Distributions

Distributions
Matière	Analyse 2
Chapitre	2
Promo	Première Année
Date	2007
Professeur	V. Perrier
Auteur	L. Petit
PDF	Le Post'IT

La théorie des distributions est due aux travaux de Laurent Schwartz en 1947.

Le but est de donne un cadre théorique et rigoureux à des calculs formels effectués par Heaviside (1892) et Dirac (1926).

$\Pi(x) = \left\{ \begin{array}{ll} 1 & \textrm{si\,} - \frac 12 \leq x \leq \frac 12 \\ 0 & \textrm{sinon}\end{array}\right.$

Soit $n \in \mathbb{N}$, $\Pi_n(x) = n \Pi(nx)$.

À $x \in \mathbb{R}$ fixé, $\lim\limits_{n\to +\infty}^{} \Pi_n(x) = \left\{ \begin{array}{ll} 0 & \textrm{si\,} x \neq 0 \\ +\infty & \textrm{si\,} x = 0 \end{array} \right.$

Or on remarque que : $\int_{-\infty}^{+\infty} \Pi_n(x) dx = n \int_{-\infty}^{+\infty} \Pi(nx) dx = \int_{-\infty}^{+\infty} \Pi(x) dx = 1$. Ainsi on peut comparer $\Pi_n$ à une mesure de proba.

Les distributions englobent les fonctions et mesures de proba.

Applications :

1. ``Dériver des fonctions non dérivables. Chercher $u$ : $[0,1] \to \mathbb{R}$ telle que $u''(x) = f(x)$, où $f(x) = \left\{ \begin{array}{ll} 1 & \textrm{sur\,} [\frac 13, \frac 23] \\ 0 & \textrm{sur\,} [0,1] \setminus [\frac 13, \frac 23]\end{array}\right.$ On a que $u$ n'est pas deux fois dérivables. Remplaçons le problème par : $\left\{ \begin{array}{ll} \textrm{Trouver\,} u \in C^1([0,1])\\ u''(x) = 0 \textrm{\,si\,} x \in ]0,\frac 13[\\ u''(x) = 1 \textrm{\,si\,} x \in ]\frac 13, \frac 23[ \\ u''(x) = 0 \textrm{\,si\,} x \in ]\frac 23, 1[ u(0) = u(1) = 0 \end{array}\right.$

   Voyons les degrés de libertés, 2 par équation, et on perd 2 avec $u$ continue, 2 pour $u \in \mathcal C^1$ et 2 pour les conditions aux limites. On obtient la solution unique :

   $u(x) = \left\{ \begin{array}{ll} -\frac{x}{6} & \textrm{\,si\,} x \in [0,\frac 13] \\ \frac{1}{2}(x-\frac 13)(x-\frac 23) - \frac 13 & \textrm{\,si\,} x \in [\frac 13,\frac 23] \\ \frac{x-1}{6} & \textrm{\,si\,} x \in [\frac 23, 0] \end{array}\right.$

   La solution de ce problème n'est pas deux fois dérivables en $\frac 13$ et $\frac 23$ donc n'est pas une solution de $u''(x) = f(x)$ sur $[0,1]$. On a donc qu'une solution faible.

2. Donner un sens à des limites ou des sommes (intégrales) non convergentes :
   • $\lim \cos nx =$ ?
   • $\int_{-\infty}^{+\infty} e^{inx} dx =$ ?
   • $\sum \cos ux =$ ?

En fait, une distribution est une forme linéaire continue :

$T\, : \, \varphi \to \mathbb{C}$

L'espace des fonctions tests

Sur $\mathbb{R}$, $I$ : intervale ouvert de $\mathbb{R}$.

Définition de $\mathcal D(I)$ (ensemble des fonctions tests)

Définition $\mathcal D(I) = \left\{ \varphi : I \to \mathbb{C} \,;\, \varphi \in \mathcal C^\infty(I) \textrm{\,et\,} \mathrm{supp}\, \varphi \textrm{\,compact} \subset I\right\}$ On rappelle que $\mathrm{supp}\, \varphi = \overline{ \{ x \in I \,;\, \varphi(x) \neq 0 \} }$

Remarque : $\mathrm{supp}\, \varphi$ est toujours fermé, donc $\mathrm{supp}\, \varphi$ compact $\Leftrightarrow \mathrm{supp}\, \varphi$ borné.

$\eta(x) = \left\{ \begin{array}{ll} \exp\left( \frac{1}{x^2 - 1} \right) & \textrm{si\,} \left|x\right| < 1 \\ 0 & \textrm{si\,} \left|x\right| \geq 1 \end{array}\right.$

Et $\eta \in \mathcal D(\mathbb{R})$, à voir en TD. Remarque : $\eta \not\in \mathcal D(]-1,1[)$ mais $\in \mathcal D\left(]-1-\varepsilon,1+\varepsilon[\right)$, $\varepsilon > 0$.

Théorème

$K$ compact $\subset I$,

Alors $\exists \varphi \in \mathcal D(I)$ telle que :

$\left\{ \begin{array}{ll} \varphi(x) = 1 & \textrm{si\,} x \in K \\ 0 \leq \varphi(x) \leq 1 & \forall x \in I \end{array}\right.$

Densité

• $\mathcal D(I)$ est dense dans $L^1(I)$ ($\forall \varepsilon > 0$, $\forall f\in L^1(I)$, $\exists \varphi \in \mathcal D(I), \left\|f - \varphi\right\|_{L^1} < \varepsilon$)
• $\mathcal D(I)$ est dense dans $L^2(I)$

  ($\forall \varepsilon > 0$, $\forall f\in L^2(I)$, $\exists \varphi \in \mathcal D(I), \left\|f - \varphi\right\|_{L^2} < \varepsilon$)

Convergence dans $\mathcal D(I)$

Pour chaque compact $K$ de $\mathbb{R}$ ($K \subset I$), on définit :

$\mathcal D_K(I) = \left\{ \varphi \in \mathcal D(I) ; \mathrm{supp}\, \varphi \subset K \right\}$

Définition

Soit $(\varphi_n)_{n \in \mathbb{N}}$ une suite de $\mathcal D_K(I)$ et soit $\varphi \in \mathcal D_K(I)$.

On dit que $\varphi_n \underset{\mathcal D_K(I)}{\longrightarrow} \varphi$ (ou $\lim\limits_{\mathcal D_K(I)}^{} \varphi_n = \varphi$) si

$\forall p \in \mathbb{N},\;\left\|\varphi_n^{(p)} - \varphi^{(p)}\right\|_{\infty,K} \underset{n\to +\infty}{\longrightarrow} 0$ où $\left\|f\right\|_{\infty,K} = \sup\limits_{x \in K}^{} \left|f(x)\right|$.

