Chris Janaqi : Fenêtre adaptative pour l'analyse temps-fréquence

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Titre du projet Analyse temps-fréquence de signaux multicomposantes
Cadre IRL

Labo Laboratoire Jean Kuntzmann (LJK)
Équipe CVGI
Encadrants Sylvain Meignen

La transformée de Fourier est un formidable outil d'analyse, qui a des applications dans tous les domaines scientifiques. Cependant pour le traitement du signal, elle est souvent insuffisante et inadaptée aux contraintes de la discipline.


Dans le cadre de l'Introduction a la recherche en Laboratoire, cette page récapitule les résultats principaux.

  • Étudiant : Chris Janaqi
  • Encadrant : Sylvain Meignen


Ressources:


Introduction

Transformée de Fourier à court terme du début de Clair de Lune de Debussy

La transformée de Fourier est un outil primordial dans le traitement et l’analyse de signaux, mais elle est souvent insuffisante pour pouvoir effectuer une analyse poussée. En effet, le passage dans le domaine fréquentiel induit une perte de la localité du signal considéré. Aussi, son caractère global la rend assez peu utilisable dans des cas d’analyse en temps réel. La transformée de Fourier à court terme d’un signal cherche à résoudre ces deux problèmes.

Problème de la transformée de Fourier

Prenons par exemple un signal sinusoïdale qui change de fréquence au milieu. c'est le cas lorsque l'on joue une note puis l'autre au piano (aux harmoniques près). Si l'on effectue la transformée de Fourier classique sur le signal, on obtiendra deux pics pour les deux fréquences, mais on perdrait l'information de leur localisation dans le temps.

Une idée simpliste de ce qu'est la transformée de Fourier à court terme, est de découper notre signal en morceaux, puis d'effectuer la TF sur chacun de ces morceaux. Cela permettrait d'avoir l'évolution fréquentielle du signal en fonction du temps. Le cadre effectif est légèrement différent, permettant plus de flexibilité, mais l'idée principale est là.

Transformée de Fourier à court terme

Notations:

  • STFT: Short time Fourier Transform.
  • L^1(\mathbb{R}) : Espace des fonctions intégrables sur \mathbb{R}.
  • L^2(\mathbb{R}) : Espace des fonctions de carré intégrable sur \mathbb{R}.
  • \hat{f} : Transformée de Fourier de f.

On définit la transformée de Fourier d'un signal f \in L^1(\mathbb{R}) par:

Chris-janaqi eq tf.svg

Signaux continus

Pour calculer cette transformée de Fourier à court terme, nous avons besoin d'une fenêtre (i. e. une fonction) qui va permettre de sélectionner les valeurs autour d'un certain temps. Appelons cette fonction g \in L^2(\mathbb{R}). Dès lors on définit la transformée de Fourier a court terme comme suit:

Chris-janaqi eq stft1.svg

On peut reconstruire le signal initial à partir de cette STFT.

Signaux discrets

Lorsqu'on passe a des signaux discrets, la formule de calcul devient :

Chris-janaqi eq stft2.svg

Là aussi des formules de reconstructions existent et sont détaillées dans le rapport.

Signaux finis

Pour effectuer le calcul sur machine, on doit manipuler des signaux de tailles finis. Dans ce cas, la fenêtre g est à support fini et le signal f aussi. On considère donc un signal de longueur L, une fenêtre de largeur M, ainsi qu'une résolution fréquentielle N.

On a donc la formule suivante pour le calcul de la STFT pour l < L et k < N :

Chris-janaqi eq stft3.svg

Fréquence instantanée

Ce que l'on cherche a faire en calculant la STFT d'un signal, c'est d'accéder à sa fréquence "instantanée". Mais il existe deux arguments fondamentaux pour montrer l'impossibilité théorique de l'existence d'une telle notion.

Argument de convolution

Le premier argument est un argument de convolution qui se voit très bien par l'illustration.

Sinus à 440 Hz et sa transformée de Fourier

Et lorsqu'on coupe le signal après 10 oscillations.

Sinus à 440 Hz tronqué et sa transformée de Fourier

On observe un étalement du spectre du sinus lorsqu'on cherche à diminuer l'intervalle de temps considéré.

Fenêtre adaptative

Puisqu'on ne peut pas avoir une bonne résolution en temps et en fréquence simultanément, une idée est alors de choisir le temps ou la fréquence. Pour cela il faut adapter la taille de la fenêtre en fonction du temps.

Domaine continu

Dans le domaine continu, on modélise une fenêtre adaptative comme suit:

Chris-janaqi eq adaptative.svg

Avec \sigma une fonction strictement positive.


Domaine Discret

Dans le domaine discret, c'est un peu plus subtil, en effet, on ne peut pas faire varier la largeur d'une fenêtre comme on le souhaite. Pour cela on utilise une fenêtre continue g à support dans [-1, 1] ainsi qu'une suite \sigma strictement positive d'entiers:

Chris-janaqi eq adaptative2.svg

Qualité d'une représentation Temps-Fréquence

Pour l'instant, on ne sait estimer la qualité d'une représentation Temps-Fréquence qu'avec nos yeux. Il serait donc judicieux d'avoir un outil plus systématique et surtout plus rigoureux afin de pouvoir adapter la fenêtre en temps réel.

L' entropie est une mesure de la quantité d'information d'un signal, et c'est aussi et surtout une mesure de sa variabilité. Une entropie particulière existe qui généralise les autres, c'est l'entropie de Rényi. Et l'idée est de trouver un sigma propice qui minimise cette entropie.


Conclusion

Pour conclure j'aimerai remercier mon Encadrant Sylvain Meignen pour sa disponibilité et ses conseils tout au long de cet exercice difficile qu'est l'IRL. Ce sujet m'a permis de me plonger complétement dans un domaine de recherche actuel, et bien qu'il a surtout été question de comprendre l'état de l'art pour ma part, j'ai beaucoup apprécié m'immerger dans ces questionnements.