [\frac 13, \frac 23]\end{array}\right. On a que u n'est pas deux fois dérivables. Remplaçons le problème par :
    \left\{ \begin{array}{ll} \textrm{Trouver\,} u \in C^1([0,1])\\
u''(x) = 0  \textrm{\,si\,} x \in ]0,\frac 13[\\
u''(x) = 1  \textrm{\,si\,} x \in ]\frac 13, \frac 23[ \\
u''(x) = 0  \textrm{\,si\,} x \in ]\frac 23, 1[
u(0) = u(1) = 0
\end{array}\right.

    Voyons les degrés de libertés, 2 par équation, et on perd 2 avec u continue, 2 pour u \in \mathcal C^1 et 2 pour les conditions aux limites. On obtient la solution unique :

    u(x) = \left\{ \begin{array}{ll} -\frac{x}{6} & \textrm{\,si\,} x \in [0,\frac 13] \\
\frac{1}{2}(x-\frac 13)(x-\frac 23) - \frac 13 & \textrm{\,si\,} x \in [\frac 13,\frac 23] \\
\frac{x-1}{6} & \textrm{\,si\,} x \in [\frac 23, 0]
\end{array}\right.

    La solution de ce problème n'est pas deux fois dérivables en \frac 13 et \frac 23 donc n'est pas une solution de u''(x) = f(x) sur [0,1]. On a donc qu'une solution faible.

  2. Donner un sens à des limites ou des sommes (intégrales) non convergentes :
    • \lim \cos nx =  ?
    • \int_{-\infty}^{+\infty} e^{inx} dx =  ?
    • \sum \cos ux =  ?

En fait, une distribution est une forme linéaire continue :

T\, : \, \varphi \to \mathbb{C}

L'espace des fonctions tests

Sur \mathbb{R}, I : intervale ouvert de \mathbb{R}.

Définition de \mathcal D(I) (ensemble des fonctions tests)

DéfinitionDéfinition
\mathcal D(I) = \left\{ \varphi : I \to \mathbb{C} \,;\, \varphi \in \mathcal C^\infty(I) \textrm{\,et\,} \mathrm{supp}\, \varphi \textrm{\,compact} \subset I\right\}
On rappelle que \mathrm{supp}\, \varphi = \overline{ \{ x \in I \,;\, \varphi(x) \neq 0 \} }

Remarque : \mathrm{supp}\, \varphi est toujours fermé, donc \mathrm{supp}\, \varphi compact \Leftrightarrow \mathrm{supp}\, \varphi borné.

\eta(x) = \left\{ \begin{array}{ll} \exp\left( \frac{1}{x^2 - 1} \right) & \textrm{si\,} \left|x\right| < 1 \\
0 & \textrm{si\,} \left|x\right| \geq 1 \end{array}\right.

Et \eta \in \mathcal D(\mathbb{R}), à voir en TD. Remarque : \eta \not\in \mathcal D(]-1,1[) mais \in \mathcal D\left(]-1-\varepsilon,1+\varepsilon[\right), \varepsilon > 0.


DéfinitionThéorème

K compact \subset I,

Alors \exists \varphi \in \mathcal D(I) telle que :

\left\{ \begin{array}{ll} \varphi(x) = 1 & \textrm{si\,} x \in K \\
0 \leq \varphi(x) \leq 1 & \forall x \in I \end{array}\right.

Densité

  • \mathcal D(I) est dense dans L^1(I) (\forall \varepsilon > 0, \forall f\in L^1(I), \exists \varphi \in \mathcal D(I), \left\|f - \varphi\right\|_{L^1} < \varepsilon)
  • \mathcal D(I) est dense dans L^2(I)

    (\forall \varepsilon > 0, \forall f\in L^2(I), \exists \varphi \in \mathcal D(I), \left\|f - \varphi\right\|_{L^2} < \varepsilon)

Convergence dans \mathcal D(I)

Pour chaque compact K de \mathbb{R} (K \subset I), on définit :

\mathcal D_K(I) = \left\{ \varphi \in \mathcal D(I) ; \mathrm{supp}\, \varphi \subset K \right\}
DéfinitionDéfinition

Soit (\varphi_n)_{n \in \mathbb{N}} une suite de \mathcal D_K(I) et soit \varphi \in \mathcal D_K(I).