Définition d'une distribution

Définition

Définition $\begin{array}{rccl} T : & \mathcal D(I) & \to & \mathbb{C} \\ & \varphi & \mapsto & T(\varphi) \quad (\textrm{note\,} <T,\varphi>) \end{array}$

est une distribution si $T$ est linéaire, continue au sens suivant :

$(\star)$ Pour tout compact $K \subset I$, $\forall (\varphi_n)$ suite de $\mathcal D_K(I)$,

$\varphi_n \underset{\mathcal D_K(I)}{\longrightarrow} 0 \Rightarrow < T , \varphi_n > \underset{n\to +\infty}{\longrightarrow} 0 \quad \textrm{(dans\,} \mathbb{C})$ L'espace des distributions est noté $\mathcal D'(I)$.

Remarque : $(\star) \Leftrightarrow \varphi_n \underset{\mathcal D_K(I)}{\longrightarrow} \varphi \Rightarrow \lim\limits_{n\to+\infty}^{} <T,\varphi_n> = <T, \varphi> = <T,\lim \varphi_n>$

Exemples

Masse de Dirac : $\delta$ :

$\begin{array}{rccl} \delta : & \mathcal D(\mathbb{R}) & \to & \mathbb{C} \\ & \varphi & \mapsto & \varphi(0)\end{array}$

Linéarité : OK, continuité :

$(\star)$ $K$ compact de $\mathbb{R}$. Soit $(\varphi_n) \in \mathcal D_K$ tel que $\varphi \underset{\mathcal D_K(I)}{\longrightarrow} 0$.

Montrer que $<T,\varphi_n> \underset{n\to +\infty}{\longrightarrow} 0$.

$\left|<T,\varphi_n>\right| = \left|\varphi_n(0)\right| \leq \left\|\varphi_n\right\|_{\infty,K} \underset{n\to +\infty}{\longrightarrow} 0$

donc $\delta$ est continue et $\delta \in \mathcal D'(\mathbb{R})$ $a \in \mathbb{R}$ $\delta_a : \varphi \mapsto \varphi(a) \in \mathcal D'(\mathbb{R})$ ``Dérivé $p$-ème de $\delta$, $p \in \mathbb{N}$,

$\delta^{(p)} : \varphi \mapsto <\delta^{(p)} , \varphi> = (-1)^p \varphi^{(p)}(0) \in \mathcal D'(\mathbb{R})$

Distributions - fonctions

Introduisons un nouvel espace :

$L_{loc}^1(I) = \left\{ f : I \to \mathbb{C} / \forall K \textrm{\,compact} \subset I, \; \int_K \left|f\right| < +\infty\right\}$

• $L^1(I) \subset L_{loc}^1(I)$
• $C^0(I) \subset L_{loc}^1(I)$
• $L^\infty(I) \subset L_{loc}^1(I)$

  car si $f \in L^\infty(I)$, $\int_K \left|f\right| \leq \left\|f\right\|_{L^\infty} \times \underbrace{\textrm{mes}(K)}_{<+\infty} < + \infty$.

  Soit $f \in L_{loc}^1(I)$. On associe à $f$, l'application :

  $\begin{array}{rrcl}\{f\} : & \mathcal D(I) & \to & \mathbb{C} \\ & \varphi & \mapsto & <\{ f \}, \varphi > = \int_I f(x) \varphi(x) dx\end{array}$

Proposition Si $f \in L_{loc}^1(\mathbb{R})$, $\{f\} \in \mathcal D'(I)$.

Démonstration

• $\{f\}$ est définie sur $\mathcal D(I)$. Soit $\varphi \in \mathcal D(I)$. Alors $K = \mathrm{supp}\,(\varphi)$ est compact. Donc $<\{f\}, \varphi > = \int_I f\varphi = \int_K f \varphi$. On a : $\int_K \left|f\varphi\right| \leq \left\|\varphi\right\|_{\infty,K} \underbrace{\int_K \left|f\right|}_{<+\infty \textrm{\,car\,} f \in L_{loc}^1} < +\infty$.
• $\{f\}$ est linéaire $(\varphi \mapsto \int_I f \varphi)$ par linéarité de l'intégrale.
• $\{f\}$ est continue ?

  Soit $K \subset I$ et $\varphi_n \underset{\mathcal D_K(I)}{\longrightarrow} 0$ et ce $\forall n$, $\mathrm{supp}\,\varphi_n \subset K$.

  Montrons $<\{f\} , \varphi_n > \underset{n\to +\infty}{\longrightarrow} 0$.

  $\left|<\{f\},\varphi_n>\right| = \left|\int_I f \varphi_n \right| \leq \int_K \left|f\varphi_n\right| \leq \left\|\varphi_n\right\|_{\infty,K} \times \int_K \left|f\right|$

  $\varphi_n \underset{\mathcal D_K(I)}{\longrightarrow} 0$ donc en particulier $\left\|\varphi_n\right\|_{\infty,K} \underset{n\to +\infty}{\longrightarrow} 0$ donc $\lim\limits_{n\to+\infty}^{} <\{f\},\varphi_n> = 0$ et $\{f\}$ continue.

Théorème L'application : $\begin{array}{rcl} L_{loc}^1 (I) & \to & \mathcal D'(I) \\ f & \mapsto & \{f\} \end{array}$ est linéaire, injective.

Démonstration

• Linéarité : $f_1$, $f_2 \in L_{loc}^1(I)$, $\lambda \in \mathbb{C}$. alors $f_1 + \lambda f_2 \in L_{loc}^1(I)$. $<\{f_1 + \lambda f_2\},\varphi> = \int_I (f_1+\lambda f_2) \varphi = \int_I f_1 \varphi+ \lambda \int_I f_2 \varphi = <\{f_1\}, \varphi> + \lambda <\{f_2\},\varphi>$

  donc $\{f_1+\lambda f_2\} = \{f_1\} + \lambda\{f_2\}$.

• Injectivité : admise !

  On a : $\forall f_1, f_2 \in L_{loc}^1(I)$ $\{f_1\} = \{f_2\} \Rightarrow f_1 = f_2$ presque partout en $x \in I$

  $\Leftrightarrow \{f\} = 0 (\forall \varphi \in \mathcal D(I), \int f \varphi = 0) \Rightarrow f = 0$ p.p.

