MFF:Queneau-Daniel

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Définition

On définit la $n e m e$ permutation de Queneau-Daniel comme ceci :

$\quad [1,..., n ] \to [n, 1, n-1, 2, n-2, ...]$ On définit son ordre comme le cardinal de l'orbite de 1.

Définition On dit que $n \in \mathbb{N}^*$ est un nombre de Queneau si la

n i e m e

permutation de Queneau-Daniel est d'ordre

n

.

Par exemple, 6 est un nombre de Queneau puisque la sixtine existe.

Théorème Si

n

est un nombre de Queneau alors

2 n + 1

est premier.

La permutation de QD est une permutation spirale, ce qui nous donne

$\left\{\begin{array}{ll} \sigma_n(2p) & = p \\ \sigma_n(2p+1) & = n - p \end{array}\right.$
$\delta_n(x) = \left\{ \begin{array}{ll} 2x & \textrm{si\,} 2x \leq n \\ 2n+1-2x & \textrm{sinon} \end{array}\right.$

Ce qui nous donne le lemme suivant :

$\forall n \in \mathbb{N}^*,\quad \sigma_n\circ \delta_n = Id$

Démonstration

Elementaire, soit $n \in \mathbb{N}^?$ .

Soit $x \leq \frac n2$

$\sigma_n \circ \delta_n (x)$	$=$	$σ n (2 x)$
	$=$	$x$

Soit maintenant $x > \frac n2$ , alors on a :

$\sigma_n \circ \delta_n (x)$	$=$	$σ n (2 n + 1 - 2 x)$
	$=$	$\sigma_n\left[ 2(n-x) + 1 \right]$
	$=$	$n - (n - x)$
	$=$	$x$

On sait maintenant que l'orbite de 1 peut être défini comme ceci :

$\mathrm{Orbite}(1) = \left\{ \delta^i (1), i = 0...n-1 \right\}$

On a trivialement $\delta(x) \equiv \pm 2x\; [2n+1]$ , d'où le résultat suivant :

$\delta^i (x) = \pm 2^i x \;[2n+1]$

Démonstration

Supposons : $\exists q | 2n+1$ tel que $\; q\leq n$

Donc Erreur math (fonction inconnue\q): \delta^i(q) = \pm 2^i q\; [2n+1] \Rightarrow \forall i, \q | \delta^i(q)

Ce qui implique que l'orbite de $q$ ne possède que des multiplicateurs de $q$ .

Par exemple : 7 n'est pas un nombre de Queneau. Ici on a $2n+1 = 15 = 3\times 5$ et on remarque que l'orbite de $3$ est ${3,6}$ et celle de $5$ est ${5}$ .