Antoine Levitt Effets non-lineaires dans la dynamique d'ouverture de l'ADN resultats

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Effets non-linéaires dans la dynamique d'ouverture de l'ADN

Labo LJK
Equipe CASYS
Encadrants guillaume.james@imag.fr

Etudiant

Levitt, Antoine

Introduction

Le TER portait sur l'étude d'un modèle pour comprendre les oscillations de la chaîne d'ADN. Il comportait une partie d'analyse du modèle, de compréhension des résultats théoriques existants, puis des méthodes numériques utilisées pour le calcul de solutions particulières, avec finalement application à une modification du modèle qui n'avait pas encore été étudié numériquement.

Eléments de pré-requis

Expérimentalement, on observe des oscillations extrêmement localisées des paires de bases, avec seulement quelques paires qui oscillent très fortement, leurs voisins restant immobiles. Des études physiques ont conduit à l'élaboration d'un modèle donnant l'évolution temporelle de l'ouverture de la paire de bases y_n : \ddot{y}_n = - V'(y_n) + k(y_{n+1} - 2 y_n + y{n-1}), où V est un potentiel décrivant l'interaction entre les deux bases d'une même paire, dû aux liaisons hydrogènes entre les deux bases. Cela forme un réseau d'oscillateurs, chacun couplé à ses deux voisins. Le potentiel V est choisi pour représenter la réalité physique, et donner des résultats en accord avec l'expérience. k est la constante de couplage entre les différentes paires de bases.

Le potentiel V était originellement le potentiel de Morse, choisi pour des raisons physiques.

TER Levitt pot morse.jpg

Il a été modifié en 2008 pour tenir compte du fait que, quand une paire de base est ouverte, et donc la liaison hydrogène cassée, elle demande un certain coût énergétique, qui n'est pas représenté dans le potentiel de morse (dans lequel il suffit d'une très faible force pour reconstruire une liaison hydrogène). On ajoute donc une barrière de potentiel, et le potentiel modifié a la forme :

TER Levitt pot modif.jpg

On s'intéresse à l'existence de solutions périodiques en temps et localisées en espace (Breathers), c'est à dire dont l'amplitude décroît avec n. Un théorème de 1994 assure l'existence de telles solutions sous certaines conditions de non-résonance sur leur période et le couplage k. Il s'applique sur le potentiel de Morse. Son extension au potentiel modifié de 2008 est non-triviale et la preuve est à paraître dans un article de Guillaume James.

Numériquement, pour calculer ces breathers, on utilise la méthode de Newton. Des problèmes se posent car il faut correctement choisir l'application à annuler et le premier terme de Newton pour assurer la convergence.

Travail réalisé

Mon travail s'est décomposé en plusieurs parties :

  • Compréhension du travail déjà effectué, à la fois en modélisation, analyse mathématique et numérique, y compris les prérequis théoriques (preuves d'existence, méthode de Newton, systèmes dynamiques, analyse de stabilité ...)
  • Mise en oeuvre des méthodes numériques (programmation en MATLAB) de calcul de breathers
  • Adaptations pour le potentiel modifié
  • Résultats numériques sur les breathers dans le potentiel modifié : étude de période, de stabilité linéaire, et des cas résonants.

Après la phase de familiarisation avec le sujet, j'ai implémenté les méthodes de calcul, ce qui n'a pas été sans mal. D'une part, c'est un problème d'annulation d'une application en dimension n obtenue par intégration d'équation différentielles couplées, ce qui nécessite de faire attention si on ne veut pas obtenir un coût de calcul prohibitif, tout en s'assurant que les différents contrôles d'erreur (critère d'arrêt de Newton, intégration numérique, calcul de la jacobienne, inversion de matrice) garantissent la convergence à une précision fixée. D'autre part, la méthode proposée dans les articles originaux convergait assez lentement (linéairement, par rapport à la convergence quadratique que l'on attend d'une méthode de Newton bien posée) et posait des problèmes de précision. Il a fallu comprendre ces problèmes, décrits très sommairement dans la littérature, et les modification à apporter pour obtenir de bons résultats.