On dit que \varphi_n \underset{\mathcal D_K(I)}{\longrightarrow} \varphi (ou \lim\limits_{\mathcal D_K(I)}^{} \varphi_n = \varphi) si

\forall p \in \mathbb{N},\;\left\|\varphi_n^{(p)} - \varphi^{(p)}\right\|_{\infty,K} \underset{n\to +\infty}{\longrightarrow} 0
\left\|f\right\|_{\infty,K} = \sup\limits_{x \in K}^{} \left|f(x)\right|.

Définition d'une distribution

Définition

DéfinitionDéfinition
\begin{array}{rccl}
T : & \mathcal D(I) & \to & \mathbb{C} \\ & \varphi & \mapsto & T(\varphi) \quad (\textrm{note\,} <T,\varphi>)
\end{array}

est une distribution si T est linéaire, continue au sens suivant :

(\star) Pour tout compact K \subset I, \forall (\varphi_n) suite de \mathcal D_K(I),

\varphi_n \underset{\mathcal D_K(I)}{\longrightarrow} 0 \Rightarrow < T , \varphi_n > \underset{n\to +\infty}{\longrightarrow} 0 \quad \textrm{(dans\,} \mathbb{C})
L'espace des distributions est noté \mathcal D'(I).

Remarque : (\star) \Leftrightarrow \varphi_n \underset{\mathcal D_K(I)}{\longrightarrow} \varphi \Rightarrow \lim\limits_{n\to+\infty}^{} <T,\varphi_n> = <T, \varphi> = <T,\lim \varphi_n>

Exemples

Masse de Dirac : \delta :

\begin{array}{rccl} \delta : & \mathcal D(\mathbb{R}) & \to & \mathbb{C} \\ & \varphi & \mapsto & \varphi(0)\end{array}

Linéarité : OK, continuité :

(\star) K compact de \mathbb{R}. Soit (\varphi_n) \in \mathcal D_K tel que \varphi \underset{\mathcal D_K(I)}{\longrightarrow} 0.

Montrer que <T,\varphi_n> \underset{n\to +\infty}{\longrightarrow} 0.

\left|<T,\varphi_n>\right| = \left|\varphi_n(0)\right| \leq \left\|\varphi_n\right\|_{\infty,K} \underset{n\to +\infty}{\longrightarrow} 0

donc \delta est continue et \delta \in \mathcal D'(\mathbb{R}) a \in \mathbb{R} \delta_a : \varphi \mapsto \varphi(a) \in \mathcal D'(\mathbb{R}) ``Dérivé p-ème de \delta, p \in \mathbb{N},

\delta^{(p)} : \varphi \mapsto <\delta^{(p)} , \varphi> = (-1)^p \varphi^{(p)}(0) \in \mathcal D'(\mathbb{R})

Distributions - fonctions

Introduisons un nouvel espace :

L_{loc}^1(I) = \left\{ f : I \to \mathbb{C} / \forall K \textrm{\,compact} \subset I, \; \int_K \left|f\right| < +\infty\right\}
  • L^1(I) \subset L_{loc}^1(I)
  • C^0(I) \subset L_{loc}^1(I)
  • L^\infty(I) \subset L_{loc}^1(I)

    car si f \in L^\infty(I), \int_K \left|f\right| \leq \left\|f\right\|_{L^\infty} \times \underbrace{\textrm{mes}(K)}_{<+\infty} < + \infty.

    Soit f \in L_{loc}^1(I). On associe à f, l'application :

    \begin{array}{rrcl}\{f\} : & \mathcal D(I) & \to & \mathbb{C} \\ & \varphi & \mapsto & <\{ f \}, \varphi > = \int_I f(x) \varphi(x) dx\end{array}
DéfinitionProposition Si f \in L_{loc}^1(\mathbb{R}), \{f\} \in \mathcal D'(I).