  $\Leftrightarrow f_1 \neq f_2$ dans $L_{loc}^1 \Rightarrow \{ f_1\} \neq \{ f_2\}$

Distribution dans $\mathbb{R}^n$

Soit $\Omega$ ouvert de $\mathbb{R}^n$.

Fonctions test : $\mathcal D(\Omega)$

Pour $\varphi$ continue ; $\mathrm{supp}\, \varphi = \overline{\{x \in \Omega / \varphi(x) \neq 0\}}$.

$\varphi \in \mathcal D(\Omega) \Leftrightarrow \varphi$ est $\mathcal C^\infty(\Omega)$ et $\mathrm{supp}\,\varphi$ compact.

$\varphi$ est $\mathcal C^\infty(\Omega) \Leftrightarrow$ existence des dérivées partielles à tout ordre.

Notation : $x = (x_1, x_2, ... , x_n) \in \Omega$ et $\alpha = (\alpha_1, \alpha_2, ... , \alpha_n) \in \mathbb{N}^n$, $\left|\alpha\right| = \alpha_1 + \alpha_2 + ... + \alpha_n$.

$\partial^\alpha \varphi = \frac{\partial^{\left|\alpha\right|} \varphi}{\partial x_1^{\alpha_1} \partial x_2^{\alpha_2} ... \partial x_n^{\alpha_n}}$

Soit $K$ compact $\subset \Omega$. $\mathcal D_K(\Omega) = \{ \varphi \in \mathcal D(\Omega) / \mathrm{supp}\,\varphi \subset K \}$.

Soit, $(\varphi_k)$ et $\varphi \in \mathcal D_K(\Omega)$. On dit que $\varphi_k \underset{\mathcal D_K(I)}{\longrightarrow} \varphi$.

Si $\forall \alpha \in \mathbb{N}^n, \quad \left\|\partial^\alpha (\varphi_k - \varphi)\right\|_{\infty,K} \underset{n\to +\infty}{\longrightarrow} 0$.

Définition

est une distribution si $T$ est linéaire, continue au sens suivant. $\forall K$ compact $\subset \Omega$, $\forall \varphi_n \in \mathcal D_K(\Omega)$

$\varphi_n \underset{\mathcal D_K(I)}{\longrightarrow} 0 \Rightarrow <T,\varphi_n> \underset{n\to +\infty}{\longrightarrow} 0$

Convergence des distributions

$\mathcal D'(I)$. $I$ intervalle ouvert de $\mathbb{R}$. $T_n \underset{\mathcal D'}{\longrightarrow} T$ ?

La convergence dans $\mathcal D'$ est la convergence simple des applications linéaires.

Définition

Définition

$(T_n)$ suite d'éléments de $\mathcal D'(I)$, $T \in \mathcal D'(I)$. On dit que $T_n \underset{\mathcal D'}{\longrightarrow} T$ si

$\forall \varphi \in \mathcal D(I), \qquad <T_n, \varphi> \underset{n\to +\infty}{\longrightarrow} <T,\varphi> \textrm{\,(limite\,dans\,} \mathbb{C} \textrm{\,)}$

Théorème

Théorème

Soit $(T_n)$ une suite de $\mathcal D'(I)$ vérifiant :

$\forall \varphi \in \mathcal D(I),\; \exists l_\varphi \in \mathbb{C} \textrm{\,tel\,que\,:\,}$

$\lim_{n\to+\infty} <T_n,\varphi> = l_\varphi$

Alors :

est une distribution (linéaire + continue).

Démonstration

• Linéaire de $T$ : linéarité de la limite
• Continuité (admis) : Théorème de Banach-Steinhaus. La limite simple d'une suite d'applications linéaires continues définit sur un espace métrisable complet $(\mathcal D_K(I))$ est linéaire continue.

Remarque : Si $(f_n)$ est une suite de fonctions continues par exemple de $\mathbb{R} \to \mathbb{R}$.

Soit $f$ la limite simple de $(f_n)$ (supposée existante) : $\forall x \in \mathbb{R}$, $f(x) = \lim\limits_{n \to +\infty}^{} f_n(x)$

Alors $f$ n'est pas continue en général ($\to$ il faut la c.v. uniforme).

Exemples

1. $T_n = \{ e^{inx} \}$. Montrez que $T_n \in \mathcal D'(\mathbb{R})$ et quelle est $\lim T_n$ ? $x \mapsto e^{inx}$ continue donc $\in L_{loc}^1(\mathbb{R})$. Donc $T_n \in \mathcal D'(\mathbb{R})$ $\varphi \in \mathcal D(\mathbb{R})$, $<T_n, \varphi> = \int_\mathbb{R} e^{inx} \varphi(x) dx \underset{n\to +\infty}{\longrightarrow} 0$ (lemme de Riemann-Lebesgue).
2. Peigne de Dirac : $\sum_{n\in \mathbb{Z}} \delta_n$ ?

   On a pose : $T_N = \sum_{-N}^N \delta_n$.

   $\delta \in \mathcal D'(\mathbb{R})$, (déjà vu). $T_N$ : somme finie d'éléments de $\mathcal D'(\mathbb{R})$ donc $T_N \in \mathcal D'(\mathbb{R})$.

   $\varphi \in \mathcal D(\mathbb{R})$ : $<T_N,\varphi> = \sum_{-N}^N < \delta_n , \varphi> = \sum_{-N}^N \varphi(n)$.

   $\mathrm{supp}\, \varphi$ est borné donc $\exists p \in \mathbb{N}$ tel que $\varphi(n) = 0$, $\forall n \in x$, $\left|n\right| > p$ donc

   $\sum_{n=-N}^N \varphi(n) \underset{_\to N}{\longrightarrow}^{+\infty} \sum_{n=-p}^p \varphi(n) = \sum_{n\in \mathbb{Z}} \varphi(n) = l_\varphi$

   donc $\forall \in \mathcal D(\mathbb{R})$, $<T_n, \varphi> \underset{n\to +\infty}{\longrightarrow} l_\varphi = \sum_{n\in \mathbb{Z}} \varphi(n) \in \mathbb{C}$

3. $\rho \in \mathcal D(\mathbb{R})$, $\int_\mathbb{R} \rho = 1$. $n \in \mathbb{N}$, $\rho_n(x) = n \rho(nx)$. Montrer que $\rho_n \underset{\mathcal D'}{\longrightarrow} \delta$.
   • $\rho_n$ continue donc $\rho_n \in L_{loc}^1$ et $\{\rho_n\} \in \mathcal D'(\mathbb{R})$
   • $\varphi\in \mathcal D(\mathbb{R})$ $<\{\rho_n\}, \varphi> = \int_\mathbb{R} n \rho(nx) \varphi(x) dx = \int_\mathbb{R} \rho(y) \varphi\left(\frac yn\right) dy$

