Matrice D'Alembertienne d'un maillage

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Cette page présente de manière plus détaillée la manière dont on construit la matrice D'Alembertienne d'une animation contenant $m$ frame.

Forme générale de la matrice

La matrice D'Alembertienne se présente comme une matrice par bloc, chaque ligne comprenant:

une matrice correspondant aux relations des points avec la frame précédente
la matrice Laplacienne de la frame (calculée avec les points combinatoires)
une matrice correspondant aux relations des points avec la frame suivante

Elle a ainsi la forme suivant:

$\begin{pmatrix} -\alpha J^1 + L^1 & \alpha W^{1+} & & & & \\ \alpha W^{2-} & -\alpha J^2 + L^2 & \alpha W^{2+} & & & \\ & \ddots & \ddots & \ddots & & \\ & & \ddots & \ddots & \ddots & \\ & & & \alpha W^{(m-1)-} & -\alpha J^{m-1} + L^{m-1} & \alpha W^{(m-1)+} \\ & & & & \alpha W^{m-} & -\alpha J^m + L \\ \end{pmatrix}$

Où:

$L k$ est la matrice Laplacienne de la frame $k$
$J$ est une matrice diagonale telle que $J(i, i) = \tfrac{w_i^{k-} + w_i^{k+}}{\delta_i^{k} }$
$W k +$ et $W k -$ sont des matrices diagonales telle que $W^{k+}(i, i) = \tfrac{w_i^{k+}}{\delta_i^{k} }$ et $W^{k-}(i, i) = \tfrac{w_i^{k-} + w_i^{k+}}{\delta_i^{k} }$

$w_i^{k-}$ et $w_i^{k+}$ étant les poids de l'arête qui relient le point $i$ dans la frame $k$ à ses voisins temporels précédents et succédents.

Et $\delta_i^{k} = w_i^{k-} + w_i^{k+}$ .

La majorité du temps, les simplifications utilisées entraînent que $w_i^{k-}=w_i^{k+}=1$ et ainsi $\delta_i^{k}=2$

Sens physique du $α$

La possibilité de changer la valeur de $α$ permet:

dans le cas où il vaut $0$ de ne tenir compte que des paramètres statiques des maillages.
dans le cas où il vaut $\infty$ de ne tenir compte que des paramètres dynamiques des maillages.
dans les autres cas de tenir compte des différents aspects (dynamiques et statiques).

Matrice D'Alembertienne d'un maillage

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Forme générale de la matrice

Sens physique du $α$

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