DéfinitionThéorème L'application : \begin{array}{rcl} L_{loc}^1 (I) & \to & \mathcal D'(I) \\ f & \mapsto & \{f\} \end{array} est linéaire, injective.


Distribution dans \mathbb{R}^n

Soit \Omega ouvert de \mathbb{R}^n.

Fonctions test : \mathcal D(\Omega)

Pour \varphi continue ; \mathrm{supp}\, \varphi = \overline{\{x \in \Omega / \varphi(x) \neq 0\}}.

\varphi \in \mathcal D(\Omega) \Leftrightarrow \varphi est \mathcal C^\infty(\Omega) et \mathrm{supp}\,\varphi compact.

\varphi est \mathcal C^\infty(\Omega) \Leftrightarrow existence des dérivées partielles à tout ordre.

Notation : x = (x_1, x_2, ... , x_n) \in \Omega et \alpha = (\alpha_1, \alpha_2, ... , \alpha_n) \in \mathbb{N}^n, \left|\alpha\right| = \alpha_1 + \alpha_2 + ... + \alpha_n.

 \partial^\alpha \varphi = \frac{\partial^{\left|\alpha\right|} \varphi}{\partial x_1^{\alpha_1} \partial x_2^{\alpha_2} ... \partial x_n^{\alpha_n}}

Soit K compact \subset \Omega. \mathcal D_K(\Omega) = \{ \varphi \in \mathcal D(\Omega) / \mathrm{supp}\,\varphi \subset K \}.

Soit, (\varphi_k) et \varphi \in \mathcal D_K(\Omega). On dit que \varphi_k \underset{\mathcal D_K(I)}{\longrightarrow} \varphi.

Si \forall \alpha \in \mathbb{N}^n, \quad \left\|\partial^\alpha (\varphi_k - \varphi)\right\|_{\infty,K} \underset{n\to +\infty}{\longrightarrow} 0.

DéfinitionDéfinition

est une distribution si T est linéaire, continue au sens suivant. \forall K compact \subset \Omega, \forall \varphi_n \in \mathcal D_K(\Omega)

\varphi_n \underset{\mathcal D_K(I)}{\longrightarrow} 0 \Rightarrow <T,\varphi_n> \underset{n\to +\infty}{\longrightarrow} 0

Convergence des distributions

\mathcal D'(I). I intervalle ouvert de \mathbb{R}. T_n \underset{\mathcal D'}{\longrightarrow} T ?

La convergence dans \mathcal D' est la convergence simple des applications linéaires.

Définition

DéfinitionDéfinition

(T_n) suite d'éléments de \mathcal D'(I), T \in \mathcal D'(I). On dit que T_n \underset{\mathcal D'}{\longrightarrow} T si

\forall \varphi \in \mathcal D(I), \qquad <T_n, \varphi> \underset{n\to +\infty}{\longrightarrow} <T,\varphi> \textrm{\,(limite\,dans\,} \mathbb{C} \textrm{\,)}

Théorème

DéfinitionThéorème

Soit (T_n) une suite de \mathcal D'(I) vérifiant :

\forall \varphi \in \mathcal D(I),\; \exists l_\varphi \in \mathbb{C} \textrm{\,tel\,que\,:\,}

\lim_{n\to+\infty} <T_n,\varphi> = l_\varphi

Alors :

est une distribution (linéaire + continue).


Remarque : Si (f_n) est une suite de fonctions continues par exemple de \mathbb{R} \to \mathbb{R}.

Soit f la limite simple de (f_n) (supposée existante) : \forall x \in \mathbb{R}, f(x) = \lim\limits_{n \to +\infty}^{} f_n(x)

Alors f n'est pas continue en général (\to il faut la c.v. uniforme).

Exemples

  1. T_n = \{ e^{inx} \}. Montrez que T_n \in \mathcal D'(\mathbb{R}) et quelle est \lim T_n ? x \mapsto e^{inx} continue donc \in L_{loc}^1(\mathbb{R}). Donc T_n \in \mathcal D'(\mathbb{R}) \varphi \in \mathcal D(\mathbb{R}), <T_n, \varphi> = \int_\mathbb{R} e^{inx} \varphi(x) dx \underset{n\to +\infty}{\longrightarrow} 0 (lemme de Riemann-Lebesgue).
  2. Peigne de Dirac : \sum_{n\in \mathbb{Z}} \delta_n ?