     On applique la convergence dominé :

     • $\lim\limits_{n \to +\infty}^{} \rho(y) \varphi( \frac yn ) = \rho(y) \varphi(0)$, car $\varphi$ est continue en $0$.
     • $\left|\rho(y)\varphi(\frac yn) \right|\leq \left\|\varphi\right\|_\infty.\left|\rho(y)\right| \in L^1(\mathbb{R})$

     On a donc $<\{\rho_n\},\varphi> \underset{n\to +\infty}{\longrightarrow} \varphi(0) \int_\mathbb{R} \rho = \varphi(0) = <\delta,\varphi>$, d'où $\rho_n \underset{\mathcal D'}{\longrightarrow} \delta$

Dérivation des distributions

Si $f \in \mathcal C^1(\mathbb{R})$, $\{f\} : \varphi \mapsto <\{f\},\varphi> = \int_I f \varphi$.

Donc $f' \in \mathcal C^0(\mathbb{R})$, alors $\{f'\} : \varphi \mapsto <\{f'\},\varphi> = \int_I f' \varphi$ or $\int_I f' \varphi \underset{IPP}{=} [f\varphi] - \int_I f \varphi' = - \int f \varphi' = - <\{f\}, \varphi'>$. $\mathrm{supp}\, \varphi \subset I$, donc $\varphi = 0$, sur $\partial I$.

Définitions

Définition

$I$ intervalle ouvert de $\mathbb{R}$. $T \in \mathcal D'(I)$.

On définit

$\begin{array}{rccl} \frac{dT}{dx} : & \mathcal D(I) & \to & \mathbb{C} \\ & \varphi & \mapsto & <\frac{dT}{dx},\varphi> = -<T,\varphi'>\end{array}$ Alors $\frac{dT}{dx} \in \mathcal D'(I)$

Démonstration

• Si $\varphi \in \mathcal D(I)$ ($\varphi \in \mathcal C^\infty(I)$ et $\mathrm{supp}\, \varphi$ compact $\subset I$) alors $\varphi ' \in \mathcal D(I)$. (car $\varphi'$ est $\mathcal C^\infty$ et $\mathrm{supp}\, \varphi' \subset \mathrm{supp}\, \varphi$) donc $\frac{dT}{dx}$ est bien défini.
• $\frac{dT}{dx}$ est linéaire.

  $<\frac{dT}{dx}, \varphi_1+\lambda \varphi_2> \underset{def}{=} - <T,(\varphi_1+\lambda \varphi_2)'> = - <T, \varphi_1' + \lambda \varphi_2'> = -<T, \varphi_1'> - \lambda <T,\varphi_2'> = <\frac{dT}{dx},\varphi_1>+\lambda <\frac{dT}{dx},\varphi_2>$

  donc $\frac{dT}{dx}$ est linéaire.

• $\frac{dT}{dx}$ continue ?

  Soit $K$ compact $\subset I$, $(\varphi_n) \in \mathcal D_K(I)$ tel que $\varphi_n \underset{\mathcal D_K(I)}{\longrightarrow} 0$.

  $\left|<\frac{dT}{dx},\varphi_n>\right| = \left|-<T,\varphi_n'>\right|$

  or $\varphi_n \underset{\mathcal D_K(I)}{\longrightarrow} 0 \Rightarrow \varphi_n' \underset{\mathcal D_K(I)}{\longrightarrow} 0$.

  $T$ est continue donc $\lim_{n\to +\infty} \left|<T,\varphi_n'>\right| = 0$ et $<\frac{dT}{dx},\varphi_n> \underset{n\to +\infty}{\longrightarrow} 0$ donc $\frac{dT}{dx}$ continue. Conclusion : $\frac{dT}{dx} \in \mathcal D'(I)$.

Définition

Dérivées $n^{ieme}$ :

$T \in \mathcal D'(I)$, $<\frac{d^n T}{dx^n}, \varphi> = (-1)^n <T, \varphi^{(n)}>$. $\forall \varphi \in \mathcal D(I)$

Dans $\mathbb{R}^n$

$\Omega$ ouvert de $\mathbb{R}^n$. $T \in \mathcal D'(\Omega)$. $\alpha \in \mathbb{N}^n$, $\alpha = (\alpha_1, ... , \alpha_n)$, $\left|\alpha\right| = \sum_{i=1}^n \alpha_i$

On définit $<\partial^\alpha T, \varphi> = (-1)^{\left|\alpha\right|} <T,\partial^\alpha \varphi>$.

Exemples

• $\frac{d\delta}{dx}$. $<\frac{d\delta}{dx},\varphi> = - <\delta,\varphi'> = -\varphi'(0) = <\delta',\varphi>$, $\varphi \in \mathcal D(\mathbb{R})$.
• $\varphi(x) = \left\{ \begin{array}{ll} 1 & \textrm{\,si\,} x \geq 0 \\ 0 & \textrm{\,si\,} x < 0 \end{array}\right.$

  Remarque : $\varphi$ est dérivable sur $\mathbb{R}_+^\star$ et $\mathbb{R}_-^\star$ et $\varphi'=0$ sur $\mathbb{R}_+^\star$ et $\mathbb{R}_-^\star$.

  $\frac{d}{dx} \{ \varphi \} = ???$

  $<\frac{d}{dx} \{ \varphi \} ,\varphi> = - <\{ \varphi \} , \varphi'> = - \int_0^{+\infty} \varphi'(x) dx = -[\varphi(x)]_0^{+\infty}$.

  $\varphi \in \mathcal D(\mathbb{R})$, $\exists M > 0$, $\mathrm{supp}\, \varphi \subset [-M, M]$ donc $\lim_{+\infty} \varphi = 0$ donc $\frac{d\{\varphi\}}{dx} = \delta$.

• $\mathcal D'(\mathbb{R}^2)$. $H(x,y) = \varphi(x) \varphi(y) = \left\{ \begin{array}{ll} 1 & \textrm{\,si\,} x \textrm{\,et\,} y \geq 0 \\ 0 & \textrm{\,sinon} \end{array}\right.$

  Quelle est sa dérivée ?