Une fois cette étape effectuée, l'adaptation au nouveau potentiel a été assez facile, et j'ai pu obtenir des résultats exploitables. Les résultats portent notamment sur l'existence de breathers, leur stabilité et l'étude de certaines de leurs caractéristiques (par exemple, le rapport entre l'amplitude et la période).

On constate numériquement l'existence de breathers dans les conditions d'application du théorème. Voici deux exemples de breathers, l'un dans le potentiel originel, l'autre dans le potentiel modifié, où la présence d'une barrière donne des résultats un peu plus complexes. Les différentes couleurs représentent les différents sites, et on trace leur amplitude en fonction du temps sur une période.

TER Levitt profil.jpg TER Levitt profil modif.jpg

Dans les cas résonants, le théorème ne s'applique plus, mais on a parfois convergence de la méthode de Newton vers une solution périodique. Dans ces cas-là, la solution n'est pas un breather, mais possède une queue infinie oscillante, de faible amplitude (qui peut être de l'ordre de 10^{-10}, ce qui exige un contrôle très précis des erreurs pour être sûr d'observer une solution et non du bruit numérique). On représente ici le profil spatial en échelle semilogarithmique pour deux valeurs du couplage très proches, l'une qui donne un cas non-résonant et l'autre un cas résonant :

TER Levitt comparaison.jpg

On constate bien l'apparition d'oscillations à l'infini de petites amplitudes, au lieu de la décroissance exponentielle observée dans le cas non-résonant.

On peut également étudier la stabilité des solutions. En utilisant des techniques de linéarisation, on peut se ramener à l'étude d'une certaine application linéaire, dont la stabilité s'étudie en considérant son spectre. Ici, on a instabilité quand une valeur propre a un module strictement supérieur à 1. On représente ce spectre dans le plan complexe pour deux valeurs du couplage extrêmement proches. On observe une collision de valeurs propres donnant naissance à une instabilité.

TER Levitt instab avant.jpg TER Levitt instab apres.jpg

Finalement, on peut utiliser ces méthodes pour étudier les propriétés des breathers dans le potentiel modifié. Voici les résultats de l'étude de leur période en fonction de l'amplitude du site central. Les "trous" du graphe correspondent aux résonances, dans lesquelles il n'existe pas de breathers. On observe deux bifurcations vers 0.7 et 4.5, qui correspondent à un changement de régime d'oscillation dans le potentiel modifié : pour y < 0.7, le site central oscille avant la barrière, pour 0.7 < y < 4.5, le breather oscille après la barrière, et pour y > 4.5, il oscille dans les deux domaines. Ces bifurcations s'accompagnent d'une asymptote verticale de la période, ce qui les rend très difficile à étudier précisément numériquement : non seulement il faut intégrer sur de longues périodes, mais en plus on rencontre une infinité de résonances, qu'il faut "esquiver" pour pouvoir calculer des breathers.

TER Levitt branches.jpg

Conclusion

Le travail effectué portait sur l'étude des propriétés des breathers dans un modèle récent de chaîne d'ADN. J'ai montré que les méthodes numériques utilisées pour traiter des problèmes similaires pouvaient s'étendre avec des modifications mineures au nouveau modèle. La méthode obtenue est robuste et précise.

Les résultats obtenus font l'objet d'un article à paraître avec Guillaume James. L'étape suivante serait une modélisation plus fine du phénomène, incluant notamment des phénomènes aléatoires dûs au contact de la molécule avec le solvant, ou la prise en compte des effets d'hystérésis, menant à des systèmes hybrides.

Références

  • Modèle original : Peyrard M, Bishop A.R, Statistical mechanics of a nonlinear model for DNA denaturation, 1989
  • Modèle modifié : Peyrard M, Cuesta-Lopez S, James G, Nonlinear analysis of the dynamics of DNA breathing, 2008
  • Preuve d'existence : MacKay R.S, Aubry S, Proof of existence of breathers for time-reversible or Hamiltonian networks of weakly coupled oscillators, 1994
  • Calcul de breathers : Marin J.L, Aubry S, Breathers in nonlinear lattices: numerical calculation from the anticontinuous limit, 1996
  • Méthodes numériques, instabilités, analyse mathématique plus poussée : références dans le rapport

Documents additionnels