Aurélia Spanneut - Modélisation mathématique des mouvements de foule - Résultats

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Modélisation mathématique des mouvements de foule

Labo LJK
Equipe CASYS
Encadrants guillaume.james@imag.fr

Etudiant

SPANNEUT, Aurélia . MMIS-MCS

Introduction

  • L'étude des comportements collectifs fait l'objet de nombreuses recherches à la frontière de multiples domaines tels que la biologie, les sciences cognitives, la physique. Dans le cadre du TER, l'étude s'est porté sur la modélisation mathématique des mouvements de foule.
  • Le point de départ de ce travail est un modèle non linéaire déjà existant décrivant la dynamique des piétons en situation de panique (bâtiment en feu ...).

Ce modèle fait intervenir des forces d'interactions entre chaque piéton et leur voisin dépendant de la distance qui les sépare. Cependant, celui-ci accorde autant d'importance aux interactions avant qu'aux interactions arrière. Ce modèle semblait alors peu réaliste dans la mesure où lorsque l'on marche, on ne peut pas se rendre compte de la distance qui nous sépare du voisin de derrière. L'objectif de ce TER était donc de voir comment évoluait le modèle si on différenciait les interactions avant et arrière.


Travail réalisé

Ce travail s'est organisé en plusieurs parties:

  • Etude bibliographie sur les modèles de déplacement collectif déjà existants
  • Travail théorique sur le modèle considéré en 1D
  • Implémentation du modèle 1D sous matlab
  • Etude des résultats obtenus, conclusion sur le modèle
  • Passage en dimension 2D : modèle et implémentation (non terminé)

Description du modèle considéré en 1D

Nous avons au départ N piétons qui se déplacent le long d'une piste de longueur L. Les piétons adaptent leur vitesse selon la distance qui les sépare de leur voisin. On représente cette adaptation par des forces d'interactions répulsives psychologiques. Ci dessous la représentation schématique de ces forces s'appliquant sur le piéton i.

Représentation des forces qui s'appliquent sur le piéton i.

On distingue dans ces forces, une force de répulsion psychologique qui décroit lorsqu'on augmente la distance entre deux piétons et une force de contact lorsque deux piétons se touchent.


L'équation qui régit le mouvement de chaque piéton est la suivante:

 \begin{align}  m_i\dfrac{d^2x_i}{dt^2} & =  m_i\dfrac{V^\circ_{i} - \dfrac{dx_i}{dt}}{\tau} \\
  &+ A^b_iexp\left(\dfrac{r_i + r_{i-1} -(x_i-x_{i-1})}{B_i}\right) -A^f_i exp\left(\dfrac{r_i +r_{i+1} -(x_{i+1}-x_{i})}{B_i}\right)\\
 &+ k(g(r_i + r_{i-1} -(x_i-x_{i-1}))+g(r_{i+1}+r_i-(x_{i+1}-x_{i})))\\
\end{align}


avec 

\begin{array}{ll}
N & \text{nombre de pietons,}\\
x_i & \text{position du pieton i,}\\
N & \text{masse du pieton i,}\\
L & \text{longueur de la piste,}\\
r_i & \text{largeur du pieton,}\\
r_i +r_{i-1} & \text{distance pour laquelle les pietons i et i-1 se touchent,}\\

A^b_i exp\left(\dfrac{r_i+r_{i-1}-(x_i-x_{i-1})}{B_i}\right) & \text{force de repulsion entre le pieton i et le pieton i-1,} \\
&\\
A^f_i exp\left(\dfrac{r_{i+1}+r_i-(x_{i+1}-x_{i})}{B_i}\right) & \text{force de repulsion entre le pieton i et le pieton i+1,} \\

kg(x) =\left\{
    \begin{array}{ll}
       \ 0 & \mbox{ si } x < 0\\
       \ kx & \mbox{ si } x \geq 0 \\ 
    \end{array}
\right.
 & \text{fonction qui represente la force de contact entre deux pietons voisins,}
\end{array}

Simplification et étude du modèle

  • Le modèle que l'on a obtenu ressemble fortement à celui décrit dans un article sur le trafic routier (article [2]). Cet article met en évidence que lorsqu'on perturbe légèrement une solution d'équilibre des phénomènes d'instabilité responsables d'embouteillages peuvent apparaître.

Il nous a donc semblé intéressant d'étudier la stabilité de la solution d'équilibre idéale de notre modèle piéton.