    On a pose : T_N = \sum_{-N}^N \delta_n.

    \delta \in \mathcal D'(\mathbb{R}), (déjà vu). T_N : somme finie d'éléments de \mathcal D'(\mathbb{R}) donc T_N \in \mathcal D'(\mathbb{R}).

    \varphi \in \mathcal D(\mathbb{R}) : <T_N,\varphi> = \sum_{-N}^N < \delta_n , \varphi> = \sum_{-N}^N \varphi(n).

    \mathrm{supp}\, \varphi est borné donc \exists p \in \mathbb{N} tel que \varphi(n) = 0, \forall n \in x, \left|n\right| > p donc

    \sum_{n=-N}^N \varphi(n) \underset{_\to N}{\longrightarrow}^{+\infty} \sum_{n=-p}^p \varphi(n) = \sum_{n\in \mathbb{Z}} \varphi(n) = l_\varphi

    donc \forall \in \mathcal D(\mathbb{R}), <T_n, \varphi> \underset{n\to +\infty}{\longrightarrow} l_\varphi = \sum_{n\in \mathbb{Z}} \varphi(n) \in \mathbb{C}

  3. \rho \in \mathcal D(\mathbb{R}), \int_\mathbb{R} \rho = 1. n \in \mathbb{N}, \rho_n(x) = n \rho(nx). Montrer que \rho_n \underset{\mathcal D'}{\longrightarrow} \delta.
    • \rho_n continue donc \rho_n \in L_{loc}^1 et \{\rho_n\} \in \mathcal D'(\mathbb{R})
    • \varphi\in \mathcal D(\mathbb{R})
      <\{\rho_n\}, \varphi> = \int_\mathbb{R} n \rho(nx) \varphi(x) dx = \int_\mathbb{R} \rho(y) \varphi\left(\frac yn\right) dy

      On applique la convergence dominé :

      • \lim\limits_{n \to +\infty}^{} \rho(y) \varphi( \frac yn ) = \rho(y) \varphi(0), car \varphi est continue en 0.
      • \left|\rho(y)\varphi(\frac yn) \right|\leq \left\|\varphi\right\|_\infty.\left|\rho(y)\right| \in L^1(\mathbb{R})

      On a donc <\{\rho_n\},\varphi> \underset{n\to +\infty}{\longrightarrow} \varphi(0) \int_\mathbb{R} \rho = \varphi(0) = <\delta,\varphi>, d'où \rho_n \underset{\mathcal D'}{\longrightarrow} \delta

Dérivation des distributions

Si f \in \mathcal C^1(\mathbb{R}), \{f\} : \varphi \mapsto <\{f\},\varphi> = \int_I f \varphi.

Donc f' \in \mathcal C^0(\mathbb{R}), alors \{f'\} : \varphi \mapsto <\{f'\},\varphi> = \int_I f' \varphi or \int_I f' \varphi \underset{IPP}{=} [f\varphi] - \int_I f \varphi' = - \int f \varphi' = - <\{f\}, \varphi'>. \mathrm{supp}\, \varphi \subset I, donc \varphi = 0, sur \partial I.

Définitions

DéfinitionDéfinition

I intervalle ouvert de \mathbb{R}. T \in \mathcal D'(I).

On définit

\begin{array}{rccl} \frac{dT}{dx} : & \mathcal D(I) & \to & \mathbb{C} \\ & \varphi & \mapsto & <\frac{dT}{dx},\varphi> = -<T,\varphi'>\end{array}
Alors \frac{dT}{dx} \in \mathcal D'(I)


DéfinitionDéfinition

Dérivées n^{ieme} :

T \in \mathcal D'(I), <\frac{d^n T}{dx^n}, \varphi> = (-1)^n <T, \varphi^{(n)}>. \forall \varphi \in \mathcal D(I)

Dans \mathbb{R}^n

\Omega ouvert de \mathbb{R}^n. T \in \mathcal D'(\Omega). \alpha \in \mathbb{N}^n, \alpha = (\alpha_1, ... , \alpha_n), \left|\alpha\right| = \sum_{i=1}^n \alpha_i

On définit <\partial^\alpha T, \varphi> = (-1)^{\left|\alpha\right|} <T,\partial^\alpha \varphi>.