  $<\frac{\partial^2 \{ H\} }{\partial x \partial y} , \varphi>$	$=$	$< \{H\} , \frac{\partial^2 \varphi}{\partial x \partial y} >$
  	$=$	$\int_0^{+\infty}\int_0^{+\infty} \frac{\partial ^2 \varphi}{\partial x \partial y} (x,y) dx dy$
  	$=$	$\int_0^{+\infty} \left[ \frac{\partial \varphi}{\partial y} (x,y)\right]_0^{+\infty} dy$
  	$=$	$- \int_0^{+\infty} \frac{\partial \varphi}{\partial y} (0,y) dy \qquad \textrm{\,car\,} \frac{\partial \varphi}{\partial y} \textrm{\,a\,support\,compact\,!}$
  	$=$	$- \left[ \varphi(0,y) \right] _{y=0}^{+\infty} = \varphi(0,0)$
  	$=$	$< \delta_{(0,0)},\varphi> \quad \textrm{\,ou\,} \delta_{(0,0)} : \varphi \mapsto \varphi(0,0)$

• Si $f \in \mathcal C^1(\mathbb{R})$. Alors $\frac{d}{dx} \{ f \} = \{ f' \}$
  Démonstration

  $\varphi \in \mathcal D(\mathbb{R})$

  $<\frac{d}{dx} \{ f \} , \varphi >$	$=$	$- < \{ f\} , \varphi'>$
  	$=$	$- \int_\mathbb{R} f\varphi' \underset{IPP}{=} - [f \varphi]_{-\infty}^{+\infty} + \int f' \varphi$
  	$=$	$\int_\mathbb{R} f' \varphi = <\{ f' \} , \varphi>$

  Généralisation : Si $f \in C^p (\mathbb{R})$, $\frac{d^p}{dx^p} \{ f\} = \{f^{(p)}\}$.

• $\Lambda (x) = \left\{ \begin{array}{ll} 1 - \left|x\right| & \textrm{\,si\,} x \in [-1,1] \\ 0 & \textrm{\,sinon} \end{array}\right.$

  $\Lambda$ est continue sur $\mathbb{R}$, dérivable sur $]-\infty,1[$, $]-1,0[$, $]0,1[$ et $]1,+\infty[$ et on a :

  $\Lambda'(x) = \left\{ \begin{array}{ll} 0 & \textrm{\,si\,} x \in ]-\infty,-1[ \\ 1 & \textrm{\,si\,} x \in ]-1,0[ \\ -1 & \textrm{\,si\,} x \in ]0,1[ \\ 0 & \textrm{\,si\,} x \in ]1,+\infty[ \end{array}\right.$

  Définit sur $\mathbb{R}\setminus \{-1,0,1\}$.

  Calcul de $\frac{d}{dx} \{ \Lambda \}$ ?

  $<\frac{d}{dx} \{ \Lambda \}, \varphi>$	$=$	$-<\{\Lambda\},\varphi'> = - \int_\mathbb{R} \Lambda(x) \varphi'(x) dx$
  	$=$	$- \int_{-1}^1 (1-\left|x\right|) \varphi'(x) dx$
  	$=$	$-\int_{-1}^0 (1+x) \varphi'(x) dx - \int_0^1 (1-x)\varphi'(x) dx$
  	$\underset{IPP}{=}$	$-[(1+x)\varphi(x)]_{-1}^0 + \int_{-1}^0 \varphi(x) dx - [(1-x)\varphi(x)]_0^1 + \int_0^1 (-1)\varphi(x) dx$
  	$=$	$-\varphi(0) + \varphi(0) + \int_{-1}^0 \varphi(x) dx + \int_0^1 (-1) \varphi(x)dx$
  	$=$	$\int_\mathbb{R} \Lambda'(x) \varphi(x) dx = <\{\Lambda'\} , \varphi>$

  Ainsi $\frac{d\{ \Lambda \}}{dx} = \{ \Lambda' \}$.

Formule des sauts

Théorème

$I$ intervalle ouvert de $\mathbb{R}$. $I = ]a_0,a_N[$, avec $a_0$, $a_N \in \mathbb{R}$. Soit $a_1 ... a_{N-1}$ tel que $a_0 < a_1 < ... < a_{N-1} < a_N$.

Si $f \in \mathcal C^1(]a_i,a_{i+1}[)$, pour tout $i = 0, N-1$, et si pour tout tout $i=1,N-1$, $f$ admet une limite à gauche en $a_i$ (notée $f(a_i - 0)$) et une limite à droite en $a_i$ (notée $f(a_i+0)$).

Alors :

$\frac{d \{ f\}}{dx} = \{ f' \} + \sum_{i=1}^{N-1} \sigma_f(a_i) \delta_{a_i}$

où

• $f'$ est dérivée de $f$ définie sur chaque $]a_i,a_{i+1}[$, $\forall i = 1,N-1$ ($f'$ est définie sur $]a_0,a_N[\setminus\{a_1,...,a_{N-1}\}$)
• $\sigma_f (a_i) = f(a_i + 0) - f(a_i - 0)$, ``saut de $f$ en $a_i$, si $f$ est continue en $a_i$, $\sigma_f(a_i) = 0$).
• $\delta_{a_i} : \varphi \mapsto \varphi(a_i)$

Démonstration

$I = ]a_0,a_2[$, $f \in \mathcal C^1$ sur $]a_0,a_1[$ et $]a_1,a_2[$. $a_0<a_1<a_2$.

$<\frac{d\{f\}}{dx},\varphi>$	$=$	$- < \{ f \} , \varphi' > = - \int_{a_0}^{a_1} f \varphi'$
	$=$	$- \int_{a_0}^{a_1} f \varphi' - \int_{a_1}^{a_2} f \varphi'$
	$=$	$- [f \varphi]_{a_0}^{a_1} + \int_{a_0}^{a_1} f' \varphi - [f\varphi]_{a_1}^{a_2} + \int_{a_1}^{a_2} f' \varphi$
	$=$	$- \varphi(a_1) f(a_1 - 0) + \varphi(a_1) f(a_1 + 0) + \int_{a_0}^{a_2} f' \varphi$
	$=$	$\sigma_f(a_1) \times \underbrace{\varphi(a_1)}_{<\delta_{a_1},\varphi>} + <\{ f' \} , \varphi >$
	$=$	$< \{ f' \} + \sigma_f (a_1) \delta_{a_1}, \varphi>$

Convergence et dérivation dans $\mathcal D'(I)$

Théorème

L'application $\begin{array}{rl} \mathcal D'(I) & \to \mathcal D'(I) \\ T & \mapsto \frac{dT}{dx} \end{array}$ est linéaire et continue.

C'est à dire : Si $T_n \underset{\mathcal D'}{\longrightarrow} T$, alors $\frac{dT_n}{dx} \underset{\mathcal D'}{\longrightarrow} \frac{dT}{dx}$.