  • La solution d'équilibre idéale correspond au cas où les piétons sont équidistants et marchent à la même vitesse.

On considère désormais cette solution idéale que l'on perturbe légèrement.

  • La perturbation de la solution d'équilibre idéale du ième piéton, \phi_i vérifie l'équation suivante:<br\>

\tau \ddot{\phi}_i(t) + \dot{\phi}_i(t) = U_f^{'}(l_u)(\phi_{i+1}(t)-\phi_i(t))-U_b^{'}(l_u)(\phi_{i-1}(t)-\phi_{i}(t)).

Ce système étant linéaire, on peut écrire les solutions à l'aide de séries de Fourier comme une superposition d'ondes planes.

Chaque onde plane élémentaire solution de l'équation précédente est de la forme <br\> 
\phi_n(t)=e^{ikn+z_kt}\tilde{\phi} avec k = \dfrac{2\pi}{N}j, j = 0,\cdots, N-1 , où k représente le nombre d'onde et z_k est la fréquence complexe associée.<br\> On note aussi \dfrac{2\pi}{k} la longueur d'onde et \dfrac{w_k}{k} la vitesse de phase du mode considéré.

  • Cette solution d'équilibre est stable si \forall k, la partie réelle de z_k est négative.

Aprés calculs (plus de détails dans le rapport), on en déduit que le flot uniforme de piétons est stable si <br\> \dfrac{1}{\tau} >\underbrace{\sqrt{\dfrac{2}{mB}\dfrac{(A^f-A^b)^2}{A^f+A^b}exp\left(\dfrac{2r}{B}-l_u\right)}}_{a_{critique}}.<br\> On remarque que ce coefficient dépend fortement de la différence A_f-A_b qui reflète la différenciation faite entre interactions avant et arrière.

Résultats obtenus (extraits)

Pour vérifier la cohérence de notre modèle ainsi que les résultats théoriques obtenus, le modèle a été implémenté sous Matlab. Plusieurs configurations ont été considérés :

  • Cas où le flot uniforme de piétons est stable théoriquement

On considère la configuration où \dfrac{1}{\tau} > a_{critique}

Evolution de la vitesse du 50ème piéton et des distances le séparant de ses voisins selon le temps. Données numériques prises : Af=2000 N, Ab=500 N, L = 96 m.}

On remarque sur ce graphe que la vitesse du piéton s'adapte bien par rapport à la distance qui le sépare du piéton avant et arrière. En effet, l'allure des courbes est quasiment la même à un décalage en temps près. D'autre part, l'équilibre est bien atteint asymptotiquement.

  • Cas où le flot uniforme de piétons est instable théoriquement

On considère la configuration où \dfrac{1}{\tau} < a_{critique}

Evolution de la vitesse du 50ème piéton et des distances le séparant de ses voisins selon le temps. Données numériques prises : Af=2000 N, Ab=500 N, L = 93 m.}

On remarque tout d'abord que des instabilités ont bien l'air de se former. D'autre part, on constate qu'au bout de 70 secondes environ, la courbe s'arrête alors que le temps d'intégration était de 80 secondes. En effet, le solveur matlab utilisé n'a pas réussi à intégrer les équations (tolérances d'intégration non atteintes). On se demandait alors d'où venait la source d'un tel problème. En traçant la même courbe pour un autre piéton, on tombe alors sur un cas surprenant.

Evolution de la vitesse du 59ème piéton et des distances le séparant de ses voisins selon le temps. Données numériques prises : Af=2000 N, Ab=500 N, L = 96 m.}

En effet, si on se refère au graphe ci-dessus, on remarque que la vitesse du piéton devient négative alors que celui-ci n'est pas en contact avec le piéton de devant. Ayant considéré que tous les piétons veulent avancer dans la même direction, on tombe ainsi sur un résultat aberrant. L'instabilité conduisant alors à une dynamique non physique, on en a déduit que le problème semble mal défini lorsque les piétons sont assez proches. Pour y remédier, il faudrait faire intervenir des autres forces qui saturent les effets non linéaires. On peut penser par exemple que lorsqu'un piéton est très proche d'un autre, celui-ci va préférer s'arrêter que continuer d'avancer et risquer un contact.