Exemples

  • \frac{d\delta}{dx}. <\frac{d\delta}{dx},\varphi> = - <\delta,\varphi'> = -\varphi'(0) = <\delta',\varphi>, \varphi \in \mathcal D(\mathbb{R}).
  • \varphi(x) = \left\{ \begin{array}{ll} 1 & \textrm{\,si\,} x \geq 0 \\ 0 & \textrm{\,si\,} x < 0 \end{array}\right.

    Remarque : \varphi est dérivable sur \mathbb{R}_+^\star et \mathbb{R}_-^\star et \varphi'=0 sur \mathbb{R}_+^\star et \mathbb{R}_-^\star.

    \frac{d}{dx} \{ \varphi \} = ???

    <\frac{d}{dx} \{ \varphi \} ,\varphi> = - <\{ \varphi \} , \varphi'> = - \int_0^{+\infty} \varphi'(x) dx = -[\varphi(x)]_0^{+\infty}.

    \varphi \in \mathcal D(\mathbb{R}), \exists M > 0, \mathrm{supp}\, \varphi \subset [-M, M] donc \lim_{+\infty} \varphi = 0 donc \frac{d\{\varphi\}}{dx} = \delta.

  • \mathcal D'(\mathbb{R}^2). H(x,y) = \varphi(x) \varphi(y) = \left\{ \begin{array}{ll} 1 & \textrm{\,si\,} x \textrm{\,et\,} y \geq 0 \\ 0 & \textrm{\,sinon} \end{array}\right.

    Quelle est sa dérivée ?

    <\frac{\partial^2 \{ H\} }{\partial x \partial y} , \varphi> = < \{H\} , \frac{\partial^2 \varphi}{\partial x \partial y} >
    = \int_0^{+\infty}\int_0^{+\infty} \frac{\partial ^2 \varphi}{\partial x \partial y} (x,y) dx dy
    = \int_0^{+\infty} \left[ \frac{\partial \varphi}{\partial y} (x,y)\right]_0^{+\infty} dy
    = - \int_0^{+\infty} \frac{\partial \varphi}{\partial y} (0,y) dy \qquad \textrm{\,car\,} \frac{\partial \varphi}{\partial y} \textrm{\,a\,support\,compact\,!}
    = - \left[ \varphi(0,y) \right] _{y=0}^{+\infty} = \varphi(0,0)
    = < \delta_{(0,0)},\varphi> \quad \textrm{\,ou\,} \delta_{(0,0)} : \varphi \mapsto \varphi(0,0)
  • Si f \in \mathcal C^1(\mathbb{R}). Alors \frac{d}{dx} \{ f \} = \{ f' \}

    Généralisation : Si f \in C^p (\mathbb{R}), \frac{d^p}{dx^p} \{ f\} = \{f^{(p)}\}.

  • \Lambda (x) = \left\{ \begin{array}{ll} 1 - \left|x\right| &  \textrm{\,si\,} x \in [-1,1] \\ 0 & \textrm{\,sinon} \end{array}\right.

    \Lambda est continue sur \mathbb{R}, dérivable sur ]-\infty,1[, ]-1,0[, ]0,1[ et ]1,+\infty[ et on a :

    \Lambda'(x) = \left\{ \begin{array}{ll} 0 & \textrm{\,si\,} x \in ]-\infty,-1[ \\ 1 & \textrm{\,si\,} x \in ]-1,0[ \\ -1 & \textrm{\,si\,} x \in ]0,1[ \\ 0 & \textrm{\,si\,} x \in ]1,+\infty[ \end{array}\right.

    Définit sur \mathbb{R}\setminus \{-1,0,1\}.

    Calcul de \frac{d}{dx} \{ \Lambda \} ?

