Différentiabilité dans les Banach

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Wikicours.png Différentiabilité dans les Banach
Matière Analyse 1
Chapitre 2
Promo 1A
Date 2006
Professeur R. Dalmasso
Auteur L. Petit
PDF Le Post'IT
DéfinitionDéfinition

Soient E,F des espaces de Banach, U \subset E ouvert, a\in U et f:U \to F. On dit que f est (Fréchet-) différentiable en a s'il existe une application linéaire et continue L \in \mathcal L(E,F) telle que :

f(a+h) = f(a) + L(h) + \left\|h\right\| \varepsilon(h)
\varepsilon désigne une application d'un voisinage V de 0 dans E tel que a+h\in U pour h \in V et \varepsilon(h) \underset{h\to 0}{\longrightarrow} 0. L est unique et s'appelle la dérivée de f en a : on la note f'(a), Df(a).

On a : \left\|\varepsilon(h)\right\| \underset{\left\|h\right\|\to 0}{\longrightarrow} 0. Et f'(a) \in \mathcal L(E,F).

Voyons l'unicité de L. Si L_1 et L_2 \in \mathcal L(E,F) vérifiant la définition 1.

On a : (L_1 - L_2)(h) = o(\left\|h\right\|). Soit \left\|h\right\| \in E\backslash 0 et t \in ]-\varepsilon, \varepsilon [ \backslash 0.


(L_1 - L_2)(h) = \frac{(L_1 - L_2)(th)}{t}
= \frac{o(\left\|th\right\|)}{t} \underset{t\to 0}{\longrightarrow} 0

or (L_1 - L_2)(h) ne dépend pas de E, d'où L_1 = L_2.

{Quelques propriétés :}

  1. f est différentiable sur U si f est différentiable en chaque point de U. On a alors une application f' : U \to \mathcal L(E,F). f est de classe \mathcal C^1 sur U si elle est différentiable sur U et si f' est continue sur U. f est de classe \mathcal C^2 sur U si f' est de classe \mathcal C^1 etc...
  2. L'ensemble des applications différentiables en a\in U (resp sur U) en un ev.
  3. Si f est différentiable en a \in U alors f est continue en a. En effet,
    \left\|f(a+h) - f(a)\right\| = \left\|f'(a)(h) + \left\|h\right\| \varepsilon{h}\right\|
    \leq (\left\|f'(a)\right\| + \left\|\varepsilon(h)\right\|)\left\|h\right\|
    \leq C \left\|h\right\|
DéfinitionDéfinition

Avec les notations de la définition 1, si pour v\in E et t \neq 0 dans \mathbb{R}.

\frac{f(a+tv)-f(a)}{t} a une limite pour t \to 0, on dit que f est dérivable en a dans la direction du vecteur v.

(On remarque que a+tv \in U si \left|t\right| est petit, d'où l'idée d'être dans un ouvert)

Remarque : Si f est Fréchet différentiable en a, f est dérivable en a dans toutes les directions. La réciproque est FAUSSE.

Remarque : Dans le cas où E=F=\mathbb{R}. f : U \subset \mathbb{R} \to \mathbb{R}.

Ancienne manière de voir : Si \lim\limits_{\begin{array}{c} h \to 0 \\ l \neq 0\end{array}} \frac{f(a+h) - f(a)}{h} existe on note f'(a) est cette limite. Ainsi f' : U \to \mathbb{R}.

Maintenant : f(a+h) - f(a) = f'(a)(h)+\left|h\right| \varepsilon(h), donc f'(a) \in \mathcal (\mathbb{R},\mathbb{R}).

Ainsi pour h \neq 0 : \frac{f(a+h)-f(a)}{h} = f'(a)(1) + \textrm{signe}(h)\varepsilon(h)

On a donc : f'(a)(1) \in \mathbb{R} qui est la dérivée au sens précédent.

  1. Soit c \in F et soit f : U \to F tel que f(x) = c, \forall x \in U. Si f(x+h) - f(x) = 0. On prend f'(x) = 0, \forall x \in U. Et ça marche. f' : U \to \mathcal L(E,F), tel que : x \to f'(x) = 0. On en déduit que f est C^{\infty}.
  2. Soit f \in \mathcal L(E,F).

    Si f(x+h) - f(x) = f(h). On a : f'(x) = f. Et f est C^\infty.

  3. Soient E_1, E_2 et F des Banach et E = E_1 \times E_2 muni de la norme \left\|(x,y)\right\| = \max (\left\|x\right\|, \left\|y\right\|). F est un Banach. Soit B : E \to F une application bilinéaire continue.

    \exists c > 0 tel que \left\|B(x,y)\right\| \leq c \left\|x\right\| \left\|y\right\|.

DéfinitionProposition

B est différentiable en tout point (x,y) \in E et on a :

B'(x,y)(h,k) = B(x,k) + B(h,y), \quad \forall (h,k) \in E

B'(x,y) \in \mathcal L(E,F),

B(x+h,y+k) = B(x,y)+\underbrace{B(x,k)+ B(h,y)}_{L(h,k)}+B(h,k)

On a donc :

\left\|L(h,k)\right\| \leq \left\|B(x,k)\right\| + \left\|B(h,y)\right\|
\leq C(\left\|x\right\| \left\|k\right\| + \left\|h\right\| \left\|y\right\|)
\leq C(\left\|x\right\| + \left\|y\right\|) \left\|(h,k)\right\|

Or : \left\|B(h,k)\right\| \leq C \left\|h\right\| \left\|k\right\| \leq C \left\|(h,k)\right\|^2

Donc B(h,k) = o(\left\|(h,k)\right\|^2)

Soient E, F et G des Banach et soit :

\begin{array}{crl}
B : & \mathcal L(E,F) \times L(F,G) & \to \mathcal L(E,G)\\
& (u,v) & \to B(u,v) = v\circ u\\
\end{array}

B est bilinéaire et continue. On a :

B'(u,v)(h,k) = k \circ u + v \circ h, \forall (h,k) \in \mathcal L(E,F) \times \mathcal L(F,G).