Démonstration

Hypothèse : $T_n \underset{\mathcal D'}{\longrightarrow} T \Leftrightarrow \forall \varphi \in \mathcal D(I)$, $<T_n,\varphi> \underset{n\to +\infty}{\longrightarrow} <T,\varphi>$.

Soit $\varphi \in \mathcal D(I)$,

$<\frac{dT_n}{dx},\varphi> = - <T_n ,\varphi'> \underset{n\to +\infty}{\longrightarrow} - <T,\varphi'> = <\frac{dT}{dx},\varphi>$

Donc $\frac{dT_n}{dx} \underset{\mathcal D'}{\longrightarrow} \frac{dT}{dx}$.

Si $\sum T_n$ est une série convergente dans $\mathcal D'(I)$ alors

$\frac{d}{dx} \sum_{n=0}^{+\infty} T_n = \sum_{n=0}^{+\infty} \frac{dT_n}{dx}$

Démonstration

$S_N = \sum_{n=0}^N T_n \in \mathcal D'(I)$. On a $S_N \underset{\mathcal D'}{\longrightarrow} S = \sum_{n=0}^{+\infty} T_n$. $\frac{dS_n}{dx} = \sum_{n=0}^N \frac{dT_n}{dx}$

D'après le théorème précédent, on a : $\frac{dS_N}{dx} \underset{\mathcal D'}{\longrightarrow} \frac{dS}{dx} = \frac{d}{dx}(\sum_{n=0}^{+\infty} T_n)$

donc la série de terme général $\frac{dT_n}{dx}$ converge dans $\mathcal D'(I)$ vers $\frac{d}{dx}(\sum T_n)$ donc $\sum \frac{dT_n}{dx} = \frac{d}{dx} (\sum T_n)$.

$T_n = c_n \{e^{inx}\}$, $c_n \in \mathbb{C}$ tel que $\left|c_n\right| \leq (1+\left|n\right|)^p$, $\forall n$, $p \in \mathbb{N}$ fixé.

Montrer que :

1. $\sum T_n$ converge dans $\mathcal D'(\mathbb{R})$
2. Calculer $\frac{d}{dx}(\sum T_n)$.

1. $\sum T_n$ converge dans $\mathcal D' \Leftrightarrow \sum <T_n,\varphi>$ converge dans $\mathbb{C}$. $\forall \varphi \in \mathcal D(\mathbb{R})$

   $<T_n,\varphi>$	$=$	$<c_n\{e^{inx}\}, \varphi> = c_n \int_{-\infty}^{+\infty} e^{inx} \varphi(x) dx$
   	$=$	$c_n \left( \left[ \frac{e^{inx}}{in} \varphi(x)\right]_{-\infty}^{+\infty} - \frac{1}{in} \int_{-\infty}^{+\infty} e^{inx} \varphi'(x) dx \right)$
   	$=$	$-\frac{c_n}{in} \int_{-\infty}^{+\infty} e^{inx} \varphi'(x) dx = \frac{(-1)^{p+2} c_n}{i^{p+2}n^{p+2}} \int_{-\infty}^{+\infty} e^{inx} \varphi^{(p+2)}(x)dx$
   $\left|<T_n,\varphi>\right|$	$\leq$	$\frac{\left|c_n\right|}{\left|n\right|^{p+2}} \underbrace{\int_{-\infty}^{+\infty} \left|\varphi^{(p+2)}(x)\right|dx}_{C}$
   		$= \frac{(1+\left|n\right|)^p}{\left|n\right|^{p+2}} C = \frac{C'}{\left|n\right|^2}$

   $\sum \frac{1}{\left|n\right|^2}$ converge donc $\sum \left|<T_n, \varphi>\right|$ converge :

2. $\frac{d}{dx}(\sum T_n)$	$=$	$\sum \frac{dT_n}{dx}$
   $\frac{d}{dx}\sum_{n\in \mathbb{Z}} c_n \{e^{inx}\}$	$=$	$\sum_{n\in \mathbb{Z}} c_n in \{ e^{inx}\}$
   $\frac{dT_n}{dx}$	$=$	$c_n \frac{d}{dx} \{ e^{inx}\}$
   	$=$	$c_n \{(e^{inx})'\}$
   	$=$	$c_n \{ in e^{inx}\}$

Soit $(f_n)$ une suite de fonctions de $L_{loc}^1(I)$, $f \in L_{loc}^1(I)$ tel que :

$f_n \overset{L_{loc}^1}{\longrightarrow} f \quad\textrm{(convergence\,forte)}$

$\Leftrightarrow \forall K$ compact $\subset I$, $\left\|f-f_n\right\|_{L^1(K)} \underset{n\to +\infty}{\longrightarrow} 0$

Alors :

1. $\{f_n\} \underset{\mathcal D'}{\longrightarrow} \{ f\}$, convergence faible
2. $\frac{d}{dx} \{ f_n\} \underset{\mathcal D'}{\longrightarrow} \frac{d}{dx} \{ f \}$

Démonstration

$1. \Rightarrow 2.$ : Théorème précédent.

$\varphi \in \mathcal D(I)$,

$\left|<\{f-f_n\}, \varphi>\right|$	$=$	$\left|\int_I(f-f_n)\varphi\right|$
	$=$	$\left|\int_K (f-f_n)\varphi\right|$
	$=$	$\left\|\varphi\right\|_\infty \int_K \left|f-f_n\right| \underset{n\to +\infty}{\longrightarrow} 0$

Soit $K = \mathrm{supp}\, \varphi$ compact.

Proposition

$T \in \mathcal D'(I)$,

$\frac{dT}{dx} = 0 \Rightarrow \exists C \in \mathbb{C}, \, T = \{ c\}$ où $c : I \to \mathbb{R}$ tel que $c(x) = C$ et $\{c\} : \varphi \mapsto <\{c\},\varphi> = \int c \varphi = c \int \varphi$

Multiplication d'une distribution par une fonction $C^\infty$

$f \in L_{loc}^1(I)$, $g \in \mathcal C^\infty (I)$. $fg \in L_{loc}^1$ car si $K$ compact $\subset I$,

$\int_K \left|fg\right| \leq \sup\limits_{x\in K}^{} \left|g(x)\right| \times \underbrace{\int_K \left|f\right|}_{< + \infty} < + \infty$

$\varphi \in \mathcal D(I)$,

$<\{gf\},\varphi> = \int_I gf \varphi = \int_I f (g\varphi) \underset{?}{=} <\{f\}, g \varphi>$

Proposition Si $\varphi \in \mathcal D(I)$, $g \in C^\infty(I)$ alors $g \varphi \in \mathcal D(I)$

Démonstration

• $g \varphi \in \mathcal C^\infty$ (produit de 2 fonctions $\mathcal C^\infty$)
• $\mathrm{supp}\,(g\varphi) \subset \mathrm{supp}\, \varphi$ donc $\mathrm{supp}\,(g \varphi)$ compact.