    <\frac{d}{dx} \{ \Lambda \}, \varphi> = -<\{\Lambda\},\varphi'> = - \int_\mathbb{R} \Lambda(x) \varphi'(x) dx
    = - \int_{-1}^1 (1-\left|x\right|) \varphi'(x) dx
    = -\int_{-1}^0 (1+x) \varphi'(x) dx - \int_0^1 (1-x)\varphi'(x) dx
    \underset{IPP}{=} -[(1+x)\varphi(x)]_{-1}^0 + \int_{-1}^0 \varphi(x) dx - [(1-x)\varphi(x)]_0^1 + \int_0^1 (-1)\varphi(x) dx
    = -\varphi(0) + \varphi(0) + \int_{-1}^0 \varphi(x) dx + \int_0^1 (-1) \varphi(x)dx
    = \int_\mathbb{R} \Lambda'(x) \varphi(x) dx = <\{\Lambda'\} , \varphi>

    Ainsi \frac{d\{ \Lambda \}}{dx} = \{ \Lambda' \}.

Formule des sauts

DéfinitionThéorème

I intervalle ouvert de \mathbb{R}. I = ]a_0,a_N[, avec a_0, a_N \in \mathbb{R}. Soit a_1 ... a_{N-1} tel que a_0 < a_1 < ... < a_{N-1} < a_N.

Si f \in \mathcal C^1(]a_i,a_{i+1}[), pour tout i = 0, N-1, et si pour tout tout i=1,N-1, f admet une limite à gauche en a_i (notée f(a_i - 0)) et une limite à droite en a_i (notée f(a_i+0)).

Alors :

\frac{d \{ f\}}{dx} = \{ f' \} + \sum_{i=1}^{N-1} \sigma_f(a_i) \delta_{a_i}

  • f' est dérivée de f définie sur chaque ]a_i,a_{i+1}[, \forall i = 1,N-1 (f' est définie sur ]a_0,a_N[\setminus\{a_1,...,a_{N-1}\})
  • \sigma_f (a_i) = f(a_i + 0) - f(a_i - 0), ``saut de f en a_i, si f est continue en a_i, \sigma_f(a_i) = 0).
  • \delta_{a_i} : \varphi \mapsto \varphi(a_i)


Convergence et dérivation dans \mathcal D'(I)

DéfinitionThéorème

L'application \begin{array}{rl} \mathcal D'(I) & \to \mathcal D'(I) \\ T & \mapsto \frac{dT}{dx} \end{array} est linéaire et continue.

C'est à dire : Si T_n \underset{\mathcal D'}{\longrightarrow} T, alors \frac{dT_n}{dx} \underset{\mathcal D'}{\longrightarrow} \frac{dT}{dx}.


Si \sum T_n est une série convergente dans \mathcal D'(I) alors

\frac{d}{dx} \sum_{n=0}^{+\infty} T_n = \sum_{n=0}^{+\infty} \frac{dT_n}{dx}

T_n = c_n \{e^{inx}\}, c_n \in \mathbb{C} tel que \left|c_n\right| \leq (1+\left|n\right|)^p, \forall n, p \in \mathbb{N} fixé.

Montrer que :

  1. \sum T_n converge dans \mathcal D'(\mathbb{R})
  2. Calculer \frac{d}{dx}(\sum T_n).
  1. \sum T_n converge dans \mathcal D' \Leftrightarrow \sum <T_n,\varphi> converge dans \mathbb{C}. \forall \varphi \in \mathcal D(\mathbb{R})
    <T_n,\varphi> = <c_n\{e^{inx}\}, \varphi> = c_n \int_{-\infty}^{+\infty} e^{inx} \varphi(x) dx
    = c_n \left( \left[ \frac{e^{inx}}{in} \varphi(x)\right]_{-\infty}^{+\infty} - \frac{1}{in} \int_{-\infty}^{+\infty} e^{inx} \varphi'(x) dx \right)
    = -\frac{c_n}{in} \int_{-\infty}^{+\infty} e^{inx} \varphi'(x) dx = \frac{(-1)^{p+2} c_n}{i^{p+2}n^{p+2}} \int_{-\infty}^{+\infty} e^{inx} \varphi^{(p+2)}(x)dx
    \left|<T_n,\varphi>\right| \leq \frac{\left|c_n\right|}{\left|n\right|^{p+2}} \underbrace{\int_{-\infty}^{+\infty} \left|\varphi^{(p+2)}(x)\right|dx}_{C}
    = \frac{(1+\left|n\right|)^p}{\left|n\right|^{p+2}} C = \frac{C'}{\left|n\right|^2}