  • Etude plus détaillée de l'instabilité

L'instabilité va se traduire en pratique par une onde qui va se propager en diminuant la vitesse des piétons lorsque cette onde arrive à leur niveau. Il a donc été intéressant d'étudier plus précisément cette instabilité en déterminant quel est le nombre d'onde le plus instable, et quelle est la vitesse de phase de cette onde. En effet, c'est le mode le plus instable qui va être le plus visible au début du phénomène d'instabilité. En représentant la vitesse en niveaux de gris selon le temps et les piétons, nous avons pu vérifier que la vitesse de propagation des instabilités correspondait bien à la vitesse de phase du mode le plus instable trouvé théoriquement. Sur ce graphe sont tracées des droites de pente la vitesse de phase du mode le plus instable. On remarque que les vagues d'accélération ou de décélération sont à peu prés parallèles à cette droite. On retrouve alors le résultat démontré théoriquement.

Représentation en niveau de gris de la vitesse des piétons en fonction du temps et des piétons. Données numériques prises : Af=2000 N, Ab=500 N, L = 93 m.}

Etude d'un flot de piétons 2D

Dans une dernière partie de ce TER, on s'est intéressé au modèle du flot de piétons 2D. En effet, il était intéressant de savoir si on rencontrait les mêmes problèmes en dimension 2. Nous ne rentrons pas dans les détails du modèle car l'implémentation n'a pas pu être terminée.

  • Différences entre les deux modèles.
Illustration des forces type qui s'appliquent sur le piéton i.

Dans le cas de la dimension 2, les forces d'interactions entre chaque piétons sont un peu plus complexes que celle de la dimension 1. On retrouve les termes d'interactions normales du modèle 1D auxquels on y ajoute une composante tangentielle. Les forces tangentielles qui apparaissent vont ainsi permettre au piéton de se décaler éventuellement s'il se rapproche trop dangereusement d'un autre piéton. D'autre part, l'environnement qui entoure le piéton a ici une influence sur le mouvement de celui-ci. En effet, on tient compte ici d'une interaction répulsive du piéton avec les murs. Chacune de ces forces est illustrée sur le schéma ci-contre :

  • Résultats de l'implémentation 2D

Comme on peut le voir dans la partie précédente, le modèle 2D fait intervenir de nouvelles forces qui rendent l'implémentation en matlab plus complexe. Pour le moment, l'implémentation n'est pas très concluante. Lorsque l'on considère des piétons peu rapprochés (l\gg 2r)et alignés au départ, les résultats obtenus semblent cohérents. Cependant pour des confinements plus importants, les résultats obtenus sont aberrants, ce qui peut provenir d'une erreur de programmation.

Conclusion

Lors de ce travail, l'étude s'est portée sur des hypothèses de modélisation différentes de celles considérées dans les modèles déjà définis. Le fait d'avoir considéré A_f > A_b a permis de mettre en évidence des instabilités du flot uniforme de piétons lorsque l'on perturbe légèrement la solution d'équilibre idéale mais aussi un caractère non physique de la dynamique lorsque cette instabilité se développe. Une des solutions possible serait d'améliorer le modèle en y ajoutant d'autres forces.

Il serait aussi intéressant de voir si le même problème d'intégration se pose en dimension 2. Malheureusement, le temps m'a manqué pour venir à bout de l'implémentation.

D'autre part, on peut considérer que notre modèle n'est pas assez complet pour décrire une foule réelle. En effet, celui-ci considère que les piétons se déplacent de manière isolée. Or 50 à 70 % des personnes qui sont dans une foule voyagent en petit groupe. Ainsi, pour modéliser une foule de piétons, il ne faudrait pas tenir compte que des contraintes physiques dues aux autres piétons mais aussi des interactions sociales entre chaque individu.

Références

  • [1] Dirk Helbing, Illes Farkas, and Tamas Vicsek. Simulating dynamical features of escape

panic. Nature, 407: 487-490, 2000.

  • [2] Gaididei, Berkemer, Caputo, Christiansen, Kawamoto, Shiga, Sorensen, and Starke. Analytical

solutions of jam pattern formation on a ring for a class of optimal velocity traffic models. New Journal of Physics, 11, 2009.

  • [3] Mehdi Moussaïd, Niriaska Perozo, Simon Garnier, and Dirk Helbing et Guy Theraulaz. The

walking behaviour of pedestrian social groups and its impact on crowd dynamics. PLoS ONE 5, 2010.

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