Approximation non linéaire des EDP : étude théorique et numérique

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Approximation non linéaire des EDP : étude théorique et numérique

Labo LJK
Equipe EDP
Encadrants Emmanuel.Maitre@imag.fr

Thème général

Au delà des méthodes d'approximation des équations aux dérivées partielles (EDP) classiques (différences finies, éléments finis) qui sont abordées dans des cours de deuxième année, un nouveau type de méthodes est apparu récemment et trouve notamment des applications dans des domaines où des EDP en dimension 3 et (beaucoup) plus apparaissent. C'est le cas par exemple des équations aux dérivées partielles de la finance, et de celles intervenant dans des formulations espace-temps de problèmes de transport optimal appliqué à des images tri-dimensionnelles. L'esprit général de la méthode, pour simplifier en dimension 2, est de chercher une approximation de la solution d'une EDP sous la forme d'une somme de fonctions à variables séparées : u_n(x,y)=r_1(x)s_1(y)+r_2(x)s_2(y)+...+r_n(x)s_n(y) en déterminant itérativement (r_n,s_n) de sorte que u_n(x,y) soit la meilleure approximation de la solution d'une EDP à un certains sens. La différence par rapport à une méthode de type éléments finis est que l'appoximation n'est pas cherchée dans un espace vectoriel engendré par un ensemble de fonctions de base a priori donné, mais au contraire construit itérativement de manière optimale.

Sujet

Dans cet IRL, l'objectif sera de comprendre ce type d'algorithmes en se basant sur un article de C. Lebris, T. Lelièvre et Y. Maday et des références puisées par exemple sur Google Scholar d'articles utilisant ces résultats, de l'implémenter et de le comparer aux méthodes classiques. Le sujet comporte donc une partie théorique où des outils faisant intervenir de l'optimisation, des EDP, ... interviennent, et une partie numérique.

Compétences attendues

Cet IRL s'adresse aux étudiants de la filière MMIS, de préférence. Il s'agira de comprendre un article de recherche (en anglais), et de programmer la méthode dans un langage de programmation libre (matlab, C++, ...)

Contexte du travail

L'IRL se déroulera dans l'équipe Equations aux Dérivées Partielles (EDP) du laboratoire Jean Kuntzmann (LJK). La thématique développée peut s'appliquer à la résolution de problèmes actuellement étudiés au laboratoire (notamment de transport optimal).

Résultats attendus

L'objectif principal est la compréhension et la programmation de la méthode dans un cas académique et sa comparaison en termes d'efficacité par rapport aux méthodes classiques (différences finies, éléments finis). Selon le goût de l'étudiant(e) pour les aspects numériques ou théoriques le sujet pourra donner la part belle à l'un ou à l'autre.