    \sum \frac{1}{\left|n\right|^2} converge donc \sum \left|<T_n, \varphi>\right| converge :

  2. \frac{d}{dx}(\sum T_n) = \sum \frac{dT_n}{dx}
    \frac{d}{dx}\sum_{n\in \mathbb{Z}} c_n \{e^{inx}\} = \sum_{n\in \mathbb{Z}} c_n in \{ e^{inx}\}
    \frac{dT_n}{dx} = c_n \frac{d}{dx} \{ e^{inx}\}
    = c_n \{(e^{inx})'\}
    = c_n \{ in e^{inx}\}

Soit (f_n) une suite de fonctions de L_{loc}^1(I), f \in L_{loc}^1(I) tel que :

f_n \overset{L_{loc}^1}{\longrightarrow} f \quad\textrm{(convergence\,forte)}

\Leftrightarrow \forall K compact \subset I, \left\|f-f_n\right\|_{L^1(K)} \underset{n\to +\infty}{\longrightarrow} 0

Alors :

  1. \{f_n\} \underset{\mathcal D'}{\longrightarrow} \{ f\}, convergence faible
  2. \frac{d}{dx} \{ f_n\} \underset{\mathcal D'}{\longrightarrow} \frac{d}{dx} \{ f \}


DéfinitionProposition

T \in \mathcal D'(I),

\frac{dT}{dx} = 0 \Rightarrow \exists C \in \mathbb{C}, \, T = \{ c\}
c : I \to \mathbb{R} tel que c(x) = C et \{c\} : \varphi \mapsto  <\{c\},\varphi> = \int c \varphi = c \int \varphi

Multiplication d'une distribution par une fonction C^\infty

f \in L_{loc}^1(I), g \in \mathcal C^\infty (I). fg \in L_{loc}^1 car si K compact \subset I,

\int_K \left|fg\right| \leq \sup\limits_{x\in K}^{} \left|g(x)\right| \times \underbrace{\int_K \left|f\right|}_{< + \infty} < + \infty

\varphi \in \mathcal D(I),

<\{gf\},\varphi> = \int_I gf \varphi = \int_I f (g\varphi) \underset{?}{=} <\{f\}, g \varphi>
DéfinitionProposition Si \varphi \in \mathcal D(I), g \in C^\infty(I) alors g \varphi \in \mathcal D(I)


Définition propriété

Soit T \in \mathcal D'(I), g \in \mathcal C^\infty(I).

\forall \varphi \mathcal (I), on pose : <gT, \varphi> = <T,\underbrace{g\varphi}_{\in \mathcal D(I)}>

Alors gT \in \mathcal D'(I).


Exemples

  1. f \in L_{loc}^1(\mathbb{R}), g \in \mathcal C^\infty(\mathbb{R}), g\{f\} = \{gf\}
  2. Dans \mathcal D'(\mathbb{R}).

    Soit \varphi \in \mathcal D(\mathbb{R}).

    • <x\delta,\varphi> = <\delta, x\varphi> = 0 \times \varphi(0) = 0, x\delta = 0
    • <g\delta, \varphi> = <\delta, g\varphi> = \underbrace{g(0)}_{\in \mathbb{C}} \varphi(0) = g(0) <\delta, \varphi>
    • g\delta_a = g(a) \delta
    • g\left(\sum \delta_n\right) \underset{?}{=}


      <g\left(\sum \delta_n\right),\varphi> = <\sum \delta_n , g \varphi>
      = \sum_n g(n) \varphi(n)
      = \sum_n g(n) <\delta_n,\varphi>

      donc \sum g(n)\delta_n \in \mathcal D'(\mathbb{R}) et \sum_n g(n) \delta_n = g(\sum \delta_n) \Rightarrow Base de l'échantillonnage.