DéfinitionThéorème

Soient E, F et G des espaces de Banach,

U un ouvert de E, a \in U, f : U \to F, b = f(a).

V un ouvert de F avec b \in V et g : V \to G, alors :

Si f est différentiable en a et g différentiable en b, g \circ f (qui est définie au voisinage de a et continue en a) est différentiable en a et :

(g\circ f)'(a) = g'(f(a))\circ f'(a)

Fonctions à valeurs dans un produit d'evn. Soient E, F_1, ... , F_k des Banach (k\geq 2).

F = F_1 \times ... \times F_k avec :

\left\|x\right\| = \max\limits_{1\leq j \leq k}^{} (\left\|x_j\right\|),\qquad x = (x_1,...,x_k)\in F

Soit u_j : F_j \to F tel que u_j(x_j) = (0, ... , 0 , x_j, 0 , ... , 0) et p_j : F \to F_j tel que p_j (x) = x_j

DéfinitionProposition

Avec les notations ci-dessus, soient U\subset E un ouvert, a \in U et f : U \to F.

Alors f est différentiable en a si et seulement si f_j = p_j \circ f est différentiable en a pour j = 1,...,k. Alors on a :

f'(a) = \sum_{j=1}^k \underbrace{u_j}_{\mathcal L(F_j,F)} \circ \underbrace{f_j'(a)}_{\mathcal L(E,F_j)}


Cas où U \subset E = E_1 \times ... \times E_k avec E_j Banach et f : U \to F (F Banach).

Si a = (a_1, ... , a_k) \in U on pose

\lambda_i(x_i) = (a_1, ... , a_{i-1}, x_i, a_{i+1}, ... , a_k)

d'où \lambda_i : E_i \to E et f\circ \lambda_i est définie sur U_i = \lambda_i^{-1}(U)\subset E_i

DéfinitionProposition

Avec les notations ci-dessus, si f est différentiable en a, alors, pour chaque i = 1, ... , k, f\circ \lambda_i est diff en a_i et on a :

f'(a)(h_1,...,h_k) = \sum_{i=1}^k (f\circ \lambda_i)'(a_i)(h_i), \quad h=(h_1,...,h_k)\in E
On note (f\circ \lambda_i)'(a_i), f_{x_i}(a) ou \frac{\partial f}{\partial x_i}(a).


DéfinitionThéorème

Soient F un Banach, f : [a,b] \to F et g : [a,b] \to \mathbb{R} des applications continues sur [a,b] et différentiables sur ]a,b[. Si

\left\|f'(t)\right\| \leq g'(t),\quad \forall t \in ]a,b[

Alors on a :

\left\|f(b)-f(a)\right\|\leq g(b)-g(a)


DéfinitionProposition

Soit f : U \to F différentiable. On suppose qu'il existe une constante k \geq 0 telle que \left\|f'(x)\right\| \leq k pour tout x\in U.

Si [x,y] un segment contenu dans U on a :

\left\|f(x)-f(y)\right\| \leq k \left\|x-y\right\|
En particulier f est lipschitzienne sur les boules contenues dans U et plus généralement sur les convexes contenues dans U.


Soit f : U \to F de classe \mathcal C^1. Alors f est localement lipschitzienne.

DéfinitionThéorème

Soient E, F et G des Banach, U \subset E\times F un ouvert (non-vide) f : U \to G continue. On suppose que f (=f(x,y)) en différentiable par rapport à y et \frac{\partial f}{\partial y} est continue sur U.

Soit (x_0,y_0) \in U : f(x_0,y_0) = 0, si A = \frac{\partial f}{\partial y}(x_0,y_0), si A est un isomorphisme de F sur G, alors :

  • Il existe une boule \mathcal B_f(x_0,r) et unique application continue u : \mathcal B_f(x_0,r) \to F tel que :
    u(x_0) = y_0 \textrm{\,et\,} f(x,u(x)) = 0, \;\forall x \in \mathcal B_f(x_0,r)
  • Si f est \mathcal C^1, alors u est \mathcal C^1 et on a :
    u'(x) = - \left[ \frac{\partial f}{\partial y}(x,u(x)) \right] \circ \frac{\partial f}{\partial x} (x,u(x))
  • Si f est \mathcal C^p, alors u \in \mathcal C^p.


DéfinitionThéorème

Soient E, F des Banach et U \subset E un ouvert tel que x_0 \in U. Soit f : U \to F, \mathcal C^1. Supposons que f'(x_0) soit un isomorphisme. Alors il existe un ouvert V \subset U avec x_0 \in V tel que la restriction de f à V. Soit un isomorphisme (bijection continue, ainsi que son inverse) de V sur un ouvert W avec y_0 = f(x_0) \in W :

Si f est \mathcal C^p, l'application réciproque g est C^p.

f : \mathbb{R} \to \mathbb{R}, f(x) = x^3, bijection de \mathbb{R} dans \mathbb{R}. f^{-1}(x) = x^{1/3} continue.

f de classe C^{\infty}, f^{-1} n'est pas dérivable en 0.