Définition propriété

Soit $T \in \mathcal D'(I)$, $g \in \mathcal C^\infty(I)$.

$\forall \varphi \mathcal (I)$, on pose : $<gT, \varphi> = <T,\underbrace{g\varphi}_{\in \mathcal D(I)}>$

Alors $gT \in \mathcal D'(I)$.

Démonstration

• $gT$ est linéaire :

  $<gT,\varphi_1+\lambda \varphi_2>$	$=$	$<T,g(\varphi_1+\lambda \varphi_2)>$
  	$=$	$<T, g\varphi_1> + \lambda <T, g \varphi_2>$
  	$=$	$<g T , \varphi_1> + \lambda<gT,\varphi_2>$

• Montrons que $gT$ est continue. Soit $K$ compact $\subset I$, et $\varphi_n \underset{\mathcal D_K(I)}{\longrightarrow} 0$.

  $<gT, \varphi_n> = <T,g\varphi_n>$.

  Montrons que $gT_n \underset{\mathcal D_K(I)}{\longrightarrow} 0$, c'est à dire, montrons $\forall p \geq 0$, $\left\|(g\varphi_n)^{(p)}\right\|_{\infty,K} \underset{n\to +\infty}{\longrightarrow} 0$

  $x \in K$, $(g\varphi_n)^{(p)}(x) = \sum_{k=0}^p \binom pk g^{(p-k)}(x) \varphi_n^{(k)}(x)$

  À $p$ fixé :

  $\left|(g\varphi_n)^{(p)}(x)\right| \leq \max \limits_{0\leq l \leq p}^{} \left( \left\|g^{(l)}\right\|_{\infty,K}\right) \underbrace{\sum_{k=0}^p \binom pk \left\|\varphi_n^{(k)}\right\|_{\infty,K}}_{\underset{n\to +\infty}{\longrightarrow} 0} \underset{n\to +\infty}{\longrightarrow} 0$

Exemples

1. $f \in L_{loc}^1(\mathbb{R})$, $g \in \mathcal C^\infty(\mathbb{R})$, $g\{f\} = \{gf\}$
2. Dans $\mathcal D'(\mathbb{R})$.

   Soit $\varphi \in \mathcal D(\mathbb{R})$.

   • $<x\delta,\varphi> = <\delta, x\varphi> = 0 \times \varphi(0) = 0$, $x\delta = 0$
   • $<g\delta, \varphi> = <\delta, g\varphi> = \underbrace{g(0)}_{\in \mathbb{C}} \varphi(0) = g(0) <\delta, \varphi>$
   • $g\delta_a = g(a) \delta$
   • $g\left(\sum \delta_n\right) \underset{?}{=}$

     
     

     $<g\left(\sum \delta_n\right),\varphi>$	$=$	$<\sum \delta_n , g \varphi>$
     	$=$	$\sum_n g(n) \varphi(n)$
     	$=$	$\sum_n g(n) <\delta_n,\varphi>$

     donc $\sum g(n)\delta_n \in \mathcal D'(\mathbb{R})$ et $\sum_n g(n) \delta_n = g(\sum \delta_n) \Rightarrow$ Base de l'échantillonnage.

     $<x \delta', \varphi>$	$=$	$<\delta',x \varphi> = - <\delta, (x\varphi)'>$
     	$=$	$-<\delta, \varphi+x \varphi'>$
     	$=$	$-(\varphi(0) + 0 \times \varphi'(0))$
     	$=$	$- \varphi(0) = - <\delta, \varphi>$

     Donc $x \varphi' = -\delta$

   • $<V_p (\frac 1x),\varphi> = \lim_{\varepsilon \to 0^+} \int _{\left|x\right| \geq \varepsilon} \frac{\varphi(x)}{x} dx$

Convolution d'une distribution avec une fonction test

Rappel

Soit $f : \mathbb{R} \to \mathbb{C}$ et $\varphi : \mathbb{R} \to \mathbb{C}$.

On a que $x \in \mathbb{R}$, $(f\star \varphi) (x) = \int_{-\infty}^{+\infty} f(y) \varphi(x-y) dy$.

On a déjà vu que  :

• Si $f$, $\varphi \in L^1(\mathbb{R})$, alors $(f\star \varphi) \in L^1(\mathbb{R})$
• Si $f$, $\varphi \in L^2(\mathbb{R})$, alors $f \star \varphi \in L^\infty (\mathbb{R})$
• Si $f \in L_{loc}^1(\mathbb{R})$, $\varphi \in \mathcal D(\mathbb{R})$.

  Soit $x \in \mathbb{R}$ fixé. $\varphi_x : y \mapsto \varphi(x-y)$ alors

  • $\varphi_x \in \mathcal C^\infty(\mathbb{R})$
  • $\mathrm{supp}\,\varphi_x = \{y \in \mathbb{R}, x-y \in \mathrm{supp}\, \varphi\} = \{x-y ; z\in \mathrm{supp}\, \varphi\} =$ fermé borné donc compact.

  Soit $K_x = \mathrm{supp}\, \varphi_x$ compact et $(f\star \varphi)(x) = \int_{K_x} f(y) \varphi_x(y) dy$

  $\int_{K_x} \left|f(y)\right|\left|\varphi_x(y)\right| \leq \left\|\varphi\right\|_{\infty} \times \int_{K_x}\left|f\right|$

  Conclusion : Si $f \in L_{loc}^1(\mathbb{R})$ et $\varphi \in \mathcal D(\mathbb{R})$, $x \mapsto (f\star \varphi)(x)$ est définie sur $\mathbb{R}$.

  $(f\star \varphi)(x)$	$=$	$<\{f\},\varphi_x>$
  	$=$	$<\{ f \}, \varphi(x-\bullet)>$

Définition et propriétés

Définition

$T \in \mathcal D'(\mathbb{R})$ et $\varphi\in\mathcal D(\mathbb{R})$. On définit $T\star \varphi$ par :

$\forall x \in \mathbb{R}, \,(T\star \varphi)(x) = <T, \varphi(x-\bullet)>$ où $\varphi(x-\bullet) : y \mapsto \varphi(x-y)$

Remarque : $\varphi(x-\bullet) \in \mathcal D(\mathbb{R})$ donc pas de problème de définition.