      <x \delta', \varphi> = <\delta',x \varphi> = - <\delta, (x\varphi)'>
      = -<\delta, \varphi+x \varphi'>
      = -(\varphi(0) + 0 \times \varphi'(0))
      = - \varphi(0) = - <\delta, \varphi>

      Donc x \varphi' = -\delta

    • <V_p (\frac 1x),\varphi> = \lim_{\varepsilon \to 0^+} \int _{\left|x\right| \geq \varepsilon} \frac{\varphi(x)}{x} dx

Convolution d'une distribution avec une fonction test

Rappel

Soit f : \mathbb{R} \to \mathbb{C} et \varphi : \mathbb{R} \to \mathbb{C}.

On a que x \in \mathbb{R}, (f\star \varphi) (x) = \int_{-\infty}^{+\infty} f(y) \varphi(x-y) dy.

On a déjà vu que  :

  • Si f, \varphi \in L^1(\mathbb{R}), alors (f\star \varphi) \in L^1(\mathbb{R})
  • Si f, \varphi \in L^2(\mathbb{R}), alors f \star \varphi \in L^\infty (\mathbb{R})
  • Si f \in L_{loc}^1(\mathbb{R}), \varphi \in \mathcal D(\mathbb{R}).

    Soit x \in \mathbb{R} fixé. \varphi_x : y \mapsto \varphi(x-y) alors

    • \varphi_x \in \mathcal C^\infty(\mathbb{R})
    • \mathrm{supp}\,\varphi_x = \{y \in \mathbb{R}, x-y \in \mathrm{supp}\, \varphi\} = \{x-y ; z\in \mathrm{supp}\, \varphi\} = fermé borné donc compact.

    Soit K_x = \mathrm{supp}\, \varphi_x compact et (f\star \varphi)(x) = \int_{K_x} f(y) \varphi_x(y) dy

    \int_{K_x} \left|f(y)\right|\left|\varphi_x(y)\right| \leq \left\|\varphi\right\|_{\infty} \times \int_{K_x}\left|f\right|

    Conclusion : Si f \in L_{loc}^1(\mathbb{R}) et \varphi \in \mathcal D(\mathbb{R}), x \mapsto (f\star \varphi)(x) est définie sur \mathbb{R}.

    (f\star \varphi)(x) = <\{f\},\varphi_x>
    = <\{ f \}, \varphi(x-\bullet)>

Définition et propriétés

DéfinitionDéfinition

T \in \mathcal D'(\mathbb{R}) et \varphi\in\mathcal D(\mathbb{R}). On définit T\star \varphi par :

\forall x \in \mathbb{R}, \,(T\star \varphi)(x) = <T, \varphi(x-\bullet)>
\varphi(x-\bullet) : y \mapsto \varphi(x-y)

Remarque : \varphi(x-\bullet) \in \mathcal D(\mathbb{R}) donc pas de problème de définition.

DéfinitionThéorème

(T\star \varphi) est un fonction \mathcal C^\infty sur \mathbb{R} et :

\forall k \in \mathbb{N},\; (T\star \varphi)^{(k)} = \left( \frac{d^kT}{dx^k}\star \varphi\right)
= T \star \varphi^{(k)}


Remarque :

<T, \varphi'(x_0 - \bullet)> = <T, -\varphi_{x_0}'>
= <\frac{dT}{dx},\varphi_{x_0}>
= <\frac{dT}{dx},\varphi(x_0-\bullet)> = \left(\frac{dT}{dx} \star \varphi\right) (x_0)

\varphi_{x_0}(y) = \varphi(x_0-y), \varphi_{x_0}'(y) = - \varphi'(x_0-y)

  • (\delta \star \varphi)(x) = <\delta, \varphi(x-\bullet)> = \varphi(x), \delta \star \varphi = \varphi, \forall \varphi \in \mathcal D(\mathbb{R})
  • (\delta_a \star \varphi)(x) = <\delta_a, \varphi(x-\bullet)> = \varphi(x-a)