Théorème

$(T\star \varphi)$ est un fonction $\mathcal C^\infty$ sur $\mathbb{R}$ et :

$\forall k \in \mathbb{N},\; (T\star \varphi)^{(k)}$	$=$	$\left( \frac{d^kT}{dx^k}\star \varphi\right)$
	$=$	$T \star \varphi^{(k)}$

Démonstration

• Montrons que $T\star \varphi$ est continue en $x_0$, $\forall x_0 \in \mathbb{R}$. $x_0 \in \mathbb{R}$, soit $B_{x_0} = [x_0 - 1, x_0 + 1]$. Montrons : $(T\star \varphi)(x_n) \underset{_\to x}{\longrightarrow}^{x_0} (T\star \varphi)(x_0)$, $\forall (x_n)$ tel que $x_n \to x_0$, $\forall n$ :

  $(T\star \varphi)(x_n) - (T \star \varphi)(x_0)$	$=$	$<T, \varphi(x_n-\bullet)> - <T, \varphi(x_0 - \bullet)>$
  	$=$	$<T,\underbrace{\varphi(x_n-\bullet) - \varphi(x_0 - \bullet)}_{\Psi_n(y)}>$

  $\Psi_n(y) = \varphi(x_n - y)-\varphi(x_0 - y)$, hypothèse : $x_n \in B_{x_0}$

  • $\Psi_n$ est $\mathcal C^\infty$
  • $\mathrm{supp}\, \Psi_n \subset [x_0 - 1 , x_0 + 1] \setminus \mathrm{supp}\, \varphi$

    Soit $y$ tel que $x_n - y = z$ , $z \in \mathrm{supp}\, \varphi$, $\mathrm{supp}\, \varphi(x_n - y) = \{x_n\} \setminus \mathrm{supp}\, \varphi \subset [x_0 - 1, x_0 + 1]\setminus \mathrm{supp}\, \varphi$ compact.

    $\Psi_n \underset{\mathcal D_K(I)}{\longrightarrow} 0$ ? On a :

    $\left|\Psi_n(y)\right|$	$=$	$\left|\varphi(x_n - y) - \varphi(x_0 - y)\right|$
    	$\leq$	$\left|x_n - y - x_0 + y\right| . \left|\varphi'(c_n)\right|$
    		$\qquad \qquad c_n \in ]x_n - y, x_0-y[$
    $\left|\Psi_n(y)\right|$	$\leq$	$\left|x_n - x_0\right|.\left\|\varphi'\right\|_\infty\qquad \forall y \in \mathbb{R}$

    donc

    $\left\|\Psi_n(y)\right\|_{\infty,K} \leq \left|x_n - x_0\right|.\left\|\varphi'\right\|_{\infty} \underset{n\to +\infty}{\longrightarrow} 0$
  • Soit $p \in \mathbb{N}$, $\Psi_n^{(p)} (y) = (-1)^p [ \varphi^p (x_n - y) - \varphi^{(p)}(x_0 - y)]$

    On applique la formule des accroissements finis à $\varphi^{(p)}$

    $\left|\Psi_n^{(p)} (y)\right|$	$=$	$\left|(-1)^p (x_n - x_0) \varphi^{(p+1)}(\alpha_n)\right|, \quad \alpha_n \in ]x_n -y , x_0--y[$
    	$\leq$	$\left|x_n - x_0\right|.\left\|\varphi^{(p+1)}\right\|_\infty$

    donc $\left\|\Psi_n^{(p)}\right\|_{\infty,K} \leq \left|x_n - x_0\right| . \left\|\varphi^{(p+1)}\right\|_\infty \underset{n\to +\infty}{\longrightarrow} 0$

    donc $\Psi_n \underset{\mathcal D_K(I)}{\longrightarrow} 0$, Par continuité de $T$ : $<T,\Psi_n> \underset{n\to +\infty}{\longrightarrow} 0$ et $(T\star\varphi)(x_n)\underset{n\to +\infty}{\longrightarrow} T\star \varphi(x_0)$

• Principe de la démonstration $(T \star \varphi)$ est dérivable.

  $x_0 \in \mathbb{R}$, $(T\star \varphi)$ est dérivable en $x_0$ si

  $\lim_{n\to+\infty} \frac{(T\star \varphi)(x_0+h_n) - (T\star \varphi)(x_0)}{h_n} = \lambda_{x_0} \in \mathbb{C}, \quad \forall (h_n)\to 0, \left|h_n\right| \leq 1$

  et alors : $(T\star\varphi)'(x_0) = \lambda_{x_0} \underset{?}{=} (T\star \Psi)(x_0) \underset{?}{=} \left(\frac{dT}{dx}\star \varphi)(x_0)\right)$

  $A = \frac{(T\star \varphi)(x_0 + h_n) - (T\star \varphi)(x_0)}{h_n} = <T, \underbrace{\frac{\varphi(x_0+h_n-\bullet)-\varphi(x_0-\bullet)}{h_n}}_{\Psi_n}>$

  On a alors (à dém) :

  • $\Psi_n \in \mathcal D_K(\mathbb{R})$ avec $K = [x_0 -1, x_0 +1]\setminus \mathrm{supp}\, \varphi$
  • $\Psi_n \underset{\mathcal D_K(I)}{\longrightarrow} \varphi'(x_0-\bullet)$

  donc $A \to <T,\varphi'(x_0 - \bullet)> = (T\star \varphi')(x_0)$

Conclusion : $(T \star \varphi)$ est dérivable en $x_0$ et $(T\star \varphi)'(x_0) = (T\star \varphi')(x_0)$

Remarque :

$<T, \varphi'(x_0 - \bullet)>$	$=$	$<T, -\varphi_{x_0}'>$
	$=$	$<\frac{dT}{dx},\varphi_{x_0}>$
	$=$	$<\frac{dT}{dx},\varphi(x_0-\bullet)> = \left(\frac{dT}{dx} \star \varphi\right) (x_0)$

$\varphi_{x_0}(y) = \varphi(x_0-y)$, $\varphi_{x_0}'(y) = - \varphi'(x_0-y)$

• $(\delta \star \varphi)(x) = <\delta, \varphi(x-\bullet)> = \varphi(x)$, $\delta \star \varphi = \varphi$, $\forall \varphi \in \mathcal D(\mathbb{R})$
• $(\delta_a \star \varphi)(x) = <\delta_a, \varphi(x-\bullet)> = \varphi(x-a)$